（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第14练 三角函数的图像和性质（原卷版+解析）

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学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．如果函数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，则f（x）（ ）
A．在（0，）单调递减B．在（0，π）单调递增
C．在（—，0）单调递减D．在（—，0）单调递增
3．函数的周期为2，下列说法正确的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．f（x）在[，]上单调递增
D．的图像关于直线对称
4．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．对任意，用表示不超过x的最大整数，设函数，则（ ）．
A．B．
C．D．
6．函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知以为周期的函数，其中.若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻对称中心的距离为，则（ ）
A．的最小正周期为B．的最小正周期为
C．D．
10．已知函数的图象上，相邻两条对称轴之间的最小距离为，图象沿x轴向左平移单位后，得到一个偶函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．函数图象的一个对称中心为
B．当c到时，函数的最小值为
C．若，则的值为
D．函数的减区间为
11．已知是函数图像的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．若△PBC为等边三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最小正周期为8
C．
D．将图像上所有的点向右平移1个单位长度后得到的图像，是图像的一个对称中心
12．（多选题）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称B．在上是增函数
C．的最大值为D．若，则
三、解答题
13．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的最值.
14．已知函数，且函数的最小正周期为.
(1)求的解析式，并求出的单调递增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合.
15．已知函数．
(1)求函数的最小正周期和对称中心；
(2)若，方程有两个实数解，求实数m的取值范围．
16．已知函数.
(1)求函数在上单调递增区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍，横坐标缩小为原来的，向上平移1个单位长度得到函数的图象，求函数在上的最值.
第14练 三角函数的图像和性质
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．如果函数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
因为函数满足，所以的图象关于对称，
所以，，
所以，，
所以的最小值为.
故选：B
2．已知函数，则f（x）（ ）
A．在（0，）单调递减B．在（0，π）单调递增
C．在（—，0）单调递减D．在（—，0）单调递增
【答案】D
【详解】
，
故当时，，所以不单调，AB错误；
当时，，在上单调递增，
故D正确
故选：D
3．函数的周期为2，下列说法正确的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．f（x）在[，]上单调递增
D．的图像关于直线对称
【答案】C
【详解】
由可知，,由此可知选项不正确；
由可知，，
即是偶函数，由此可知选项不正确；
由，解得,
当时，区间上为单调递增，由此可知选项正确；
由，解得，
则直线不是的对称轴，由此可知选项不正确；
故选：.
4．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
设，因为，
所以该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，显然排除AD；
当时，，所以，排除C，
故选：B
5．对任意，用表示不超过x的最大整数，设函数，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
解：因为，所以，
则，所以，
故.
故选：A.
6．函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
解：因为，令，即，当时显然不成立，
当时，作出和的图象，如图，
它们关于点对称，
由图象可知它们在上有4个交点，且关于点对称，每对称的两个点的横坐标和为，所以4个点的横坐标之和为．
故选：C．
7．已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增，
由，，得，，
所以的单调递增区间为，，
依题意得，，
所以，，
所以，，
由得，由得，
所以且，
所以或，
当时，，又，所以，
当时，.
综上所述：.
故选：C.
8．已知以为周期的函数，其中.若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
解：作出函数和的图象如图：
若方程恰有5个实数解，
则直线处在函数在内的曲线切线和之间．
函数是周期为4的周期函数，
，此时．
，，
此时两个函数不相交．
当，时，，，
，，．
由，得，
则由，得，
整理得，解得，
当，时，，，
，，．
即，将代入整理得，
即，
由判别式得
要使方程恰有5个实数解，则，
即的取值范围为，
故选：B．
二、多选题
9．已知函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻对称中心的距离为，则（ ）
A．的最小正周期为B．的最小正周期为
C．D．
【答案】AC
【详解】
因为图象相邻的对称中心与对称轴的距离为，所以最小正周期，故A正确，B不正确；
因为，且，所以，故C正确，D不正确，
故选：AC.
10．已知函数的图象上，相邻两条对称轴之间的最小距离为，图象沿x轴向左平移单位后，得到一个偶函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．函数图象的一个对称中心为
B．当c到时，函数的最小值为
C．若，则的值为
D．函数的减区间为
【答案】BCD
【详解】
根据相邻两条对称轴之间的最小距离为，可知周期，故；
图象沿x轴向左平移单位后，得到是偶函数，所以 ，故
当，，故A错.
时，，，故B对.
，其中，故，C对.
令，故函数的减区间为，D对.
故选:BCD
11．已知是函数图像的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．若△PBC为等边三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最小正周期为8
C．
D．将图像上所有的点向右平移1个单位长度后得到的图像，是图像的一个对称中心
【答案】BC
【详解】
连接BC，设BC的中点为D，与P相邻的函数的图像与x轴的交点为E，F，即E，F为函数图像的两个对称中心，连接PB，PD，则由题意知，故选项A错误；
易知，，所以，，则的最小正周期为8，故选项B正确；
因为，则，，且，所以，故选项C正确；
因为，则将图像上所有的点向右平移1个单位长度后得到的图像，易知不是的图像的对称中心，故选项D错误 ，
故选：BC．
12．（多选题）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称B．在上是增函数
C．的最大值为D．若，则
【答案】BCD
【详解】
对于A，因，则的图象关于对称，不关于对称，A错误；
对于B，因与在上都是增函数，则在上是增函数，B正确；
对于C，因，即是奇函数，
又与的最小正周期分别为与，则的正周期为，
当时，，令，得，即，
当时，，当时，，则在上递增，在上递减，
因此，在上的最大值为，由是奇函数得在上的最大值为，
由的正周期为，则在R上的最大值为，C正确；
对于D，由选项C得，，，，
又，则，
所以当时，，D正确．
故选：BCD
三、解答题
13．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的最值.
【答案】(1)(2)最大值为，最小值为
【解析】(1)
解：∵，
∴，即函数的最小正周期为．
(2)解：在区间上，，
∴，
∴，
∴的最大值为，的最小值为．
14．已知函数，且函数的最小正周期为.
(1)求的解析式，并求出的单调递增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合.
【答案】(1)，;
(2)，.
【解析】(1)
由函数的最小正周期为,则，
故，
令，解得，
故的单调递增区间为.
(2)，
则的最大值为，
此时有，即，
故，解得，
所以当取得最大值时的取值集合为.
15．已知函数．
(1)求函数的最小正周期和对称中心；
(2)若，方程有两个实数解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)最小正周期，对称中心为
(2)
【解析】(1)
=
=
=
=
所以，最小正周期，
由，得
所以，对称中心为．
(2)
因为，所以，
由正弦曲线可得．
16．已知函数.
(1)求函数在上单调递增区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍，横坐标缩小为原来的，向上平移1个单位长度得到函数的图象，求函数在上的最值.
【答案】(1)函数的单调递增区间是；
(2)最小值为，最大值为
【解析】(1)
，
令，因为 ，所以，
所以在上单调递递增，函数在上单调递增.
(2)
由将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍，横坐标缩小为原来的，向上平移1个单位长度得到函数的图象，得：，
因为，所以 ，所以，
所以函数在上的最小值为，最大值为.