高一数学下学期精品第一次月考试卷（含详细解析）

这是一份高一数学下学期精品第一次月考试卷（含详细解析），共75页。试卷主要包含了要得到函数的图象，可将函数f，把函数y＝f，要得到函数的图象，需，下列各角中，与终边相同的是，已知向量＝，已知＝，若复数z＝i等内容，欢迎下载使用。
1．要得到函数的图象，可将函数f（x）＝sinx的图象（ ）
A．先向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍
B．先向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍
C．先向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍
D．先向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍
2．把函数y＝f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则f（x）＝（ ）
A．B．
C．D．
3．要得到函数的图象，需（ ）
A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）
C．将函数y＝4sin2x图象上所有点向左平移个单位长度
D．将函数y＝4sin2x图象上所有点向左平移个单位长度
4．下列各角中，与终边相同的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量＝（1，m），＝（﹣1，1），＝（3，0），若∥（+），则m等于（ ）
A．4B．C．﹣4D．﹣2
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若absinC＝21sinB，a2+c2＝58，且14csB＝11，则b的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则＝（ ）
A．B．C．D．
8．已知向量，满足||＝1，|+2|＝2，且（﹣2）⊥，则向量在向量上的投影向量等于（ ）
A．B．C．D．
9．已知＝（1，），＝（2，0），则在上的投影向量为（ ）
A．（1，0）B．C．D．
10．若复数z＝i（3﹣2i）（i是虚数单位），则＝（ ）
A．2﹣3iB．2+3iC．3+2iD．3﹣2i
11．已知，，且，则实数x的值为（ ）
A．﹣6B．C．D．6
12．已知csx＝，则cs2x的值为（ ）
A．﹣B．C．D．
13．已知向量，则“x＝7”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14．已知，＝（，3），在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A．B．C．或D．
15．已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
16．与﹣224°角终边相同的角是（ ）
A．24°B．113°C．124°D．136°
17．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则＝（ ）
A．2B．C．D．
18．已知与为非零向量，，若A，B，C三点共线，则2λ+μ＝（ ）
A．0B．1C．2D．3
二．多选题（共1小题）
（多选）19．已知复数z1＝2﹣i，z2＝2i，则下列结论正确的是（ ）
A．z1的虚部是﹣i
B．z1﹣z2对应的点位于第四象限
C．
D．
三．填空题（共6小题）
20．已知函数f（x）＝x2+2xsinα﹣1，α∈[0，2π]在区间[﹣，]上是单调函数，则α的取值范围是 ．
21．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），f（1）＝3，则f（2023）＝ ．
22．若，α∈（0，π），则cs2α＝ ．
23．已知函数f（x）＝sin2+sinωx﹣（ω＞0，x∈R），若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，ω的取值范围是 ．
24．与向量方向相同的单位向量＝ ．
25．已知点A（3，﹣4）、B（﹣1，2），点P在直线AB上，且，则点P的坐标是 ．
四．解答题（共19小题）
26．已知函数的部分图象如图．
（1）根据图象求函数解析式；
（2）写出f（x）≥0的解集；
（3）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到g（x）的图象，且关于x的方程g（x）﹣m＝0在上有解，求m的取值范围．
27．已知点A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2））是函数的图象上任意两点，且角ϕ的终边经过点P，当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）当时，函数的最大值为3，求实数a的值．
28．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0且ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）＝a在上有两个不同的实数根，试求a的取值范围；
（3）若0＜a＜1，求函数y＝lga[f（x）﹣f2（x）]在上的单调递减区间．
29．已知函数．
（1）填写下表，并在坐标系中用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象；
（2）求f（x）的对称轴与对称中心；
（3）当，求函数f（x）的值域．
30．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过第二象限的点P（m，2），且sinα＝，求下列各式的值．
（1）m及tanα；
（2）．
31．已知平面向量．
（1）若，求k的值；
（2）若与的夹角为锐角，求k的取值范围．
32．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足（b﹣a）（sinB+sinA）＝c（sinB﹣sinC）．
（1）求A的大小；
（2）若a＝2，B＝，求△ABC的面积．
33．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a＝1，求的取值范围．
34．已知，，是同一平面内的三个向量，其中＝（1，2）．
（Ⅰ）若＝（2，λ），且∥，求||；
（Ⅱ）若＝（1，1），且m﹣与2﹣垂直，求实数m的值．
35．已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，点D是CB的中点，E为AB上一点．
（1）设＝，＝，当，请用，来表示，．
（2）当时，判断AD是否垂直CE．若成立，给出证明，若不成立，说明理由．
36．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，．
（1）求角B；
（2）若a+c＝2，求边AC上的角平分线BD长；
（3）若△ABC为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围．
37．已知向量，．
（1）求，；
（2）求与的夹角θ的余弦值．
38．设函数，其中向量，（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，求f（x）的值域；
（3）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知f（A）＝2，b＝1，△ABC的面积为，求的值．
39．已知，．
（1）分别求tanα，的值；
（2）若角β终边上一点P（7，1），求tan（2α+β）的值．
40．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，E，F分别是边AB，BC上的点，且，，连接ED、AF，交点为G．
（1）设，求t的值；
（2）求∠EGF的余弦值．
41．如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝，＝．
（1）试用，表示，，；
（2）证明：B，E，F三点共线．
42．已知＝（1，0），＝（2，1）．
（1）当k为何值时，k﹣与+2共线；
（2）若＝2+3，＝+m，且A、B、C三点共线，求m的值．
43．如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足，G是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点O．
（Ⅰ）若，求实数x，y的值；
（Ⅱ）若，求实数t的值；
（Ⅲ）如图2，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，（λ＞0，μ＞0），求λ+μ的最小值．
44．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b＝5，c＝，且ccsA+a＝b．
（1）求C的大小；
（2）求△ABC的面积．
高一数学下学期精品第一次月考试卷（含详细解析）
参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题）
二．多选题（共1小题）
一．选择题（共18小题）
1．要得到函数的图象，可将函数f（x）＝sinx的图象（ ）
A．先向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍
B．先向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍
