陕西省商洛市2025届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)

这是一份陕西省商洛市2025届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．5
2．一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面形状是（ ）
A．圆形B．正方形C．三角形D．六边形
3．如图，已知，直线分别与交于点F、E，则与互补的角共有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
4．分式方程的解是（ ）
A．B．C．D．
5．已知点，在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，且，若，则的长为（ ）
A．B．2C．D．
7．如图，是的直径，弦交于点E，连接．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．已知二次函数，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的最大值为5B．该函数的图象开口向上
C．该函数的图象一定经过点D．该函数的图象对称轴在y轴右侧
二、填空题
9．的算术平方根是 ．
10．如图，在中，，于点D，若，，则的长为 ．
11．我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则 ．
12．在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于A、B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标为 ．
13．如图，在中，，的平分线交于点D，点O在上，的垂直平分线分别交、于点E、F，连接，若，则的面积为 ．

三、解答题
14．解不等式：＞x﹣1．
15．计算：．
16．先化简，再求值：，其中，．
17．如图，已知E是的边OA上一点，．请用尺规作图的方法在上求作一点P，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
18．如图，在矩形中，点M是上一点，连接，且，于点N，求证：．
19．书法是中国及深受中国文化影响过的周边国家和地区特有的一种文字美的艺术表现形式．“中国书法”是中国汉字特有的一种传统艺术，有篆书、隶书、楷书、行书、草书五种书体（如图所示）．荣荣和苗苗都是书法爱好者，她们准备从这几种书体中分别随机选择一种练习写“春”字．
(1)荣荣选择“楷书”练习“春”字的概率为______；
(2)请用列表或画树状图的方法求荣荣和苗苗选择不同书体练习“春”字的概率．
20．某校为增强学生体质，举办体育文化艺术节，由王老师和张老师制作宣传展板．已知王老师单独完成需要4天，张老师单独完成需要6天，若由张老师先做1天，再由王老师和张老师合作完成，求还需要几天可以完成展板的制作？
21．如图，某商场开业当天，在商场门前的广场上举行无人机表演，某一时刻，甲在商场的楼顶C处观测到其中一架无人机D的仰角为，同一时刻，乙在A处观测到无人机D的仰角为，已知乙的位置A到商场的距离，商场的高度，，，点A、B、C、D、E都在同一平面上，求此时无人机的高度DE．（结果取整数，参考数据：，，，）
22．放学后小明和小亮兄弟两人都从学校（同一学校）回家，已知学校到家的距离为3000米，由于小亮要值日，因此在小明先出发1000米后，小亮再出发．小明在回家途中速度保持不变，小亮在出发5分钟后加快自己的速度，如图是小明、小亮两人离学校的距离y（米）与小亮出发的时间x（分）之间的函数图象．
(1)求段的函数表达式；
(2)当小亮回到家时，小明距离家还有多远？
23．“元宵节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“元宵”的习俗．某超市为在元宵节前对购进的元肖袋数作出计划，在该超市附近某居民区对该居民区每户去年购买元宵的袋数进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息回答：
(1)补全条形统计图，所调查居民中去年购买元宵袋数的众数是______袋，中位数是______袋；
(2)求所调查的居民去年平均每户购买元宵的袋数；
(3)若该居民区共有6000户居民，请估计该居民区去年购买2袋元宵的户数．
24．如图，内接于，是的直径，过点B作的切线，交的延长线于点D．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
25．近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着大家前去体验，各式帐篷已成为户外活动的必要装备，其中抛物线型帐篷支架简单，携带方便，适合休闲旅行使用．如图1，这款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度，在图1中以所在直线为x轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系．

(1)求帐篷支架对应的抛物线的函数表达式；
(2)每款帐篷张开时的宽度和顶部高度都会影响其容纳椅子的数量，图2为一张椅子摆人这款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放的椅子数量．
26．【问题提出】
（1）如图1，在中，，点A在外，连接，若，，点O是上的一个动点，连接、，当最小时，的度数为______；
【问题探究】
（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，，点D在边上，点F是延长线上一点，且，连接，判断与的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，是某公园门口规划的一块等腰三角形广场，在边上找一点D修建便民服务中心，在右侧修建一个等边三角形（即）的草坪，沿铺设一条石子小路（宽度忽略不计），从的中点F处向点A铺设一条灯光地板．已知，，若在线段上找一点P修建游客休息亭，，当点B到点P的距离与的长度之和最小（即最小）时，求此时铺设灯光地板的长度．

