江苏省常州市2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（Word版附解析）

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这是一份江苏省常州市2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若复数，则（）
A．1B．C．2D．
2．在下列各组向量中，可以作为基底的是（）
A．，B．，
C．，D．，
3．中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（）
A．B．C．或D．或
4．在中，设，若，则（）
A．B．
C．D．
5．设中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（）
A．锐角三角形B．等腰直角三角形C．钝角三角形D．直角三角形
6．设是方程的两根，且，则（）
A．B．C．或D．
7．在正六边形中，是正六边形内部以及边界上任意一点，且，则的最大值为（）
A．2B．3C．4D．5
8．在中，，，，则的最大值为（）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知两个不共线的单位向量的夹角为，则下列结论正确的是（）
A．向量在上的投影向量为；B．；
C．；D．.
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（）
A．外接圆的面积为B．若，则
C．面积的最大值为D．周长的最大值为
11．已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的有（）
A．的一个对称中心为
B．若实数满足，则
C．函数的最大值为
D．若平面向量，则的取值范围为
三、填空题
12．若是关于的实系数方程的一个复数根，则 .
13．在中，，，，若为中点，则长为 .
14．已知单位圆上不同的三点A，B，C，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知复数（）．
（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
16．已知向量，.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求的最小值.
17．已知函数部分图象如图所示.
(1)求的单调递增区间；
(2)已知，，求的值.
18．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若，，
①的平分线交于点，求线段的长；
②若，点P，Q是边上的两个动点，且，设的面积为，求的最小值.
19．对于一组复数（且），如果存在，使得，其中，那么称是该复数组的“长复数”.
(1)设，，若是复数组，，的“长复数”，求实数的取值范围；
(2)若，，复数组是否存在“长复数”?给出你的结论并说明理由；
(3)若，，是否，对于，都能满足复数组，，中的每一个复数均为“长复数”?若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由.
1．B
利用复数除法运算以及复数模的求法即可求解.
【详解】复数，则.
故选：B.
2．C
根据平面向量基本定理，两个不共线的向量可以作为基底，由此对各项中的向量加以分析，可得正确答案．
【详解】对于A，，，由于，所以与共线，它们不可以作为基底；
对于B，，，根据零向量与平面内任意向量共线，可知与不可以作为基底；
对于C，，，根据，可知与不共线，它们可以作为基底；
对于D，，，由于，所以与共线，它们不可以作为基底．
故选：C．
3．A
利用正弦定理，结合大边对大角，小边对小角即可求解.
【详解】由正弦定理可得：，代入得：，
解得，因为，所以，
即，
故选：A.
4．D
由已知条件结合向量的线性运算即可得答案.
【详解】在中，；①
在中，；②
①+②，得
因为，所以，
即
故选：D.
5．D
直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用判断出三角形为直角三角形．
【详解】由，
利用正弦定理：，
整理得，
因为，所以，故，
故．
所以为直角三角形.
故选：D．
6．B
利用韦达定理求出，再利用两角和的正切公式求出，即可得解.
【详解】因为是方程的两根，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
则，
所以.
故选：B.
7．C
过作于，设正六边形的边长为，根据向量的数量积的定义计算，由，可得，根据数量积的几何意义计算得取值范围，从而得的取值范围，即可得答案.
【详解】如图，过作于，
设正六边形的边长为，则，，
则，
因为，
所以，
又，
由于是正六边形内部以及边界上任意一点，所以，
所以，即，所以，
故的最大值为.
故选：C.
8．D
在中，利用余弦定理与正弦定理可得、、，再借助向量线性运算及模长与数量积的关系可用、表示出，再利用三角形内角和与三角恒等变换公式可将表示为正弦型函数，再结合的范围计算即可得解.
【详解】
由，，则，，
在中，有，
即，即，
有，
故，，
，
则
，
其中，，
则当，即时，有最大值，
由，则，由，则，