C．先向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍
D．先向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出结果．
【解答】解：要得到函数f（x）＝的图象，可将函数f（x）＝sinx的图象先向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
2．把函数y＝f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则f（x）＝（ ）
A．B．
C．D．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】直接利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．
【解答】解：为得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位，得到y＝sin（x+）的图象，
再将函数的图象上所有点的横坐标压缩为原来的，即得到f（x）＝sin（2x+）的图象即可；
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
3．要得到函数的图象，需（ ）
A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）
C．将函数y＝4sin2x图象上所有点向左平移个单位长度
D．将函数y＝4sin2x图象上所有点向左平移个单位长度
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】直接利用函数的图象的平移变换求出结果．
【解答】解：要得到函数的图象，只需将函数y＝4sin2x图象上所有点向左平移个单位长度得到．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4．下列各角中，与终边相同的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】终边相同的角（弧度制）．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】写出与终边相同的角的集合，分别取k值得结论．
【解答】解：与终边相同的角的集合为{α|α＝+2kπ，k∈Z}．
取k＝﹣3，得α＝﹣；
取k＝﹣2，得α＝﹣；
取k＝﹣1，得α＝．
取k＝0，得α＝，
结合选项可知，与终边相同的角有﹣．
故选：B．
【点评】本题考查终边查同的角的求法，考查终边相同的角的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．已知向量＝（1，m），＝（﹣1，1），＝（3，0），若∥（+），则m等于（ ）
A．4B．C．﹣4D．﹣2
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】先根据向量加法的坐标运算求出的坐标，再根据两向量平行的坐标关系列出方程，进而求解m的值．
【解答】解：由题可得：．
因为，且∥（+），可知，（﹣1）×m﹣1×4＝0．解得m＝﹣4．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若absinC＝21sinB，a2+c2＝58，且14csB＝11，则b的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】B
【分析】根据正弦定理角化边，可得ac＝21，再由余弦定理即可得到结果．
【解答】解：因为absinC＝21sinB，则abc＝21b，
因为b＞0，
所以ac＝21，
又a2+c2＝58，14csB＝11，
所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
7．如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则＝（ ）
A．B．C．D．
【考点】平面向量的基本定理．
【专题】数形结合；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】利用向量共线定理、三角形法则即可得出结论．
【解答】解：由题意可得：＝+，＝，＝+，＝，
∴＝+，
故选：A．
【点评】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力，属于基础题．
8．已知向量，满足||＝1，|+2|＝2，且（﹣2）⊥，则向量在向量上的投影向量等于（ ）
A．B．C．D．
【考点】平面向量的投影向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据向量垂直得到，再根据向量数量积运算得，最后利用投影向量计算公式即可得到答案．
【解答】解：由题意可知，，所以，
又，则，
即，所以，
则向量在向量上的投影向量等于：
．
故选：A．
【点评】本题主要考查平面向量的投影向量，属于基础题．
9．已知＝（1，），＝（2，0），则在上的投影向量为（ ）
A．（1，0）B．C．D．
【考点】平面向量的投影向量．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示与向量的模长公式，求出＝2，||＝2，然后运用投影向量的公式算出答案．
【解答】解：根据题意，可得||＝2，＝1×2+×0＝2，
所以在上的投影向量为•＝＝（1，0）．
故选：A．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的坐标表示、向量的模长与投影向量的公式等知识，属于基础题．
10．若复数z＝i（3﹣2i）（i是虚数单位），则＝（ ）
A．2﹣3iB．2+3iC．3+2iD．3﹣2i
【考点】共轭复数；复数的运算．
【专题】数系的扩充和复数．
【答案】A
【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．
【解答】解：复数z＝i（3﹣2i）＝2+3i，则＝2﹣3i，
故选：A．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．
11．已知，，且，则实数x的值为（ ）
A．﹣6B．C．D．6
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得•＝x+6＝0，解可得答案．
【解答】解：根据题意，已知，，
若，则•＝x+6＝0，解可得x＝﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
12．已知csx＝，则cs2x的值为（ ）
A．﹣B．C．D．
【考点】二倍角的三角函数．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】由已知直接利用二倍角的余弦求解．
【解答】解：∵csx＝，
∴cs2x＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
13．已知向量，则“x＝7”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件与必要条件；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】计算题；方程思想；定义法；简易逻辑；运算求解．
【答案】A
【分析】根据充分不必要条件的定义判断即可．
【解答】解：若x＝7，则•＝2×7+7×（﹣2）＝0，即⊥；
若⊥，则x（x﹣5）﹣14＝0，即（x﹣7）（x+2）＝0，解得x＝7或x＝﹣2．
故“x＝7”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分不必要条件的判断，考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题．
14．已知，＝（，3），在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A．B．C．或D．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】设与的夹角为θ，由在上的投影向量为||csθ•＝，再结合已知可解决此题．
【解答】解：设与的夹角为θ，
由在上的投影向量为||csθ•＝，
得csθ＝＝＝，∴θ＝．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算、向量夹角算法，考查数学运算能力，属于中档题．
15．已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【考点】两角和与差的三角函数．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【答案】D
【分析】利用两角和公式展开后求得csα+sinα的值，进而两角差的正弦公式展开，把csα+sinα的值代入求得答案．
【解答】解：∵cs（α﹣）+sinα＝csα+sinα＝，
∴csα+sinα＝，
∴sin（α﹣）＝sinαcs﹣csαsin＝﹣（csα+sinα）＝﹣．
故选：D．
【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数和诱导公式的化简求值．考查了考生对三角函数基础知识综合掌握，属于基础题．
16．与﹣224°角终边相同的角是（ ）
A．24°B．113°C．124°D．136°
【考点】终边相同的角（角度制）．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】将﹣224°改写为﹣224°＝136°﹣360°，根据终边相同角的定义即可求解．
