陕西省西安市长安区2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份陕西省西安市长安区2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共18页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 计算结果是（ ）
A. B. C. D. 1
答案：C
解析：解：，
故选：C．
2. 下图是正方体的平面展开图，若还原成正方体，则与“人”字相对的一面的汉字是（ ）
A. 改B. 汗C. 水D. 写
答案：B
解析：解：根据正方形的平面展开图，观察可知，“人”字与“汗”字相对．
故选：B．
3. 计算：（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：．
故选：B
4. 如图，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
故选A．
5. 若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：由于一次函数的图象不经过第三象限，
∴，
解得，
故选：C．
6. 如图，在矩形中，分别为对角线上三点，为上一点，分别沿折叠和，使得点A、C的对应点恰好都落在点上，则的长等于（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
答案：B
解析：解：∵折叠
∴
∵四边形是矩形
∴
∴
∵
∴
在中，
即
解得
∴
故选：B
7. 如图，A、B、C为上三点，于点，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解析：解：所对的圆心角是，所对的圆周角是，
，
，
，
，
，
，
故选：B
8. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴的一个交点的横坐标为3，则另一个交点的横坐标为（ ）
A. B. C. D. 1
答案：C
解析：解：由题意，得：
可得对称轴：，
抛物线与轴的一个交点的横坐标为3，
则与x轴的另一个交点的横坐标为．
故选：C．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 在数轴上，到表示的点距离最近的整数点表示的实数是______．
答案：4
解析：解：，
，
，
在数轴上与表示的点距离最近的点所表示的整数是4．
故选：4．
10. 如图，正五边形内接于，连接，则______．
答案：
解析：解：∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，
故答案为：．
11. 清朝数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的边上的高，则，当时，则的面积为______．
答案：
解析：∵，
∴，
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
12. 如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线y=在第一象限内的图象经过OB边的中点C，则点B的坐标是______．
答案：
解析：解：过点C作CE⊥x轴，垂足为E，设点C的坐标为（a，b）（a＞0），
∵点C在双曲线 上，
∴ab=，
又∵△OAB是等边三角形，
∴∠BOA=60°，
在Rt△OCE中，tan60°= = =，
∴b=a，
∴a=1，b= ，
∵点C是OB的中点，
∴点B的坐标是（2，2），
故答案为：．
13. 如图，在中，为上一点，为上一点，若，则的最小值为______．

答案：
解析：解：以的中点O为圆心，的长为半径作圆，连接，如图，

，
点D在上，
当CE最小时，即最小，
当时，最小，即CE最小，
设，则，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
CE的最小值为；
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 解不等式组：．
答案：
解析：解：由得：，
由得：，
所以原不等式组的解集为：．
15. 计算：．
答案：
解析：解：原式
16 解方程：．
答案：
解析：解：，
，
，
，
解得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
17. 如图，在中，，，为上一点，且，利用圆规和无刻度直尺在线段上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
答案：作图见解析
解析：解：如图所求，点即为所求．
18. 如图，点B、E在线段上，相交于点，若，求证：．
答案：见解析
解析：证明：，
∴，
19. 某种商品的原利润率为，为了提高销量，决定降价20元销售，此时利润率下降为，求这种商品的进价是多少元？
答案：这种商品的进价为100元
解析：解：设这种商品的进价为x元，
由题意得：，
解得：，
答：这种商品的进价为100元．
20. 某中学组织学生到社区参加献爱心活动．甲、乙、丙、丁4名学生积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是班长．
（1）若学校决定从这4名学生中随机选取1人参加活动，则甲被选中的概率为______；
（2）若需要从这4名学生中随机选取2人参加活动，利用列表或画树状图的方法，求被选中的2名学生恰好都是班长的概率．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
解：若学校决定从这4名学生中随机选取1人参加活动，则甲被选中的概率为，
故答案为：．
小问2解析：
解：列表，
答：共有12种等可能结果，其中符合要求的共有6种，被选中的2名学生恰好都是班长的概率为．
21. 随着社会车辆的增多，儿童安全问题成为社会关注的焦点，建议司机和行人时刻“警惕汽车视线盲区，谨防看不见的安全隐患”．如图，在某小区内住宅楼拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被住宅楼遮挡的拐角另一侧的处驶来，已知，汽车从处前行多少米才能发现处的儿童．（结果保留到，参考数据：
答案：汽车从处前行米才能发现处的儿童．
解析：解：连接，并延长交于点，
由图知：，
，
，即，
．
在中，
，即，
，
．
答：汽车从处前行米才能发现处的儿童
22. 如图是小明“探究拉力与斜面高度关系”实验装置，A、B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面（斜面足够长）斜向上做匀速直线运动，实验结果如图1、图2所示．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力是高度的一次函数．
（1）求出与之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围）
（2）若弹簧测力计的最大量程是，求装置高度的取值范围．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
设与之间的函数表达式为，
将点代入得：
解得：
所以与之间的函数表达式为．
小问2解析：
当时，，
解得，
所以．
23. 为增强学生安全意识，某校举行了一次全校3000名学生参加的安全知识竞赛，从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩分成四个等级；，并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中等级所在扇形的圆心角为______度；
（3）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
答案：（1）300，36，图见解析
（2）
（3）480人
小问1解析：
解：，
∵，
∴；
故答案为：300，36；
D等级学生有：（人），
补全的频数分布直方图，如图所示：

