陕西省商洛市2024-2025学年九年级下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份陕西省商洛市2024-2025学年九年级下学期开学考试 数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色星水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握相反数的定义是解题关键．根据相反数的定义求解即可得．
【详解】解：的相反数是，
故选：A．
2. 一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面形状是（ ）
A. 圆形B. 正方形C. 三角形D. 六边形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何体的侧面展开图，熟悉常见几何体的侧面展开图是解题的关键．根据侧面展开图可以判断此几何体为三棱柱，然后得出结论即可．
【详解】解：由这个几何体的侧面展开图得：这个几何体是三棱柱，
所以该几何体的底面形状是三角形，
故选：C．
3. 如图，已知，直线分别与交于点F、E，则与互补的角共有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，补角的性质．由邻补角的定义可得，由平行线的性质得，进而可得出与互补的角共有4个．
【详解】解：如图，

由图可知，．
∵，
∴，
∴，
∴与互补的角共有4个．
故选D．
4. 分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解法，两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．
【详解】解：，
两边都乘以，得
，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
故选C．
5. 已知点，在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特点，熟知一次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．直接根据即可得出随的增大而增大，进而可求k的取值范围．
【详解】解：点，在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，，
随的增大而增大，
，
，
故答案为：A．
6. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，且，若，则的长为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得，得到，利用正弦函数的定义求得，，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7. 如图，是的直径，弦交于点E，连接．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．由等弧所对的圆周角相等得，由是的直径，进而可求出．
【详解】解：如图，连接．
∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
故选B．
8. 已知二次函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 该函数的最大值为5B. 该函数的图象开口向上
C. 该函数的图象一定经过点D. 该函数的图象对称轴在y轴右侧
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，先把二次函数解析式化为顶点式，得到二次函数开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，可判断B错误；结合可判断A错误；把代入解析式可判断C错误；根据对称轴为直线，可判断D正确．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，
∵，
∴，
∴该函数的最大值大于5，故A错误；
∵当时，，
∴该函数的图象不经过点，故C错误；
∵，
∴，
∴该函数的图象对称轴在y轴右侧，故D正确．
故选：D．
第二部分（非选择题共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 的算术平方根是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
先计算，然后计算9的算术平方根即可得出答案．
【详解】，9的算术平方根为
的算术平方根为．
故答案为：．
10. 如图，在中，，于点D，若，，则的长为______．
【答案】5
【解析】
分析】根据题意，得，结合，证明，列比例式解答即可．
本题考查了三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：5．
11. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，以及完全平方式，由题意可得，，，进而可得．
【详解】解：∵大正方形的面积是25，
∴，
∵小正方形的面积是1，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12．
12. 在平面直角坐标系中，过原点直线与反比例函数的图象交于A、B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的对称性，先确定它们成中心对称，再根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答，熟练掌握反比例函数图象的中心对称性质是解决此题的关键．
【详解】解：根据题意，知点A与B关于原点对称，
∵点A的坐标是，
∴B点的坐标为．
故答案为：．
13. 如图，在中，，的平分线交于点D，点O在上，的垂直平分线分别交、于点E、F，连接，若，则的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】连接、，作于点H．由垂直平分可得，结合平分可知四边形是菱形，则，．由菱形的性质及可得，则，则，进而可求面积．
【详解】解∶ 如图，连接、，作于点H．