【解答】解：因为﹣224°＝136°﹣360°，
所以﹣224°角与136°角终边相同．
故选：D．
【点评】本题主要考查了终边相同角的表示，属于基础题．
17．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则＝（ ）
A．2B．C．D．
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）；平面向量的模．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量的意义求得答案．
【解答】解：根据题意，平面上不共线的四点O，A，B，C，若，
则有，变形可得，
由数乘向量的定义，有．
故选：B．
【点评】本题考查向量数量积的运算，涉及向量共线的判断方法，属于基础题．
18．已知与为非零向量，，若A，B，C三点共线，则2λ+μ＝（ ）
A．0B．1C．2D．3
【考点】平面向量的相等与共线；平面向量的基本定理．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】结合向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：，，
则，
因为A，B，C三点共线，所以﹣2（λ﹣1）＝μ﹣1，解得2λ+μ＝3．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
二．多选题（共1小题）
（多选）19．已知复数z1＝2﹣i，z2＝2i，则下列结论正确的是（ ）
A．z1的虚部是﹣i
B．z1﹣z2对应的点位于第四象限
C．
D．
【考点】复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义；复数的模．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】BD
【分析】利用虚部的定义判断A；求出对应点的坐标判断B；利用复数的运算判断C；求出对应复数，再求模判断D即可．
【解答】解：z1＝2﹣i的虚部是﹣1，故A错误；
由z1＝2﹣i，z2＝2i，得z1﹣z2＝2﹣3i，对应点的坐标为（2，﹣3），在第四象限，故B正确；
，故C错误；
，则，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
三．填空题（共6小题）
20．已知函数f（x）＝x2+2xsinα﹣1，α∈[0，2π]在区间[﹣，]上是单调函数，则α的取值范围是 [，]∪[，] ．
【考点】二次函数的性质与图象．
【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】[，]∪[，]．
【分析】根据二次函数的单调性列出不等式求解．
【解答】解：由已知，f（x）对称轴为x＝﹣sinα，因为f（x）在区间[﹣，]上是单调函数，
所以﹣sinα≤﹣或﹣sinα≥，且α∈[0，2π]，解得α∈[，]∪[，]．
故答案为：[，]∪[，]．
【点评】本题主要考解三角不等式以及二次函数的图象与性质，属于基础题．
21．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），f（1）＝3，则f（2023）＝ ﹣3 ．
【考点】函数的值．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】﹣3．
【分析】利用f（x+2）＝﹣f（x），得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可得函数周期T＝4，故f（2023）＝f（3+505×4）＝f（3）可解．
【解答】解：∵f（x+2）＝﹣f（x），
∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可得函数周期T＝4，
故f（2023）＝f（3+505×4）＝f（3），
∵f（1）＝3，又当x＝1时，f（3）＝﹣f（1）＝﹣3，
∴f（2023）＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查函数的周期性，属于基础题．
22．若，α∈（0，π），则cs2α＝ 0 ．
【考点】求二倍角的三角函数值；同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】0．
【分析】利用辅助角公式求出，再利用特殊角的三角函数求解即可．
【解答】解：若，
则，即，
而α∈（0，π），
故，可得，解得，
故得，
故答案为：0．
【点评】本题考查了两角差的正弦公式，考查了转化思想，属于基础题．
23．已知函数f（x）＝sin2+sinωx﹣（ω＞0，x∈R），若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，ω的取值范围是 （0，]∪[，] ．
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】函数f（x）＝sin（ωx﹣），由f（x）＝0，可得sin（ωx﹣）＝0，解得x＝∉（π，2π），即可得出
【解答】解：f（x）＝sin2+sinωx﹣＝（1﹣csωx）+sinωx﹣＝sin（ωx﹣），
由f（x）＝0，可得sin（ωx﹣）＝0，
解得x＝∉（π，2π），
∴ω∉（.）∪（，）∪（，）∪…＝（.）∪（，+∞），
∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，
∴ω∈（0，]∪[，]
故答案为：（0，]∪[，]
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．与向量方向相同的单位向量＝ ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量中的零向量与单位向量．
【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意，设要求向量为，则＝k＝（﹣k，k），（k＞0），利用单位向量的定义求出k的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设要求向量为，则＝k＝（﹣k，k），（k＞0），
又由为单位向量，则（﹣k）2+k2＝1，解可得k＝，
故＝．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的坐标表示，涉及单位向量的定义，属于基础题．
25．已知点A（3，﹣4）、B（﹣1，2），点P在直线AB上，且，则点P的坐标是 ．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题设条件知A，P，B三点共线，且有，设出点P的坐标，分两类利用向量相等的条件建立方程求出点P的坐标即可
【解答】解：由题意点A（3，﹣4）、B（﹣1，2），点P在直线AB上，且，
∴
令P（x，y），则有＝（3﹣x，﹣4﹣y），＝（﹣1﹣x，2﹣y）
若，则有，解得即P（﹣5，8）
若，则有，解得，即P（，0）
综上知，点P的坐标是
故答案为：．
【点评】本题考查向量共线的坐标表示，向量相等的条件，解题的关键是由题设条件得出两向量的数乘关系，再利用向量相等的条件得到坐标的方程求出点P的坐标，本考点是向量中重要考点，属于向量中框架知识点，在新教材实验区，此考点是每年高考必考考点．
四．解答题（共19小题）
26．已知函数的部分图象如图．
（1）根据图象求函数解析式；
（2）写出f（x）≥0的解集；
（3）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到g（x）的图象，且关于x的方程g（x）﹣m＝0在上有解，求m的取值范围．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）；
（2）[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；
（3）[﹣1，2]．
【分析】（1）根据f（x）的最大值确定出A＝1，由三角函数的周期公式求出ω＝2，然后根据当时f（x）取得最大值，列式求出φ的值，进而可得f（x）的表达式；
（2）由f（x）≥0得，结合正弦函数的图象与性质求出不等式的解集；
（3）根据函数图象变换公式求出g（x）的解析式，然后求出g（x）在的值域，进而求出符合条件的实数m的取值范围．
【解答】解：（1）根据函数f（x）的图象，可知A＝1，函数的周期，
所以，可得f（x）＝sin（2x+φ），
将点代入，可得，所以+φ＝+2kπ（k∈Z）．
结合，取k＝0得＝，，所以．
（2）由（1）的结论，可知f（x）≥0即，
所以2kπ≤2x+≤2kπ+π（k∈Z），解得kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），
综上所述，不等式f（x）≥0的解集为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．
（3）将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，可得曲线C：y＝f（x﹣）的图象，
再将曲线C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，可得y＝2f（x﹣）的图象，
所以g（x）＝2f（x﹣）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x﹣）．
由g（x）﹣m＝0在上有解，即在上有解，
由，可得，，
