陕西省宝鸡市金台区2025年九年级中考一模数学试卷（解析版）

这是一份陕西省宝鸡市金台区2025年九年级中考一模数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. （ ）
A. 2B. C. 1D. 0
【答案】C
【解析】，
故选：C．
2. 如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ）
A. 三棱锥B. 圆锥C. 三棱柱D. 长方体
【答案】C
【解析】根据图示，上下是两个三角形，中间是长方形，
∴该几何体三棱柱，
故选：C ．
3. 如图，，则当（ ）时，．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，由对顶角相等得：，
∵与是同旁内角，
∴当时，，
∴，
故选：A．
4. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
故选：A．
5. 已知点在第一象限，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵点在第一象限，
∴，解得：．
故选C．
6. 一次函数的图象过点，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵一次函数的图象过点，
∴，∴，
∴不等式为，
∴，
∵，∴，∴，
故选：C．
7. 如图，是正方形的对角线，平分交的延长线于点E，交于点F，则的值为（ ）

A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】∵是正方形的对角线，∴，
∵，∴，
∵平分，∴，
∴是等腰三角形，∴，
∵，∴，∴，
故选：A．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】将点代入抛物线得：，解得，
将点代入抛物线得：，
如图，若抛物线与线段恰有一个公共点，
则的取值范围是，
故选：D．
第二部分非选择题（共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 神舟十八号载人飞船控制台的导线直径约为．将数据用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】将数据用科学记数法表示为．
故答案为：．
10. 围棋，起源于中国，古称“弈”，是棋类之鼻祖，距今已有4000多年的历史．现用围棋中的黑子摆出如图所示的正方形图案，则第11个正方形图案有黑子_______个．
【答案】
【解析】∵第1个正方形图案有黑子个数为：，
第2个正方形图案有黑子个数为：，
第3个正方形图案有黑子个数为：，
……，
∴第11个正方形图案有黑子个数为：，
故答案为：．
11. 如图，已知三角板，将三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为_______．（结果保留）
【答案】
【解析】∵，，，∴，
∴，∴，
∵将三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴旋转角，
即，
∴B点转过的路径长为，
故答案为：．
12. 如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点A（，2），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是_____．
【答案】2
【解析】∵正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点A（，2），∴2＝k1，2＝，∴k1＝2，k2＝6，
∴正比例函数为y＝2x，反比例函数为：y＝，
∵点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，
∴y＝＝2，∴B（3，2），
过点B作BD∥x轴交OA于点D，如图，
则D（1，2），∴BD＝3﹣1＝2．
∴S△AOB＝S△ABD+S△OBD＝×2×（2﹣2）+×2×2＝2，
故答案为2．
13. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为______．
【答案】
【解析】∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ACD=∠ABD=30°，
∴∠ADB=60°，
∵AD=2，
∴BD=2AD=4，
分别取AB、AD的中点F、G，并连接FG，EF，EG，
∵E是AC的中点，
∴EF∥BC，EG∥CD，
∴∠AEF=∠ACB，∠AEG=∠ACD，
∴∠AEF+∠AEG =∠ACB+∠ACD=90°，即∠FEG =90°，
∴点E在以FG为直径的⊙P上，如图：
当点E恰好在线段PD上，此时DE的长度取得最小值，
连接PA，
∵F、G分别是AB、AD的中点，
∴FG∥BD，FG=BD=2，
∴∠ADB=∠AGF=60°，
∵PA=PG，
∴△APG是等边三角形，
∴∠APG=60°，
∵PG=GD=GA，且∠AGF=60°，
∴∠GPD=∠GDP=30°，
∴∠APD=90°，
∴PD=，
∴DE长度的最小值为() ．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14. 计算：
解：
．
15. 解不等式组：．
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以不等式组的解集为．
16. 化简：．
解：
．
17. 如图，已知，点在上．若，请用尺规作图法，在射线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）
解：如图，点即为所求．
由作图可得，
∵，
∴，
∴．
18. 如图，已知等边三角形ABC，延长BA至点D，延长AC至点E，使AD＝CE，连接CD，BE．求证：∠BCD＝∠ABE．
证明：△ABC是等边三角形，
∴∠BAE＝∠CBD＝60°，BC＝AB＝AC，
∵AD＝CE，
∴AD+AB＝CE+AC，
即BD＝AE，
在△BCD和△ABE中
∴△BCD≌△ABE（SAS），
∴∠BCD＝∠ABE．
19. 二十四节气是中国古代独创的历法，被誉为“中国的第五大发明”．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，于是准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有A．“春分”B．“芒种”C．“立秋”D．“冬至”四个节气．两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来或习俗．