垂直平分，
，
，
平分，
，
，
，
同理可证明，
四边形是平行四边形，
∵，
四边形是菱形，
，
，
．
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，菱形的性质和判定，30度角直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟知相关知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14. 解不等式：＞x﹣1．
【答案】x＜4
【解析】
【分析】按照去分母，移项，合并同类项，系数化成1的步骤求解即可．
【详解】解：＞x﹣1，
1+2x＞3x﹣3，
2x﹣3x＞﹣3﹣1，
﹣x＞﹣4，
x＜4．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
先由绝对值运算、特殊角的三角函数值运算、负整数指数幂运算分别求解，进而计算即可．
【详解】解：
．
16. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查了整式的混合运算．先根据单项式乘以多项式和多项式除以单项式运算法则进行化简，再把，代入计算即可．
【详解】解：
，
将，代入得原式．
17. 如图，已知E是的边OA上一点，．请用尺规作图的方法在上求作一点P，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图、平行线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．作的平分线，交于点P，则点P即为所求．
【详解】解：如图，作的平分线，交于点P，
可得．
∵，
∴，
∴，
∴点P即为所求．
18. 如图，在矩形中，点M是上一点，连接，且，于点N，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质及全等三角形的判定和性质，正确找出三角形全等的条件是解题的关键．
根据四边形是矩形，可得，，进而可得，即以证明，可得结论．
【详解】证明：∵四边形是矩形，，
，，
．
在和中，
，，，
，
．
19. 书法是中国及深受中国文化影响过的周边国家和地区特有的一种文字美的艺术表现形式．“中国书法”是中国汉字特有的一种传统艺术，有篆书、隶书、楷书、行书、草书五种书体（如图所示）．荣荣和苗苗都是书法爱好者，她们准备从这几种书体中分别随机选择一种练习写“春”字．
（1）荣荣选择“楷书”练习“春”字的概率为______；
（2）请用列表或画树状图的方法求荣荣和苗苗选择不同书体练习“春”字的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）由概率公式即可得出答案；
（2）画树状图，共有25个等可能的结果，荣荣和苗苗选择不同书体练习“春”字的情况有20种，由概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵5中字体有1种事楷体，
∴荣荣选择“楷书”练习“春”字的概率为．
故答案为：．
【小问2详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知共有25种等可能的结果，其中荣荣和苗苗选择不同书体练习“春”字的情况有20种，
∴荣荣和苗苗选择不同书体练习“春”字的概率为．
20. 某校为增强学生体质，举办体育文化艺术节，由王老师和张老师制作宣传展板．已知王老师单独完成需要4天，张老师单独完成需要6天，若由张老师先做1天，再由王老师和张老师合作完成，求还需要几天可以完成展板的制作？
【答案】2天
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．设还需要x天可以完成展板的制作，将展板的制作看作单位1，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设还需要x天可以完成展板的制作，
由题意，得，
解得，
答：还需要2天可以完成展板的制作．
21. 如图，某商场开业当天，在商场门前的广场上举行无人机表演，某一时刻，甲在商场的楼顶C处观测到其中一架无人机D的仰角为，同一时刻，乙在A处观测到无人机D的仰角为，已知乙的位置A到商场的距离，商场的高度，，，点A、B、C、D、E都在同一平面上，求此时无人机的高度DE．（结果取整数，参考数据：，，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
过点作，则四边形是矩形，根据，设，，分别表示相关边，，，代入三角函数值并求解x即可．
【详解】解：过点作，
∵，，
∴四边形矩形，
∴．
，
设，
则，，．
在中，
，即，
解得，
，
此时无人机的高度为．
22. 放学后小明和小亮兄弟两人都从学校（同一学校）回家，已知学校到家的距离为3000米，由于小亮要值日，因此在小明先出发1000米后，小亮再出发．小明在回家途中速度保持不变，小亮在出发5分钟后加快自己的速度，如图是小明、小亮两人离学校的距离y（米）与小亮出发的时间x（分）之间的函数图象．
（1）求段的函数表达式；
（2）当小亮回到家时，小明距离家还有多远？
【答案】（1）
（2）800米
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用．
（1）设段的函数表达式为，将点代入求解即可；
（2）先求出小明离学校的距离的函数表达式，将代入求出与学校的距离，进而可求出小明距离家还有多远．
【小问1详解】
解：设段的函数表达式为，
将点代入，
得
解得
段的函数表达式为．
【小问2详解】
解：设小明离学校的距离的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
，
当时，，
（米），
∴当小亮回到家时，小明距离家还有800米．
23. “元宵节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“元宵”的习俗．某超市为在元宵节前对购进的元肖袋数作出计划，在该超市附近某居民区对该居民区每户去年购买元宵的袋数进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息回答：
（1）补全条形统计图，所调查居民中去年购买元宵袋数的众数是______袋，中位数是______袋；
（2）求所调查的居民去年平均每户购买元宵的袋数；
（3）若该居民区共有6000户居民，请估计该居民区去年购买2袋元宵的户数．
【答案】（1）图见解析，2，2
（2）1.98袋 （3）2400户
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图综合，用样本估计总体，众数，中位数等知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键．
（1）先根据购买4袋的情况求出调查的总户数，再求出购买3袋的户数，可补全条形统计图；根据中位数和众数的定义求出中位数和众数即可；
（2）根据平均数的计算方法求解即可；
（3）用6000乘以样本中购买2袋的户数所占的比例即可．
【小问1详解】
解：户，
户，
补全条形统计图如下：
∵从小到大排列后排在100和101位的数都是2，
∴中位数是2．
∵2出现了80次，出现的次数最多，
∴众数2．
故答案为：2，2；
【小问2详解】
（袋），
∴所调查的居民去年平均每户购买元宵1.98袋．
【小问3详解】
解：（户），
∴估计该居民区去年购买2袋元宵的有2400户．
24. 如图，内接于，是的直径，过点B作的切线，交的延长线于点D．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质．
（1）连接，则，由与相切得，由是的直径得，从而可得
（2）证明得，代入数据求出，进而可求出的半径．
【小问1详解】
证明：连接．
，
．
与相切于点，
，则．
是的直径，
，则，
．
【小问2详解】
解：，
，
，即，
，
，
的半径是2．
25. 近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着大家前去体验，各式帐篷已成为户外活动的必要装备，其中抛物线型帐篷支架简单，携带方便，适合休闲旅行使用．如图1，这款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度，在图1中以所在直线为x轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系．