所以当关于x的方程g（x）﹣m＝0在上有解时，m的取值范围为[﹣1，2]．
【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．
27．已知点A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2））是函数的图象上任意两点，且角ϕ的终边经过点P，当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）当时，函数的最大值为3，求实数a的值．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．
【专题】常规题型；转化思想；函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接可利用正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式．
（2）直接利用整体思想的应用求出函数的单调区间．
（3）利用函数的对称抽的关系进行分类讨论思想的应用求出结果，
【解答】解：（1）由于且角ϕ的终边经过点P，
所以φ＝，
当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为．
则函数的最小正周期为π，解得ω＝2．
所以f（x）＝2．
（2）令，（k∈Z）
解得（k∈Z），
所以函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．
（3）由于f（x）＝2，
所以，
则：数＝4sin22x+2acs2x＝﹣4cs22x+2acs2x+4＝+4．
由于函数g（x）的最大值为3，
所以，整理得﹣4≤a≤4．
，故：，
所以，
假设当cs2x＝1时，函数g（x）的最大值为3，
则：，解得a＝．
当cs2x＝时，函数g（x）的最大值为3，
则．
解得a＝0．
综上所示当a＝0或时，函数的最大值为3．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，分类讨论思想的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
28．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0且ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）＝a在上有两个不同的实数根，试求a的取值范围；
（3）若0＜a＜1，求函数y＝lga[f（x）﹣f2（x）]在上的单调递减区间．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）f（x）＝sin．
（2）a∈（﹣1，0）∪．
（3）．
【分析】（1）由题图可知函数的最小正周期T，利用周期公式可求ω，可求A的值，由f＝﹣1，结合0＜φ＜，可求φ，即可得解函数解析式．
（2）方程f（x）＝a在上有两个不同的实数根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝a在上有两个不同的交点，画出图象，利用正弦函数的图象和性质即可求解．
（3）由题意可得求函数y＝lga[f（x）﹣f2（x）]在（0，）上的单调递减区间即求函数y＝f（x）﹣f2（x）的单调递增区间，分类讨论利用正弦函数的单调性，二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）由题图可知，函数的最小正周期T＝＝2π，解得ω＝1，
∵f（x）max＝1，f（x）min＝﹣1，
∴A＝1，
∵f＝﹣1，
∴+2kπ，k∈Z，
∴φ＝+2kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜，
∴φ＝，
∴f（x）＝sin．
（2）方程f（x）＝a在上有两个不同的实数根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝a在上有两个不同的交点．
函数f（x）＝sin在上的图象如图所示．
当x＝0时，f（x）＝，当x＝时，f（x）＝0，
由图可以看出，当y＝f（x）的图象与直线y＝a有两个交点时，a∈（﹣1，0）∪．
（3）当0＜a＜1时，y＝lgax为减函数，
故求函数y＝lga[f（x）﹣f2（x）]在（0，）上的单调递减区间即求函数y＝f（x）﹣f2（x）的单调递增区间，
①当x∈时，f（x）单调递增，此时f（x）∈，
则y＝f（x）﹣f2（x）在上单调递减，不符合题意；
②当x∈时，f（x）单调递减，
当x∈时，f（x）＞；当x∈时，f（x）＜，
则y＝f（x）﹣f2（x）在上单调递增；
③当x∈时，f（x）单调递增，此时f（x）∈（﹣1，0），
则y＝f（x）﹣f2（x）在上单调递减，不符合题意．
综上所述，y＝lga[f（x）﹣f2（x）]在上的单调递减区间为．
【点评】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，二次函数的性质，考查了数形结合思想、分类讨论思想和函数思想的应用，属于中档题．
29．已知函数．
（1）填写下表，并在坐标系中用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象；
（2）求f（x）的对称轴与对称中心；
（3）当，求函数f（x）的值域．
【考点】五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象；余弦函数的对称性．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）见解析；
（2）对称轴为，对称中心为；
（3）．
【分析】（1）用五点法，列表，描点，连线，作函数f（x）在一个周期上的简图；
（2）令，可得对称轴，令，可得对称中心；
（3）由，得，由三角函数性质可得f（x）的值域．
【解答】解：（1）列表如下：
函数图像如图所示：
（2）函数，
令，得对称轴：，
令，得，
所以对称中心为；
（3）由，得，
当t＝0，即时，，
当，即时，，
所以f（x）的值域为．
【点评】本题主要考查了余弦函数的图象和性质，考查了“五点法”作图，属于中档题．
30．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过第二象限的点P（m，2），且sinα＝，求下列各式的值．
（1）m及tanα；
（2）．
【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）m＝﹣1，tanα＝﹣2；（2）﹣4．
【分析】（1）利用任意角三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系求解即可．
（2）利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系化简求值即可．
【解答】解：（1）角α的终边经过第二象限的点P（m，2），且sinα＝，因为点P在第二象限，所以m＜0，
由三角函数定义可知，解得m＝﹣1，
此时P（﹣1，2），故，
得到，故m＝﹣1，tanα＝﹣2．
（2）＝，
＝．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的定义，三角函数的值，三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
31．已知平面向量．
（1）若，求k的值；
（2）若与的夹角为锐角，求k的取值范围．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个平面向量的夹角；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先计算出向量，，再根据向量平行列出方程求解即可．
（2）先根据与的夹角为锐角得出，且夹角不为0，再分别求出和夹角不为0时k的取值范围即可．
【解答】解：（1）因为，
所以，，
又因为，
所以，解得．
（2）因为，，
所以，
因为与的夹角为锐角，
所以，且夹角不为0．
当时，2k+38＞0，解得k＞﹣19；
当与的夹角为0时，，解得，
故与的夹角不为0时，；
综上可得：k的取值范围是．
【点评】本题主要考查了向量平行及向量数量积的性质的坐标表示，属于中档题．
32．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足（b﹣a）（sinB+sinA）＝c（sinB﹣sinC）．
（1）求A的大小；
（2）若a＝2，B＝，求△ABC的面积．
【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）；
（2）△ABC的面积S＝+1．
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，利用余弦定理可求csA的值，结合范围0＜A＜π，可求A的值；
（2）由正弦定理可求得b的值，由余弦定理即可解得c的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理，得，即，
所以，
因为0＜A＜π，
所以．
（2）由正弦定理，得，
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB，得，
解得，
所以△ABC的面积．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
33．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a＝1，求的取值范围．
