陕西省2024届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)

这是一份陕西省2024届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔涂黑．
5．考试结束，本试卷和答题纸一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. 1B. 0C. D.
答案：D
解：∵，，，
∴，
故选：D．
2. 如图，是某商场的休息椅，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：它俯视图如图所示：
．
故选：B．
3. 如图，，E是上的点，若，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解：A、，故选项A错误，不符合题意；
B、，故选项B错误，不符合题意；
C、，故选项C错误，不符合题意；
D、，故选项D正确，符合题意，
故选：D．
5. 将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度后经过点，则的值为（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
答案：C
解：将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度后的直线解析式为，
∵平移后的直线经过点，
∴，
∴，
故选：C．
6. 如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若，则的长为（ ）
A. 10B. 12C. 8D. 14
答案：B
解：是的中位线，
，，，
又点为的中点，
，
∵，
∴，
，
即，
，
，
．
故选：B．
7. 如图，内接于经过圆心，过点作，交于点，交于点．若，则的长是（ ）
A. 3B. 2C. 5D. 4
答案：C
解：∵内接于经过圆心，
∴是的直径，
∴，
∵过点作，交于点，
∴，
即于点E，
∴，
设，则
在中，，
∴，
解得
∴的长是5，
故选：C
8. 如图是二次函数的图象，给出以下结论:①；②；③；④；⑤当时，随的增大而增大，其中正确的是（ ）
A. ①②④B. ②③④⑤C. ①③④D. ①③⑤
答案：C
解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴判别式△=，故结论①正确；
∵抛物线与x轴的交点分别为、，
∴抛物线的对称轴是，
∴，
∴，
即，故结论③正确；
∵二次函数开口向上，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在原点下方，
∴，
∴；故结论②不正确；
∵由函数图象可知，当时，，
∴，故结论④正确；
∵抛物线的对称轴是，且开口向上，
∴时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减少，故结论⑤不正确．
综上，结论①③④正确，
故选：C．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 若点与关于原点对称，则的值为______．
答案：
解：∵点与关于原点对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
10. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______．
答案：且
解：由题意得
，
方程有两个不相等的实数根，，
，，
即：
解得：，
且．
故答案为：且．
11. 如图，在正五边形的内部以为边作正方形，连接，则的度数为________．
答案：##81度
解：正五边形，正方形，
，
∴．
故答案为：．
12. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，若菱形的面积为8，则这个反比例函数的表达式为________
答案：
解：如图，连接交于点D，
由菱形的性质得，
设这个反比例函数的表达式为，则，
菱形的面积为8，
，
，
解得，
反比例函数部分图象在第二象限，
，
，
这个反比例函数的表达式为，
故答案为：．
13. 如图，在等边中，，以点为圆心，半径为作，点是边上的一个动点，过点作与相切于点，则线段的最小值为________
答案：
如图，连接，，作于点，则
在等边中，，
，
．
与相切于点
，
，且当的值最小时，的值最小，
当时，最小为．
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14. 解不等式：．
答案：
解：
去分母，得：，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
15. 计算：．
答案：
解：
．
16. 化简：．
答案：
原式=
．
17. 如图，在钝角中，，请用尺规作图法，在上求作一点，使得．(保留作图痕迹，不写作法)
答案：见解析
解∶如图，点即为所作．
如图，作的是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
18. 如图，在中，点分别在边上，连接，且．请从下面三个条件:①②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形，写出证明过程．
答案：选择①或选择③；见解析
解：选择①：证明如下：
∵，
∴．
，
∴，
∴，
∴平行四边形为菱形．
选择③：证明如下：
∵，
∴．
，
∴，
∴，
∴平行四边形为菱形．
19. 秦腔，别称“梆子腔”，中国汉族最古老的戏剧之一，起于西周，于西府，成熟于秦，是华夏民族文化的瑰宝，它深刻诠释了汉文化的发展，同时也承载着广大西部地区人民的精神寄托，是人们互相交流情感的一种方式．李爷爷，刘爷爷两位秦腔爱好者都想参加中老年俱乐部的汇演活动，需要各自从下面四部曲目中分别随机选择一部进行表演，如图所示，卡片除正面图案不同外，其余均相同．卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．