故可取，故有最大值.
故选：D
【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式最值是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
9．ABC
运用向量的投影向量、向量的平方、向量垂直的判定以及向量数量积的相关概念和运算.对每个选项逐一进行分析判断.
【详解】解：，两个单位向量的夹角为，故根据投影向量定义可得，向量在上的投影向量为，故A正确；
向量的平方等于模的平方，所以，故B正确；
是不共线的单位向量，
故利均为非零向量，
，故C正确；
，故不正确.
故选：ABC.
10．BCD
由正弦定理求出外接圆半径，即可判断A；由正弦定理可求出角C，判断B；由余弦定理可求出ac的最大值，判断C；由余弦定理求出，可判断D.
【详解】对于A，由题意知，，故设外接圆的半径为R，则，
即得，则外接圆的面积为，A错误；
对于B，若，则，
则，B正确；
对于C，由余弦定理可得，即，
当且仅当时等号成立，则，
故面积的最大值为，C正确；
对于D，由，得，
则，当且仅当时等号成立，
即得，故周长的最大值为，D正确，
故选：BCD
11．BCD
根据，计算的值，结合正弦型函数的对称性，即可判断A；结合三角恒等变换化简，根据方程，即可得，由同角三角函数关系，即可判断B；结合辅助角公式进一步化简函数，根据余弦型函数的最值即可判断C；根据平面向量坐标运算的模长公式，利用三角恒等变换化简函数，结合正弦型函数的取值范围即可判断D.
【详解】因为函数，所以，
对于A，，所以不是的对称中心，故A不正确；
对于B，，
若实数满足，则，
所以，即，故B正确；
对于C，由B选项可得，
由于，则函数的最大值为，故C正确；
对于D，由平面向量，可得：
由于，则，所以，即的取值范围为，故D正确.
故选：BCD.
12．3
由题知与其共轭复数均为方程的根，进而由韦达定理即可得答案.
【详解】∵实系数一元二次方程的一个虚根为，
∴其共轭复数也是方程的根.
由根与系数的关系知，，
∴ ，.
故答案为：
【点睛】本题考查方程复数根的特点的应用，熟练掌握实系数方程的虚根成对原理（需明确两根为共轭复数）和根与系数的关系是解题的关键，属于基础题.
13．
在中，根据面积公式可得，由余弦定理可得与，在中由余弦定理即可得长.
【详解】在中，，，
所以，则，
由余弦定理得：，故，
由余弦定理得：，
若为中点，则在中，，
由余弦定理得：，
故.
故答案为：.
14．/
建立平面直角坐标系，设，表达出，结合，求出最小值.
【详解】以圆心为坐标原点，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
设，且，，
则，
则
，
故当时，取得最小值，
由于，则当时，取得最小值，
此时，或，，
故的最小值为.
故答案为：
15．（1）（2）（2，3）
（1）由纯虚数的概念列方程组求解即可；
（2）由复数的几何意义得，解不等式即可得解.
【详解】（1）因为复数为纯虚数，所以，
解之得，．
（2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以，
解之得，得．
所以实数的取值范围为（2，3）．
【点睛】本题主要考查了复数的概念及复数的几何意义，属于基础题.
16．(1)
(2)3
（1）根据向量垂直的性质，若两向量垂直，则它们的数量积为，通过计算向量与的数量积来求解的值；
（2）先求出的坐标，再根据向量模的计算公式得到关于的表达式，最后通过求二次函数的最值来确定的最小值.
【详解】（1）已知，，则，.
因为，所以.
可得：，解得 .
（2）.
根据向量模的计算公式可得：
.
被开方数看作关于的二次函数，对进行配方：
因为，所以，则.
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
17．(1)的单调递增区间为
(2)
【详解】（1）由函数部分图象可得，
可得函数的最小正周期，
所以，
可得，
又，结合图象可得，所以，
因为，所以，
所以，
令，解得，
可得的单调递增区间为；
（2）由于，可得，
因为，所以，
可得，
当时，
，不符合；
当时，
，符合，
则，
综上，.
18．(1)
(2)①长为；②
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理得：，即，
由余弦定理得：，
因为，所以；
（2）①因为，，所以，
即，解得，
设边上的角平分线长为，
则，
即，故，即，解得，
即设边上的角平分线长为；
②因为，，所以或，
因为，所以，
所以，即，则，
如图，设，

则在中，由正弦定理得，所以，
在中，由正弦定理得，所以，
所以的面积为
，
因为，所以，.
故当，即时，
19．(1)
(2)存在“长复数”，且“长复数”为
(3)或
【详解】（1）由题意可得：，又，
故，，，
故，
解得；
（2）存在“长复数”，且“长复数”为，理由如下：
由题意可得，
若存在“长复数”，只需要，
又，
故，即，，
当或时，符合要求，故存在“长复数”，且“长复数”为；
（3）由题意，得，，
即，
即，解得，
同理，所以，解得，
故，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
D
D
B
C
D
ABC
BCD
题号
11

答案
BCD