【考点】正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；三角函数的图象与性质；解三角形；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式，结合sinB＞0，利用同角三角函数基本关系式可求tanA＝，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（Ⅱ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求＝2sin（B﹣），由范围B，可得B﹣∈（﹣，），利用正弦函数的图象和性质即可求解其取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵，即asinB＝bcsA，
∴由正弦定理可得sinAsinB＝sinBcsA，
∵sinB＞0，
∴sinA＝csA，即tanA＝，
∵A∈（0，π），
∴A＝；
（Ⅱ）∵A＝，a＝1，
∴由正弦定理＝2，可得b＝2sinB，c＝2sinC＝2sin（﹣B），
∴＝2sinB﹣2sin（﹣B）＝2sinB﹣2（+sinB）＝sinB﹣csB＝2sin（B﹣），
∵B，B﹣∈（﹣，），
∴sin（B﹣）∈（﹣，1]，
∴可得＝2sin（B﹣）∈（﹣1，2]．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
34．已知，，是同一平面内的三个向量，其中＝（1，2）．
（Ⅰ）若＝（2，λ），且∥，求||；
（Ⅱ）若＝（1，1），且m﹣与2﹣垂直，求实数m的值．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）根据即可得出4﹣λ＝0，从而求出λ＝4，从而求出向量的坐标，进而求出；
（Ⅱ）可求出，，根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵；
∴4﹣λ＝0；
∴λ＝4；
∴；
∴；
（Ⅱ），；
∵与垂直；
∴；
解得．
【点评】考查平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量减法、数乘和数量积的坐标运算．
35．已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，点D是CB的中点，E为AB上一点．
（1）设＝，＝，当，请用，来表示，．
（2）当时，判断AD是否垂直CE．若成立，给出证明，若不成立，说明理由．
【考点】用平面向量的基底表示平面向量．
【专题】转化思想；定义法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）＝，＝；
（2）AD与CE不垂直，理由见解析．
【分析】（1）利用平面向量基本定理进行转化即可；
（2）利用平面向量基本定理表示出，然后利用数量积的定义，判断是否为零，即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可得，＝，
因为，
所以，
故＝；
（2）AD与CE不垂直．证明如下：
由，可得，
所以，
，，
又因为CA＝CB，
所以||＝2||，
则，
所以AD与CE不垂直．
【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，平面向量的线性运算，数量积的定义以及垂直的充要条件，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
36．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，．
（1）求角B；
（2）若a+c＝2，求边AC上的角平分线BD长；
（3）若△ABC为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围．
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；
（2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法S△ABC＝S△ABD+S△BDC列方程求解即可；
（3）利用向量加法运算及数量积以及模的运算得，利用正弦定理得，然后利用角A的范围，结合正弦函数的性质求解BE范围即可．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理得：
因为sinA＝，
所以，
又C∈（0，π），所以sinC≠0，所以，
又B∈（0，π），所以．
（2）因为，，所以由余弦定理得3＝c2+a2﹣ac＝（c+a）2﹣3ac，
又a+c＝2，解得，
由S△ABC＝S△ABD+S△BDC，得，
即，则，所以．
（3）因为△ABC为锐角三角形，所以，解得，
因为E是AC的中点，所以，
则，
由正弦定理得，
即，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以，即边AC上的中线BE的取值范围为．
【点评】本题考查利用正、余弦定理，三角恒等变换，向量知识解三角形，属于中档题．
37．已知向量，．
（1）求，；
（2）求与的夹角θ的余弦值．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）17；；
（2）．
【分析】（1）利用向量的线性运算结合向量数量积以及模长公式进行计算即可；
（2）由向量夹角公式计算即可．
【解答】解：（1）因为向量，，
则，，
所以，；
（2）由于，，，
所以．
【点评】本题考查了向量的线性运算、向量数量积以及模长公式，重点考查了向量夹角公式，属中档题．
38．设函数，其中向量，（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，求f（x）的值域；
（3）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知f（A）＝2，b＝1，△ABC的面积为，求的值．
【考点】解三角形；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；解三角形；运算求解．
【答案】（1）π；
（2）[0，3]；
（3）2．
【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再由正弦函数的性质计算可得；
（2）由x的取值范围求出的范围，再由正弦函数的性质计算可得；
（3）由题设可得，应用三角形面积公式求出c＝2，由余弦定理求得，最后由正弦定理，即可求目标式的值．
【解答】解：（1）由题意，，，
则＝
＝＝，
所以f（x）的最小正周期；
（2）当时，，
所以，
所以f（x）∈[0，3]，
即f（x）在上的值域为[0，3]；
（3）由f（A）＝2，得，则，
又A∈（0，π），所以，
故，则；
由，可得c＝2，
在△ABC中，由余弦定理得，
所以，
由正弦定理，得，
所以．
【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数的性质，考查正弦定理及余弦定理的应用，属中档题．
39．已知，．
（1）分别求tanα，的值；
（2）若角β终边上一点P（7，1），求tan（2α+β）的值．
【考点】两角和与差的三角函数；任意角的三角函数的定义．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，求得tanα，的值．
（2）由题意利用利用任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，求得tan（2α+β）的值．
【解答】解：（1）∵已知，，∴csα＝﹣＝﹣，
∴tanα＝＝﹣，
＝sinαcs+csαsin＝+（﹣）×＝．
（2）若角β终边上一点P（7，1），则 tanβ＝，tan2α＝＝，
∴tan（2α+β）＝＝7．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，属于中档题．
40．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，E，F分别是边AB，BC上的点，且，，连接ED、AF，交点为G．
（1）设，求t的值；
（2）求∠EGF的余弦值．
【考点】平面向量的基本定理．
【专题】计算题；数形结合；向量法；解三角形；平面向量及应用；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据条件可得出，，然后根据平面向量基本定理即可求出t的值；
（2）根据条件及余弦定理即可求出AF，DE的长度，根据进行数量积的运算即可求出的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cs∠EGF的值．
【解答】解：（1）∵，，
∴＝t（+）＝t+，
∵E，G，D三点共线，
∴存在λ，使得＝，
∴，解得；
（2）在△ABF中，∠B＝120°，AB＝4，BF＝3，由余弦定理得，，∴，
在△ADE中，∠DAE＝60°，AD＝4，AE＝2，由余弦定理得，，，
＝＝8﹣12﹣5＝﹣9，
∴＝．
【点评】本题考查了余弦定理，三点共线的充要条件，数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于中档题．
41．如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝，＝．
（1）试用，表示，，；
（2）证明：B，E，F三点共线．
【考点】平面向量的数乘与线性运算；平面的基本性质及推论；平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则．
