2022-2023学年吉林省长春市南关区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年吉林省长春市南关区九年级上学期数学期末试题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的四则运算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
3. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式即可解答．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴且．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的概念、一元二次方程根的判别式的应用等知识点，灵活运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键，二次项系数不为零是解答本题的易错点．
4. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可得到答案．
【详解】解：
移项得：，
配方得：，即，
故选A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
5. 如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比，列式进行计算即可．
【详解】解：三角板的一边长为，则设投影三角板的对应边长为，
三角板与其投影的相似比为，
，
，
经检验，是原方程的解，
投影三角板的对应边长为．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边之比等于相似比是解答此题的关键．
6. 如图是一架人字梯，已知，两梯脚之间的距离米，AC与地面BC的夹角为，则人字梯AC长为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质，过点A作得到，根据余弦的定义即可，得到答案．
【详解】解：过点A作于点D，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据等腰三角形的性质构造直角三角形是解题的关键．
7. 如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是，现将绕点B按逆时针方向旋转90°，则旋转后点A的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意直接利用网格特点和旋转的性质画出绕点B逆时针旋转90°后的图形，然后写出旋转后点A的坐标．
【详解】解：如图所示，绕点B按逆时针方向旋转90°得到，则旋转后点A的坐标是，
故选B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转，正确画出旋转后的图形是解题的关键．
8. 如图，P是内一点，连结P与各顶点，各顶点分别在边AP、BP、CP、DP上，且，．若与的面积和为6，则的面积为（ ）
A. 108B. 54C. 18D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质推出，，根据相似三角形的性质得到，同理，，据此求解于是得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形与四边形是平行四边形，
∴，，，，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理：，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∵，
∴与的面积和为6，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 将化为最简二次根式的结果是__________．
【答案】
【解析】
分析】将分母有理化后进行化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法解决本题的关键．
10. 设m、n是一元二次方程的两个根，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则：．
11. 若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可；
【详解】解：由可设，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
12. 关于x的一元二次方程的一个解是，则k值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】把代入方程即可求出k的值，再根据一元二次方程的定义，把不合题意的解舍去，即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴将代入方程得，，即，
解得或，
当时，原方程不是一元二次方程，
∴．
故答案：2．
【点睛】此题考查了一元二次方程根含义，解题的关键是掌握一元二次方程根的含义，方程的根是使得方程成立的未知数的值．
13. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据正切的定义进行求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键．
14. 如图，矩形中，，，点E在边上，与相交于点F．若，则的长的________．
【答案】##
【解析】
【分析】先由矩形的性质得到，利用勾股定理求出，再求出，证明，得到，则．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，证明得到是解题的关键．
二、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算顺序及运算法则并正确进行计算是解题的关键．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】先把方程化为一般式，然后利用公式法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
17. 如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，测量知，．当AB，BC转动到，时，求点C到直线AE的距离．（精确到0．1cm，参考数据：，，）
【答案】cm
【解析】
【分析】过如图所示：点作垂足为过点作垂足为过点作垂足为可知四边形是矩形，从而得出在中，利用锐角三角函数的定义求出的长和由求出在中，利用锐角三角函数的定义求出即可得出结果．
【详解】解：如图所示：过点作垂足为过点作垂足为过点作垂足为
∴四边形是矩形，
在中，
中，
即
∴点C到直线AE的距离为
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18. 如图，是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．
（1）以点O为位似中心，画出的位似图形，使它与的相似比为2∶1．
（2）在线段上找出所有的点M，将线段DF分为两部分．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据位似图形的性质作出位似图形即可；
（2）构造相似三角形，使其相似比为，即可找出点M，
【小问1详解】
如图，即为所作，
【小问2详解】
如图，点M即为所作，
【点睛】本题考查了相似三角形及位似变换：掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．