（1）求帐篷支架对应的抛物线的函数表达式；
（2）每款帐篷张开时的宽度和顶部高度都会影响其容纳椅子的数量，图2为一张椅子摆人这款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放的椅子数量．
【答案】（1）
（2）6把
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）先求出，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，然后用待定系数法求解即可；
（2）将代入，解出的值，然后用两根之差除以椅子的宽度即可作答．
【小问1详解】
解：帐逢张开时的宽度，顶部高度，
，顶点坐标为．
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：椅子的高度，宽度，
将代入，
得，
解得，
，
（把），
最多可撰放6把椅子．
26. 【问题提出】
（1）如图1，在中，，点A在外，连接，若，，点O是上的一个动点，连接、，当最小时，的度数为______；
【问题探究】
（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，，点D在边上，点F是延长线上一点，且，连接，判断与的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，是某公园门口规划的一块等腰三角形广场，在边上找一点D修建便民服务中心，在右侧修建一个等边三角形（即）的草坪，沿铺设一条石子小路（宽度忽略不计），从的中点F处向点A铺设一条灯光地板．已知，，若在线段上找一点P修建游客休息亭，，当点B到点P的距离与的长度之和最小（即最小）时，求此时铺设灯光地板的长度．

【答案】（1）45；（2），理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）连接，交于点M，根据两点之间线段最短原理，得当三点共线时，最小，解答即可；
（2）根据题意，得，于是得到即，证明即可得证；
（3）过点A作，且，连接交于点G，连接，当点P与点G重合时，取得最小值，利用三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，余弦定理，等腰三角形的性质等，计算其长度即可．
【详解】（1）解：连接，交于点M，根据两点之间线段最短原理，得当三点共线时，最小，即当点O与点M重合时，最小，

∵，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：45；
（2）解：与的数量关系为．理由如下：
根据题意，得，
∴即，
∵，，，

∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：过点A作，且，
连接交于点G，连接，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∴当P，M，B三点共线时，取得最小值即点P与点G重合，取得最小值，
过点A作于点T，
∵，，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
延长到点N，使得，连接，，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴
∴，
∵，，
∴，
过点C作，交延长线于点Q，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴

故此时铺设灯光地板的长度为．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短，三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，余弦函数的应用，熟练掌握两点之间线段最短，三角形相似的判定和性质，余弦函数，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键．