【专题】对应思想；数形结合法；平面向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平面向量的三角形合成法则，用、表示出向量、和即可；
（2）用、表示出向量、，证明与共线，从而证明B，E，F三点共线．
【解答】解：（1）△ABC中，＝，＝，
∴＝﹣＝﹣，
＝+＝+＝+（﹣）＝+，
＝+＝﹣+＝﹣+；
（2）证明：＝﹣+，
＝+＝﹣+＝﹣+（+）＝﹣+＝（﹣+），
∴＝，
∴与共线，且有公共点B，
∴B，E，F三点共线．
【点评】本题考查了平面向量的线性表示与共线定理的应用问题，是基础题．
42．已知＝（1，0），＝（2，1）．
（1）当k为何值时，k﹣与+2共线；
（2）若＝2+3，＝+m，且A、B、C三点共线，求m的值．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】平面向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用向量的运算法则、共线定理即可得出；
（2）利用向量共线定理、平面向量基本定理即可得出．
【解答】解：（1）k﹣＝k（1，0）﹣（2，1）＝（k﹣2，﹣1）．
+2＝（1，0）+2（2，1）＝（5，2）．
∵k﹣与+2共线
∴2（k﹣2）﹣（﹣1）×5＝0，
即2k﹣4+5＝0，
得k＝﹣．
（2）∵A、B、C三点共线，
∴．
∴存在实数λ，使得＝，
又与不共线，
∴，
解得．
【点评】本题考查了向量的运算法则、共线定理、平面向量基本定理，属于基础题．
43．如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足，G是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点O．
（Ⅰ）若，求实数x，y的值；
（Ⅱ）若，求实数t的值；
（Ⅲ）如图2，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，（λ＞0，μ＞0），求λ+μ的最小值．
【考点】平面向量的数乘与线性运算；运用“1”的代换构造基本不等式．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
【分析】（Ⅰ）根据向量的线性运算，以为基底表示，进而求解；
（Ⅱ）以为基底表示，根据两向量共线具有倍数关系，求出t的值；
（Ⅲ）以为基底表示，由E，O，F三点共线，得出，再由基本不等式中1的代换求出λ+μ的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，
所以，
所以；
（Ⅱ）由题意可知：，
，
又因为G，O，C三点共线，所以存在实数k使得，
即，
所以，解得，
所以；
（Ⅲ）易知，
由（Ⅱ）知，
又因为E，O，F三点共线，
所以，又λ＞0，μ＞0，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以λ+μ的最小值为．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属中档题．
44．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b＝5，c＝，且ccsA+a＝b．
（1）求C的大小；
（2）求△ABC的面积．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用余弦定理化简已知等式，进而可求csC的值，结合C的范围即可求解C的值；
（2）直接利用三角形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）由余弦定理得c•+a＝b，整理可得b2+a2﹣c2＝ab，
所以csC＝＝＝，
因为C∈（0，π），
所以C＝；
（2）因为a+b＝5，c＝，C＝，
所以由余弦定理可得7＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝52﹣3ab＝25﹣3ab，
解得ab＝6，
S△ABC＝absinC＝＝．
【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．
考点卡片
1．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．运用“1”的代换构造基本不等式
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．
【解题方法点拨】
在一些复杂的代数式问题中，结合已知条件中的和或积为常熟，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而构造均值不等式，简化问题．
【命题方向】
运用“1”的代换构造均值不等式时，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而应用均值不等式．
已知实数x，y∈R+，且x+y＝4，求的最小值．
解：∵x＞0，y＞0，x+y＝4，
∴＝，当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为：．
故答案为：．
3．二次函数的性质与图象
【知识点的认识】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【解题方法点拨】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
【命题方向】
熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．
4．函数的值
【知识点的认识】
函数的值是指在某一自变量取值下，函数对应的输出值．
【解题方法点拨】
﹣确定函数的解析式，代入自变量值，计算函数的值．
﹣验证计算结果的正确性，结合实际问题分析函数的值．
﹣利用函数的值分析其性质和应用．
【命题方向】题目包括计算函数的值，结合实际问题求解函数的值及其应用．
已知函数f（x）＝．求f（f（f（﹣）））的值；
解：，
，
，
故f（f（f（﹣）））＝．
5．终边相同的角（角度制）
【知识点的认识】
终边相同的角：
k•360°+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．
还应该注意到：A＝{x|x＝k•360°+30°，k∈Z}与集合B＝{x|x＝k•360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合．
相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°，k∈Z}；与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+180°，k∈Z}；与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+90°，k∈Z}；与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+270°，k∈Z}
【解题方法点拨】
终边相同的角的应用
利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
﹣利用终边相同的角的性质，设定角度θ和θ+360°k（其中k为整数）．
﹣确定具体问题中角度的表达形式，求解相关角度值．
【命题方向】
常见题型包括角度制下终边相同的角的计算，结合具体问题求解相关角度值．
下列角中终边与330°相同的角是（ ）
A．30° B．﹣30° C．630° D．﹣630°
分析：直接利用终边相同的角判断即可．
解：因为330°的终边与﹣30°的终边相同，
所以B满足题意．
故选B．
6．终边相同的角（弧度制）
【知识点的认识】
终边相同的角：
2kπ+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是2π的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．
【解题方法点拨】
利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判断一个角β时，只需把这个角写成[0，2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和．
﹣利用终边相同的角的性质，设定角度θ和（其中k为整数）．
﹣确定具体问题中角度的表达形式，求解相关角度值．
【命题方向】
常见题型包括弧度制下终边相同的角的计算，结合具体问题求解相关角度值．
在[0，2π）上与终边相同的角是_____．
解：∵与终边相同的角是2kπ﹣，k∈Z，
∴令k＝1，可得在[0，2π）上与终边相同的角是，
故答案为：．
7．任意角的三角函数的定义
【知识点的认识】
任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝ y ，cs α＝ x ，tan α＝．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
【命题方向】
已知角α的终边经过点（﹣4，3），则csα＝（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得csα的值．
解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r＝＝5．
∴csα＝＝＝﹣，
故选：D．
点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
8．运用诱导公式化简求值
【知识点的认识】
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