（1）从这四张卡片中随机抽取一张，则抽到的卡片上写有“A．春分”的概率是___________；
（2）小明先从这四张卡片中随机抽取一张，记下卡片上写有的节气，然后放回，背面朝上洗匀，小亮再从这四张卡片中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求两人中至少有一人抽到的卡片上写有“B．芒种”的概率．
解：（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．春分”的只有1种，
所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．春分”的概率是；
（2）用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有种等可能出现的结果，其中两人中至少有一人抽到的卡片上写有“B．芒种”的有7种，
所以两人中至少有一人抽到的卡片上写有“B．芒种”的概率为．
20. 钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
解：设黑色琴键x个，则白色琴键个，
由题意得：，
解得：，
∴白色琴键：（个），
答：白色琴键52个，黑色琴键36个．
21. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）．
解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则．
又∵，
∴四边形ACHG是矩形．
∴．
由题意，得．
在中，，
∴（m）﹒
∵是的外角，
∴．
∴．
∴m．
在中，
∴(m)．
∴．
答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m．
22. 小明从地出发向地行走，同时轩轩从地出发向地行走，如图所示，相交于点的两条线段分别表示小明、轩轩离地的距离（千米）与已用时间（分钟）之间的关系．
（1）分别求和的函数解析式；
（2）求两人相遇多少分钟以后，轩轩到达地？
解：（1）设的解析式为：，
∵函数的图象过，∴，即，∴的解析式为：；
当时，，即，
设的解析式为：，
∵函数的图象过，∴，解得，
∴的解析式为：；
（2）令，解得，（分钟），
答：两人相遇8分钟以后，轩轩到达地．
23. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下：
技术统计表
根据以上信息，回答下列问题：
（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是__________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为_________分；
（2）若规定“综合得分”为：平均每场得分平均每场篮板数平均每场失误数，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．
解：（1）从比赛得分统计图可知，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度，
∴得分更稳定的队员是甲．
将乙队员的得分按从小到大进行排序为，
∴乙队员得分的中位数为（分），
故答案为：甲；29．
（2）甲的综合得分：（分），
乙的综合得分：（分），
∵综合得分越高表现越好，且，
∴乙队员的表现更好．
24. 如图，在中，，以为直径作，交于点，作交延长线于点，过点B作的切线，交于点E．
（1）证明：；
（2）若的半径为５，，求的长．
（1）证明：∵CD⊥AC，
∴∠A+∠D=90°，
∵BE与切于点B，
∴CB⊥BE，
∴∠CBA+∠EBD=90°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠CBA，
∴∠EBD=∠D，
∴BE=DE；
（2）解：如图，连接MB，
∵BC是的直径，的半径为5，
∴BM⊥AC，BC=AC=2×5=10，
∵AM=4，
∴MC=AC-AM=10-4=6，
∴，
∵AC⊥CD，
∴，
∴∠MBC=∠BCE，
∵∠BMC=∠CBE=90°，
∴△BMC∽△CBE，
∴，即，解得：，
∴．
25. 一次足球训练中，小明从球门正前方A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把点代入，得，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得，
解得（舍去），，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
26. 问题情境
如图1，四边形是菱形，过点作于点，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为点．
猜想证明
（1）如图2，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点．猜想线段与的数量关系，并说明理由；
深入探究
（2）当直线与直线垂直时，直线分别与直线交于点，直线与线段交于点．若，求四边形的面积．
解：（1），理由如下：
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质得：，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
（2）∵在中，，
∴，，
∵四边形是菱形，，
∴菱形的高为，
由旋转的性质得：，
∴，，
∵直线与直线垂直，
∴，
又∵四边形是菱形，
∴，，
∴点在同一条直线上，
∵在中，，
∴，
∴点在的延长线上或在线段上．
①如图，当在的延长线上时，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
解得，
∴，
∵直线与直线垂直，，
∴与菱形的高相等，即，
∴，
在中，，
解得，
∴四边形的面积为
；
②如图，当点在线段上时，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，解得，
∴，
∵直线与直线垂直，，
∴与菱形的高相等，即，∴，
在中，，解得，
∴四边形的面积为
；
综上，四边形面积为或．队员
平均每场得分
平均每场篮板数
平均每场失误数
甲
26.5
8
2
乙
26
10
3