江苏省无锡市第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. AD 10. ABC 11.ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.【详解】（1）∵ ……3分
∴ ……6分
（2）又∵，且．
∴，即．∴，∵∴. ……10分
∴
=． …13分
16.
【详解】（1）∵，∴为直角三角形， ……2分
∵平面，且平面，平面，平面，
∴，,，∴和为直角三角形， ……4分
∵，∴平面，又∵平面，∴，∴为直角三角形，∴三棱锥为鳖曘. ……6分
（2） = 1 \* GB3 ①
连接，∵点分别为的中点，∴， ……9分
且平面，平面，所以直线平面， ……12分
= 2 \* GB3 ②平行，证明：平面，平面，平面平面=，
所以. ……15分
17.【详解】（1）
选择条件①：因为，
在中，由余弦定理可得，
……3分（不写由余弦定理或者公式扣1分）
由余弦定理可得，
则，
因为，所以. ……6分
选择条件②：因为，由正弦定理得，
.
……3分（不写由正弦定理或者公式扣1分）
即，
则，
因为，所以，
因为，所以. ……6分
（2）
因为，所以，即， ……8分
即，又因为，
所以. ……10分
由于的外接圆半径为，由正弦定理可得，
可得， ……12分
所以，
由余弦定理可得，
所以. ……15分
18.【详解】（1）
……5分
（2）证明：因为，两分别为，正方向上的单位向量，且夹角为，
所以 ， ……6分
……8分
所以， ……11分
（3）法1：若则显然成立，
若，存在，使得, ……14分
即,消去得
综上： 的充要条件是 ……17分（未讨论，统一扣1分）
法2：必要性：若，则；
若，则存在，使得,即消去得；…14分
充分性：当，若，则，若，不妨设，则，则则存在，使得，所以
…17分（未讨论，统一扣1分）
19.
【详解】（1）
如图，连接，设，连接.
因为，平面，平面，故， ……2分
而，，平面，
故平面，而平面，故，
由四边形为平行四边形可得，故为等腰三角形. ……4分
（2） 结交于，连结，由中位线性质可得，且，所以，因为所以， ……6分
可得为中点，所以，因为所以 ……8分
因为，所以.
……10分
（3）
法1：过A作BC垂线，垂足为T，连结QT，过A作QT的垂涎，垂足为S，连结PS，平面PBC，即平面PQTC
因为，所以
所以，所以，
则为与平面所成角， ……12分
设设，.， ……14分
当且仅当即时等号成立， ……16分
故此时. ……17分
……17分
（2）设，.
由（1）可得平面，而平面，故，
故四边形为菱形，而，故.
因为平面，平面，故， ……12分
故，同理.
而，故.
设为点到平面的距离，与平面所成的角为，
故.
又，
而，
故，故， ……14分
故， ……16分
当且仅当即时等号成立，
故此时. ……17分
1
2
3
4
5
6
7
8
B
B
C
B
C
A
C
D