9．正弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
10．余弦函数的对称性
【知识点的认识】
余弦函数的对称性
余弦函数y＝csx是定义域为R的偶函数，也是周期函数，其对称轴为x＝kπ，k∈z．可以看出余弦函数在对称轴上的值为最值，也可以看做是y轴平移kπ个单位后依然还是对称轴．
【解题方法点拨】
例：（中，三角函数的对称性）若函数（ω＞0）的图象相邻两条对称轴间距离为，则ω等于
解：因为y＝csx的图象相邻两条对称轴距离为π，要使的图象相邻两条对称轴的距离为，则其周期缩小为原来的一半，所以ω＝2．
这里面应用了余弦函数的对称轴之间的间隔为半个周期的性质，从而转化为求周期的问题．
【命题方向】
这是个很基本的考点，也比较容易，但也非常重要，希望大家能够掌握．
11．五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象
【知识点的认识】
1．五点法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的简图
找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为：
（1）先确定周期T＝，在一个周期内作出图象；
（2）令X＝ωx+φ，令X分别取0，，π，，2π，求出对应的x值，列表如下：
由此可得五个关键点；
（3）描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝Asin（ωx+φ）的简图．
2．振幅、周期、相位、初相
当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈（﹣∞，+∞）表示一个振动量时，则A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx+φ叫做相位，φ叫做初相．
函数y＝Acs（ωx+φ）的最小正周期为，y＝Atan （ωx+φ）的最小正周期为．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
12．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的认识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
13．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【知识点的认识】
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．
14．同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝cs _α ，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin _α ，cs（π+α）＝﹣cs _α ，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin _α ，cs（﹣α）＝cs _α ．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣cs _α ．
公式五：sin（﹣α）＝csα ，cs（﹣α）＝sinα．
公式六：sin（+α）＝cs α ，cs（+α）＝﹣sin α
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝cs αcsβ +sin αsinβ ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝cs αcsβ ﹣sin αsinβ ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sin αcsβ +cs αsinβ ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sin αcsβ ﹣cs αsinβ ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin _α cs _α ；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α ＝2cs2α﹣1 ＝1﹣2sin2α ；
（3）T2α：tan 2α＝．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
15．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
16．二倍角的三角函数
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•csα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
例：y＝sin2x+2sinxcsx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcsx
＝+sin2x
＝sin2x﹣cs2x+
＝sin（2x+φ）+，（tanφ＝﹣）
∴其周期T＝＝π．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【命题方向】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
17．求二倍角的三角函数值
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•csα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcsα
cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α
﹣将具体角度值代入公式，求解二倍角的三角函数值．
﹣验证计算结果的正确性．
【命题方向】
常见题型包括利用二倍角公式求解三角函数值，结合具体角度进行计算．已知，则tanα＝_____．
解：因为，
所以．
故答案为：．
18．函数零点的判定定理
【知识点的认识】
1、函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．
特别提醒：
（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．
（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．
（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．
【解题方法点拨】
函数零点个数的判断方法：
（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：
①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；
②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．
19．平面向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
【解题方法点拨】
﹣计算模：也就是的长度．
﹣实际应用：用于求解平面几何中的距离问题，如两点间的距离等．
【命题方向】
﹣向量模的计算：考查如何计算向量的模，并应用于几何问题．
﹣向量长度的应用：在问题中如何利用向量的长度解决实际问题，如物体的位移和距离计算．
如图，在2×4的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与的模相等的向量（除本身）共有 39 个．
解：如图，
设小正方形的边长为1，则||＝＝，
则长度为的对角线有20个，
分别为AB，DE，FG，HI，CD，BF，EH，GK，CO，EM，BP，GN，EQ，IO，AO，MF，NH，PD，OK，FQ，
∴模与的模相等的向量（除本身）共有20×2﹣1＝39个，
故答案为：39．
20．平面向量中的零向量与单位向量
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
【知识点的认识】
﹣零向量：它的模为0，方向是任意的．
﹣单位向量：模为1的向量，用于表示方向．任何非零向量可以通过转换为单位向量．
【解题方法点拨】
﹣零向量的应用：在向量加法中，零向量不会改变其他向量的值．
﹣单位向量的使用：将向量标准化为单位向量以简化方向的表示和计算．
给出下列命题：
①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若，都是单位向量，则＝；
③若||＝||，则＝或＝﹣．
则所有正确命题的序号是_____．
解：①零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确，
②若，都是单位向量，则和不一定相等，方向可能不同，故②错误，
③若||＝||，只能说明其大小相等，推不出＝或＝﹣，故③错误，
故答案为：①．
21．平面向量的相等与共线
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
【命题方向】
了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．
22．平面向量的平行向量（共线向量）
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
【命题方向】
