陕西省西安市长安区2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷（解析版）

这是一份陕西省西安市长安区2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 下面4个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．是轴对称图形，故A不符合题意；
B．是轴对称图形，故B不符合题意；
C．是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D符合题意．
故选：D．
2. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴的倒数是，
故选：B．
3. 年3月7日，哈医大和哈工大科研团队研发的新型纳米机器人取得新突破，可在6分钟内清除4毫米静脉血栓．经临床实验数据显示，该纳米机器人单个宽度仅为（即）．将数据“”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
故选：A.
4. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】B
【解析】，，，
，
一元二次方程有两个相等的实数根．
故选：B．
5. 如图，一块三角形的玻璃破成三片，一位同学很快拿着其中一片玻璃说：根据所学知识就能配出一个与原三角形完全一样的图形．他这样做的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】第一片玻璃只有一个角与原三角形相等，无法判断与原三角形全等；
第二片玻璃既没有边与原三角形相等，也有没有角与原三角形相等，无法判断与原三角形全等；
第三片玻璃有两角及其夹边与原三角形相等，可以通过判定新三角形与原三角形全等；
故选：D．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，计算正确，故选项符合题意；故选：D．
7. 一副直角三角板按如图所示的位置摆放(角的顶点与角的顶点重合)，若，则的度数是( )