19. 新时代教育投入得到了高度重视，某省2020年公共预算教育经费是200亿元，到2022年公共预算教育经费达到242亿元．
（1）求2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率．
（2）按照这个增长率，预计2023年公共预算教育经费能否超过266亿元？
【答案】（1）2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率为
（2）能超过，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率为x，然后根据经过连续两年增长后从200亿元增长到242亿元列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求，求出2023年的公共预算教育经费即可得到答案．
【小问1详解】
解：设2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
∴2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率为；
【小问2详解】
解：∵，
∴按照这个增长率，预计2023年公共预算教育经费能超过266亿元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程有两个实数根、，且，求k的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）先利用根与系数的关系得到，再由得到关于k的方程，解方程即可．
【小问1详解】
证明：∵关于x的一元二次方程为，
∴
，
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、，
∴，
∵，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
21. 三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图，G是重心．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】如图所示，过点D作交于H，由G是重心，得到，证明，推出，则，再证明，得到，再证明，即可证明．
【详解】证明：如图所示，过点D作交于H，
∵G是重心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的重心定理的证明，作辅助线构造相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
22. 先阅读方框中方程的求解过程，然后解答问题：
（1）解方程：．
（2）解方程：．
（3）方程的解为__________．
【答案】（1），，；
（2），，，；
（3），．
【解析】
【分析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可；
（2）先分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可；
（3）整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴或，
解得，
解，即，
∴，，
∴方程的解为：，，；
【小问2详解】
解：，
∴，
∴或
∴，，，；
【小问3详解】
解：，
∴，
∴，即，
∴，，无实数解，
或，，
∴，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解高次方程，解一元二次方程，根的判别式等知识点，能把高次方向转化成低次方程是解此题的关键．
23. 如图，正方形的边长为12，E是边上一点（与点B、C不重合），连接，G是延长线上的点，过点E作的垂线交的角平分线于点F，若．
（1）求证：．
（2）若，求的面积．
（3）当为何值时，的面积最大，最大值是多少？
【答案】（1）见解析 （2）；
（3）当时，的面积最大，最大值是18．
【解析】
【分析】（1）利用同角的余角相等，判断出，进而得出，即可得出结论；
（2）先求出，进而表示出，由，得出，求出，最后用三角形面积公式即可得出结论；
（3）同（2）的方法，即可得出，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，则，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：设，则，
∴，
由（1）知，，
∴，即，
∴（舍去），
∴，
∴当时，的面积最大，最大值是18．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，二次函数的性质，判断出是解本题的关键．
24. 如图，在中，，，，动点P从点A出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与的顶点重合时，过点P作于点D，以为边在的下方作正方形．设点P运动的时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示线段的长．
（2）当点F落在边上时，求t的值．
（3）作点C关于直线的对称点，
①当点在的内部时，求t的取值围．
②连接，当直线与的边平行时，直接写出t的值．
【答案】（1）
（2）
（3）①或；②或或
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求出的长度，再根据题意进行分类讨论，当点P在上时：即可求出，最后根据求解；当点P在上，，根据相似三角形对应边成比例，即可进行解答；
（2）根据题意，画出相应图形，可得，即可求解；
（3）①根据题意分别讨论当点P在上时和当点P在上的情况；②根据题意分四种情况进行讨论即可．
【小问1详解】
解：当点P在上时：
∵，，，
∴，
∴，
∵点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度向点B运动，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴；
即；
当点P在上时，如图：
∵四边形为正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上：；
【小问2详解】
由图可知：，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，即，
解得：；
【小问3详解】
①过点C作于点M，交于点N，
∵，
∴，解得：，
当点于点P重合时，
∵点C和点关于直线的对称，
∴，
当点P在边上时，
∵，
∴，即，
解得：，
∴，
解得：，
当点于点C重合时，
，
解得：，
∵点在内，
∴；
当点P在边上时：
∵，
∴，即，
解得：，
∴，
解得：，
当点于点C重合时，
，
解得：，
∵点在内，
∴；
综上：t的取值范围为：或；
②当点P在边上，且时：
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，解得：，
当点P在边上，且时：
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，解得：；
当点P在边上，且时：
∵
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，解得：
当点P在边上，且时：
∵
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，解得：（舍），
综上：当或或．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用，具有分类讨论的思想．解方程：．
解：方程左边分解因式，得
，
解得，，．