了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量有（ ）
解：平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，
所以图中与平行的向量有，，，共3个．
23．平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则
【知识点的认识】
三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，则向量 叫做与的和，记作，即+＝+＝
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
24．平面向量的数乘与线性运算
【知识点的认识】
（1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反．
当λ＝0时，λ与平行．
对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥⇔＝λ
（2）向量数乘运算的法则
①1＝；（﹣1）＝；
②（λμ）＝λ（μ）＝μ（λ）；
③（λ+μ）＝λ+μ；
④λ（+）＝λ+λ．
一般地，λ+μ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果＝λ+μ，则称可以用，线性表示．
25．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||csθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）csθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
26．平面向量的投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．
向量在向量上的投影向量是．
【解题方法点拨】
投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把叫作向量在向量上的投影．那么投影向量可以理解为投影数量乘上一个方向上的单位向量．
（1）向量在向量上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量，且与共线，其方向由向量和夹角θ的余弦值决定．
（2）注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，在方向上的投影向量为．
【命题方向】
（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．
（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．
（3）空间几何问题：求点到平面的距离．
27．平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
28．用平面向量的基底表示平面向量
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
【解题方法点拨】
﹣表示转换：将向量写成基底向量的线性组合．例如，用基底和表示为．
﹣基底选择：在特定的基底下表示向量时，选择适当的基底并进行线性组合．
【命题方向】
﹣向量基底表示：考查如何使用基底向量表示任意平面向量．
﹣基底下的计算：如何在给定的基底下进行向量运算．
在△ABC中，若D，E，F分别是AB的3个四等分点，且＝，＝，试用基底，表示，，．
解：在△ABC中，若D，E，F分别是AB的3个四等分点，且＝，＝，
由题意得＝，＝，＝，
故＝（），即＝+＝，
同理，﹣＝（），＝（），
所以＝（），＝+，
因为＝，＝，
整理得，＝，＝．
29．平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的认识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设＝（x1，y1），＝（x2，y2），则∥（≠）⇔x1y2﹣x2y1＝0．
30．数量积表示两个平面向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：csθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
【解题方法点拨】
例：复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为 60° ．
解：＝＝＝＝＝cs60°+isin60°．
∴复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角．
【命题方向】
这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．
31．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识点的认识】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么与垂直，有•＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【解题方法点拨】
例：与向量，垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵，•（3，﹣4）＝﹣＝﹣5，∴A不成立；
对于B：∵，•（﹣4，3）＝，∴B不成立；
对于C：∵，•（4，3）＝，∴C成立；
对于D：∵，•（4，﹣3）＝，∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【命题方向】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
32．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
33．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
34．三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
③S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
【解题方法点拨】
几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤csα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤csα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
35．解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
36．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔＝z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z﹣＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+＝0且z≠0．
37．共轭复数
【知识点的认识】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数＝a﹣bi．
【解题方法点拨】
共轭复数的常见公式有：
；；；
【命题方向】
共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，要求能够掌握共轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广．运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题，提高数学符号变换的能力，培优学生类比推广思想，从特殊到一般的方法和探究方法．
38．复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．
39．复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
40．平面的基本性质及推论
【知识点的认识】
平面的基本性质及推论：
1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．
2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
【解题方法点拨】
1．公理1是判定直线在平面内的依据．
2．公理2及推论是确定平面的依据．
3．公理3是判定两个平面相交的依据．
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2x﹣
x
f（x）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
D
D
B
C
B
A
A
A
A
A
题号
12
13
14
15
16
17
18
答案
D
A
D
D
D
B
D
题号
19
答案
BD
2x﹣
x
f（x）
0
π
2π
x
f（x）
2
0
﹣2
0
2
x
﹣
﹣+
﹣
ωx+φ
0
π

2π
y＝Asin（ωx+φ）
0
A
0
﹣A
0
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝，
cs B＝，
cs C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