小问2解析：
扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为；
故答案为：144；
小问3解析：
（人），
答：估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有480人．
24. 如图，为的直径，为圆上异于A、B的点，为上一点，连接并延长交于点，连接，过点作于点．
（1）求证：；
（2）若的半径为，，，求的长．
答案：（1）见解析；
（2）．
小问1解析：
证明：是的直径，
．
，，
．
小问2解析：
解：过点作于点，
，
，
，
．
又，
，
，
，
．
由（1）知：，
．
25. 2023年5月28日，C919商业首航完成中国民航商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪），如图1，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车从机翼两侧向斜上方喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱恰好在抛物线的顶点处相遇，此时相遇点距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．如图2，以地面两辆消防车所在的直线为轴，过点所在的铅直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）写出点B、H的坐标，并求出抛物线的关系式；
（2）两辆消防车同时向后移动相同的距离，此时两个水柱的交点记为，若，请求出两辆消防车移动的距离．
答案：（1），；
（2）两辆消防车应同时向后移动10米．
小问1解析：
由题意得：，
为抛物线的顶点，
设，
将点代入得：，
解得：，
；
小问2解析：
由题知，
．
同时移动后两条水柱形成的抛物线关于轴对称，因此就是平移后任意一条抛物线与轴的交点，设右侧消防车向后移动了米，
则平移的后抛物线为，
将点代入上式，解得：或-10（舍），
因此要使，两辆消防车应同时向后移动10米．
26. （1）如图1，在平行四边形中，，我们在求的周长时可以这样做：连接，延长至点，使得，延长至点，使得，连接，，将的周长转化为线段的长，若．
（ⅰ）的度数为______；
（ⅱ）求的周长；
（2）如图2，是华为科技西安分公司设计的一种新型零件的示意图，四边形各边均由同种特殊材料制成，依据设计要求：，且均为锐角．为使该零件能够有效配置到机器中，同时还要求点到的距离都为，为节约成本，在满足以上所有要求的同时，使四边形的周长尽可能小，请问四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
答案：（1）（ⅰ）；（ⅱ）；（2）存在，四边形周长的最小值为．
解析：解：（1）（ⅰ）∵，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（ⅱ）过点作，交的延长线于点．
由（ⅰ）知，则，
∵，
，
，
，
的周长为．
（2）如图，过点作于点，作于点，由题意得：，
点在的平分线上，且四边形为正方形，
∵
，
四边形的周长．
将绕点逆时针旋转，使得与重合，则旋转后的对应点为落在直线上，
则四边形的周长，
在直线上延截取长、至使得，连接，
则四边形的周长．
作外接圆，连接，作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
而，即，解得：，
，
，
四边形周长的最小值为．甲
乙
丙
丁
甲
甲乙
甲丙
甲丁
乙
乙甲
乙丙
乙丁
丙
丙甲
丙乙
丙丁
丁
丁甲
丁乙
丁丙