（1）李爷爷从中随机抽取一张，卡片正面是“D．龙凤呈祥”的概率是______；
（2）若李爷爷先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，刘爷爷再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两人中有一个人抽中“A．周仁回府”这个曲目的概率．
答案：（1）
（2）
【小问1详解】
∵李爷爷从中随机抽取一张，有4种等可能结果，卡片正面是“D．龙凤呈祥”的结果只有1种，
∴卡片正面是“D．龙凤呈祥”的概率是：；
【小问2详解】
列表如下：
从表格中可得：所有等可能的结果有12种，其中有一个人抽中“A．周仁回府”这个曲目的结果有6种，
∴两人中有一个人抽中“A．周仁回府”这个曲目的概率为：，
20. 2024龙年春晚主题为“龙行龘龘(dá)，欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注，据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣12月份销售量为150件，2月份销售量为216件，求该款上衣销售量的月平均增长率．
答案：该款上衣销售量的月平均增长率为
解：设该款上衣销售量的月平均增长率为根据题意，得
，
解得舍去)，
答:该款上衣销售量的月平均增长率为，
21. 如图，在综合与实践活动中，小辰所在的数学兴趣小组要利用测角仪测量塔的高度，塔前有一座高为的观景台，已知，点在同一条水平直线上，且．小辰在处用测角仪测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．请你根据以上数据，帮小辰求出塔的高度．
(结果保留整数；参考数据：)

答案：塔的高度约为
解∶在中，，
∴．
如图，过点作，垂足为点，
A
B
C
D
A
B，A
C，A
D，A
B
A，B
C，B
D，B
C
A，C
B，C
D，C
D
A，D
B，D
C，D

由题意得，，
在中，，
，
故可设，
．
在中，，
．
，
，
解得∶，
故塔高度约为．
22. 春节是中国重要的传统节日之一，阳光中学组织学生参加关于中国传统文化知识的线上测试活动．为了解七、八年级学生此次线上测试活动的成绩情况，分别随机在七、八年级各抽取了20名学生的成绩进行整理和分析，下面给出部分信息．

抽取的七、八年级学生测试成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；扇形统计图中圆心角________°；
（2）分别求出表格中的值；
（3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人，若95分及以上为优秀，请估计该校七、八年级此次线上测试成绩优秀的总人数．
答案：（1）见解析，18
（2）
（3）565人
【小问1详解】
解：90分的人数为：（人，
补全条形统计图如下：
年级
平均分
中位数
众数
七
m
n
95
八
93.5
95
k

扇形统计图中圆心角，
故答案为：18；
【小问2详解】
解：由题意得：，
把七年级抽取的20名学生测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为95，95，故中位数；
由扇形统计图可知，成绩100分的百分比最大，故八年级的众数；
【小问3详解】
解：
（人，
答：估计该校七、八年级此次线上测试成绩优秀的总人数约565人．
23. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，且，求点的坐标．
答案：（1）
（2）点的坐标为或
【小问1详解】
解：由题意知，将点代入，
得，即，
∴．
又∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为
【小问2详解】
解：当时，
∴，
∴点的坐标为，
设，可得，
∴，
解得∶或，
∴点的坐标为或．
24. 如图，四边形内接于，延长到点，连接交于点，且．
（1）求证:平分；
（2）若，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
【小问1详解】
证明：，
，
四边形圆内接四边形，
，
，
，
，
平分；
【小问2详解】
解：过点作于点，
由（1）知，平分，
，
，
在与中，
，
∴，
，
，
在与中，
，
∴，
，
，
在中，
，
∵
∴
∵
∴
∴
，
，
，
．
25. 如图，是某景区步行街修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为9米，宽为18米，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．矩形是安装的一个“光带”，且点，在抛物线上，点，在上．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）求所需的三根“光带” ，，的长度之和的最大值，并写出此时的长．
答案：（1）抛物线的函数表达式为
（2）当米时，三根“光带”长度之和的最大值为米
【小问1详解】
解：由题意知，顶点，，
可设该抛物线的函数表达式为，
抛物线过原点，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
设点的坐标为，则，，
根据抛物线的轴对称性质，可得，
故，
，
，
当 米时，三根“光带”长度之和的最大值为 米．
26. （1）如图1，在矩形中，为边上一点，请在的延长线上找一点，使得并说明理由；
（2）如图2，某新修建的公园有一块五边形空地，已知，，，，，，，，，点在边上，且．园区管理人员计划将这块空地种植牡丹，吸引游客观赏打卡．为了方便游客行走，要在其中间修一条过点的笔直小路(路的宽度不计)，使得小路的另一出口在上的点处，且恰好将五边形分成面积相等的两部分．请你帮园区管理人员确定出点到点的距离，并求出小路的长．
答案：（1）见解析 （2）点在线段距离点，小路的长为
【小问1详解】
连接，过点作，交的延长线于点，连接，则点即为所求．
理由∶∵，
，
，
，
；
【小问2详解】
如图，连接，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接．
，，
，
，，
，
，
，，
四边形为矩形，
，，
，
，
又，
∴，
，，
，，
，，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
∵直线恰好将五边形分成面积相等的两部分，
，
，
，
∴点在线段距离点处，
，
∴小路的长为．