《陕西省商洛市2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题》参考答案
1．A
解：的相反数是，
故选：A．
2．C
解：由这个几何体的侧面展开图得：这个几何体是三棱柱，
所以该几何体的底面形状是三角形，
故选：C．
3．D
解：如图，

由图可知，．
∵，
∴，
∴，
∴与互补的角共有4个．
故选D．
4．C
解：，
两边都乘以，得
，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
故选C．
5．A
解：点，在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，，
随的增大而增大，
，
，
故答案为：A．
6．C
解：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7．B
解：如图，连接．
∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
故选B．
8．D
解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，
∵，
∴，
∴该函数的最大值大于5，故A错误；
∵当时，，
∴该函数的图象不经过点，故C错误；
∵，
∴，
∴该函数的图象对称轴在y轴右侧，故D正确．
故选：D．
9．
，9的算术平方根为
的算术平方根为．
故答案为：．
10．5
解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：5．
11．12
解：∵大正方形的面积是25，
∴，
∵小正方形的面积是1，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12．
12．
解：根据题意，知点A与B关于原点对称，
∵点A的坐标是，
∴B点的坐标为．
故答案为：．
13．
解∶ 如图，连接、，作于点H．
垂直平分，
，
，
平分，
，
，
，
同理可证明，
四边形是平行四边形，
∵，
四边形是菱形，
，
，
．
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14．x＜4
解：＞x﹣1，
1+2x＞3x﹣3，
2x﹣3x＞﹣3﹣1，
﹣x＞﹣4，
x＜4．
15．
解：
．
16．，
解：
，
将，代入得原式．
17．见解析
解：如图，作的平分线，交于点P，
可得．
∵，
∴，
∴，
∴点P即为所求．
18．见解析
证明：∵四边形是矩形，，
，，
．
在和中，
，，，
，
．
19．(1)
(2)
（1）解：∵5中字体有1种事楷体，
∴荣荣选择“楷书”练习“春”字的概率为．
故答案为：．
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知共有25种等可能的结果，其中荣荣和苗苗选择不同书体练习“春”字的情况有20种，
∴荣荣和苗苗选择不同书体练习“春”字的概率为．
20．2天
解：设还需要x天可以完成展板的制作，
由题意，得，
解得，
答：还需要2天可以完成展板的制作．
21．
解：过点作，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴．
，
设，
则，，．
在中，
，即，
解得，
，
此时无人机的高度为．
22．(1)
(2)800米
（1）解：设段的函数表达式为，
将点代入，
得
解得
段的函数表达式为．
（2）解：设小明离学校的距离的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
，
当时，，
（米），
∴当小亮回到家时，小明距离家还有800米．
23．(1)图见解析，2，2
(2)1.98袋
(3)2400户
（1）解：户，
户，
补全条形统计图如下：
∵从小到大排列后排在100和101位的数都是2，
∴中位数是2．
∵2出现了80次，出现的次数最多，
∴众数是2．
故答案为：2，2；
（2）（袋），
∴所调查的居民去年平均每户购买元宵1.98袋．
（3）解：（户），
∴估计该居民区去年购买2袋元宵的有2400户．
24．(1)见解析
(2)2
（1）证明：连接．
，
．
与相切于点，
，则．
是的直径，
，则，
．
（2）解：，
，
，即，
，
，
的半径是2．
25．(1)
(2)6把
（1）解：帐逢张开时的宽度，顶部高度，
，顶点坐标为．
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）解：椅子的高度，宽度，
将代入，
得，
解得，
，
（把），
最多可撰放6把椅子．
26．（1）45；（2），理由见解析；（3）
（1）解：连接，交于点M，根据两点之间线段最短原理，得当三点共线时，最小，即当点O与点M重合时，最小，

∵，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：45；
（2）解：与的数量关系为．理由如下：
根据题意，得，
∴即，
∵，，，

∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：过点A作，且，
连接交于点G，连接，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∴当P，M，B三点共线时，取得最小值即点P与点G重合，取得最小值，
过点A作于点T，
∵，，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
延长到点N，使得，连接，，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴
∴，
∵，，
∴，
过点C作，交的延长线于点Q，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴

故此时铺设灯光地板的长度为．