A. B. C. °D.
【答案】B
【解析】记交于点，如解图所示．

由题意，可知，．∵
．
，故选B．
8. 如图，四边形是菱形，连接交于点O，过点A作，交于点E，若，则的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形是菱形，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
9. 单项式次数是______
【答案】
【解析】单项式次数：，
故答案为：．
10. 我国战国时期提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为尺，第二天再折断一半，其长为
尺，…，第天折断一半后得到的木棍长应为__________尺．
【答案】
【解析】∵第一天折断一半，其长为尺，
第二天再折断一半，其长为尺，，
第三天再折断一半，其长为尺，，
…，
∴第n天折断一半后得到的木棍长为尺．
故答案为：．
11. 如图，数轴上的有理数a，b满足|3a﹣b|﹣|a+2b|＝|a|，则＝_____．
【答案】．
【解析】∵由题意可知：3a﹣b＜0，a+2b＞0，a＜0，
∴b﹣3a﹣（a+2b）=﹣a．
整理得：﹣b=3a．
∴．
故答案为：．
12. 如图，在矩形中，是上一点，将沿折叠，点恰好落在边上点处，连接交于点，点为的中点，连接，若，则的长为__________．
【答案】
【解析】如图，连接
∵四边形为矩形，
，
在中，由勾股定理可得，
设，则，
在中，由勾股定理可得，解得，
在中，根据勾股定理，得，
由折叠性质得，
又点是的中点，
是的中位线，
．故答案为：
13. 如图，正方形的边的周长为，是的中点，是上的动点，过点作，分别交于点．则的最小值是______．
【答案】
【解析】如图，过点作，垂足为，
∴，，
∵正方形的周长为，
∴边长为，
∴，，
∵是的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
将沿方向平移至，连接，则，
∴，
∴，，则为等腰直角三角形，
当三点共线时，值最小，
此时．
三、解答题（共13小题，共81分）
14. 计算：．
解：
．
15. 先化简，再求值：（a﹣b）（a+b）﹣（a﹣b）2+2b2，其中a＝﹣2，b＝．
解：原式＝a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2+2b2＝2ab，
当a＝-2，b＝ 时，原式＝2×（﹣2）×＝﹣2．
16. 用适当方法解方程：
解：
或，
解得：，．
17. 一个大人一餐能吃4个面包，4个幼儿一餐只吃一个面包，现大人和幼儿共人，一餐刚好吃光个面包．这个人中大人和幼儿各有多少人？
解：设大人有人，则幼儿有人，
则，
解得，
幼儿：（人），
答：大人人，幼儿人．
18. 如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B，C，D三点共线，连接AD，BE相交于点P，求证：BE=AD．
证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACE=60°，∴∠ACD=∠BCE=120°，
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．
19. 如图，某公园门口的限行柱之间的三个通道分别记为A、B、C，这三个通道宽度相同，行人选择任意一个通道经过的可能性是相同的．周末甲、乙、丙、丁四位同学相约去该公园游玩．
（1）甲同学选择A通道的概率是______；
（2）用画树状图法或列表法，求甲、丙两位同学从同一通道经过的概率．
解：（1）甲的选择有三种等可能结果：A、B、C，其中选择A占一种，
故选择A的概率为；
（2）列表：
由表中知，这个实验一共有9种等可能结果，其中相等的占三种，
故甲、丙两位同学从同一通道经过的概率为．
20. 如图，在中，，请用尺规作图的方法在上求作一点，使得点到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法）
解：根据题意，，点到的距离等于，判定点P一定在的角平分线上，作图如下：
则点P即为所求．
21. 如图，四边形为矩形，O为中点，过点O作的垂线分别交、于点E、F，连接、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
（1）证明：为中点，，
为的垂直平分线，
，，
则，．
∵四边形是矩形，
，
，
，
∴，
四边形平行四边形．
又，
四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，，
，，
，
设，
在中，，
在中，．
，
解得，
．
22. 为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为小时，其中分组情况如下：
组：组：组：组：组：
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了________名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求组所对应的扇形圆心角的度数为________°；
（4）若该校有名学生，请估计该校睡眠时间不足小时的学生有多少人？
（1）解：由统计图可知，本次共调查了（人），
故答案为：．
（2）解：选择的学生有：（人），
选择的学生有：（人），
分补全的条形统计图如图所示；
（3）解：由题意知，组所对应的扇形圆心角度数为，
∴组所对应的扇形圆心角度数为．
（4）解：（人），
答：估计该校睡眠时间不足小时的学生约有人．
23. 某超市以25元/件的购进一批商品，当售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销量达到400件．
（1）求四、五这两个月销量的月平均增长百分率．
（2）经预测，该商品在六月份的销量将与五月份持平，超市为减少库存，用降价促销方式，该商品每降价2元，月销量增加10件，当商品降价多少元时，超市六月份可获利4250元？
解：（1）设四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为，由题意，得：
，
解得：或（舍去）；
答：四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为；
（2）设降价元，由题意，得：，
解得：或（舍去）；
答：应降价5元．
24. 用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有个棋子，第4个图形中有个棋子，以此类推．
【规律发现】
（1）第6个图形中有___________个圆形棋子；
（2）第个图形中有___________个圆形棋子；（用含的代数式表示）
【规律应用】
（3）将2025个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放成功，是第几个图形？若不能，请说明理由．
（1）解：由图可知：第一个图形有个圆形棋子，
第二个图形有个圆形棋子，
第三个图形有个圆形棋子，
第四个图形有个圆形棋子，
以此类推，
第六个图形有个圆形棋子，
故答案为：．
（2）解：由（1）得：
第个图形中有个圆形棋子；
故答案为：．
（3）解：能摆放成功，理由如下：
由题可得：，
解得：，
∵为整数，
∴2025个圆形棋子在第个图形中，能够按照题中的规律一次性摆放．
25. 拓广探索：
若x满足，求的值．
解：设，
则，
∴．
请仿照上面的方法求解问题：
（1）若x满足，求的值．
（2）已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积．
解：（1）设，，
则，，
∴；
（2）∵正方形的边长为，，
∴，，
设，，
则，，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
26. 综合与探究：已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点．
（1）【动手操作】
如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度；
（2）【深入探究】
E是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：；
（3）【拓展应用】
在（2）的条件下，若是射线上的一个动点，，，求线段的长．
（1）解：根据题意，画出图形如解图①，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：135；
（2）证明：如解图②，在上截取，连接，则 ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
， ，
， ，
，，
，
．
（3）解：如解图①， 四边形是正方形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
如解图②，当点在线段上时，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
．
，即，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
如解图③，当点在延长线上时，延长至点，使，连接，
则是等腰直角三角形，
，，，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
．
综上所述，线段的长为3或7．
甲 丙
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）