2022-2023学年吉林省长春市宽城区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年吉林省长春市宽城区九年级上学期数学期中试题及答案，共24页。试卷主要包含了选择题，四条直线，分别于，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. ﹣5的绝对值是（ ）
A. 5B. ﹣5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．
【详解】解：|﹣5|=5．
故选A．
2. 国家统计局网站公布我国2022年年末总人口约1411750000人，将1411750000这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定表示数的整数位数，减去1得到n；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．
【详解】∵，
故选C．
【点睛】本题考查了绝对值大于1的数的科学记数法，确定表示数的整数位数，减去1得到n；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键．
3. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论．
【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，不符合题意；
圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
球体的主视图是圆，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4. 某厂家去年八月份的口罩产量是50万个，十月份的口罩产量是72万个．若设该厂家八月份到十月份的口罩产量的月平均增长率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均增长率的意义列式计算即可．
【详解】根据题意，得，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握平均增长率问题是解题的关键．
5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A、B、C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A. B. 3C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，
根据题意得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键．
6. 如图，四边形是的内接四边形，连接．若，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，，得到，根据计算选择即可．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握两个性质是解题的关键．
7. 如图,在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，则的值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长到点D，连接，由网格可得即，即可求出答案．
【详解】解：延长到点D，连接，如图：
，，
，
，
故选A．
【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数、解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在二次函数的图象上．若，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的对称性，求出点关于对称轴对称点的坐标，再根据二次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：∵ 的对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
∴当点在点之间的抛物线上时，，
即：，
解得：；
故选C．
【点睛】本题考查抛物线的对称性，二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 分解因式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方差公式分解因式，即可．
详解】解：，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键．
10. 不等式组，的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据解一元一次不等式组的方法“一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分”即可得．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
即不等式组的解集为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的方法．
11. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为_______．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根据方程有两个相等的实数根，可得，计算即可．
【详解】关于x的方程有两个相等的实数根，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，；熟练掌握知识点是解题的关键．
12. 如图，为估算某鱼塘的宽的长度，在陆地上取点C、D、E，使A、C、D在同一条直线上，B、C、E在同一条直线上，且，．若测得的长为米，则的长为______米．
【答案】30
【解析】
【分析】根据已知条件，证明即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
13. 如图，正六边形ABCDEF内接于．若的周长为，则该正六边形的边长是______．
【答案】6
【解析】
【分析】连接，易证是等边三角形，由等边三角形的性质可得⊙O的半径．
【详解】解：连接，
∵多边形是正六边形，的周长为
∴，的半径
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线与x轴交于C、D两点，其中．若，则n的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】二次函数的图像与x轴交点的横坐标，是对应该二次函数时的实数根，所以令，求出、、、四点的横坐标，再利用的关系即可求出n的值．
【详解】解：把代入得：
，
解得：，
，
，，
把代入得：
，
解得：，
，
，，
，
，
，
，
令，则
，
解得：，，
当时，，解得：，
，
符合题意，
当时，，解得：，
不符合题意．
故答案为：4
【点睛】本题考查了二次函数与方程的关系及二次函数的图像与性质，找到、、、四点的横坐标是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
则，
解得，
，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，选择合适的方法正确解方程是解题的关键．
16. 2023年第19届亚运会的吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”．如图，现有三张正面印有这三种吉祥物的不透明的卡片，依次记为A、B、C，这三张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，小亮从中随机抽取一张，记下图案后背面向上放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小亮两次抽到的卡片图案上都是莲莲的概率．
【答案】
【解析】
【分析】画出树状图，共有9个等可能的结果，小亮两次抽到的卡片图案上都是莲莲的结果是1个，再根据概率公式求解即可．
【详解】画树状图如下：
共有9个等可能的结果，小亮两次抽到的卡片图案上都是莲莲的结果是1个，
∴．
【点睛】此题考查的是用画树状图法或列表法求概率，解题时要注意问题是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中的线段上找一点D，线段上找一点E，连接，使是的中位线，并直接写出线段的长．
（2）在图②中，以点A为位似中心，作的位似，使与的面积比为．
【答案】（1）图见解析，线段的长为2
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）如图可知，A到的距离为4个单位，将A向下移动2个单位得到点F，过点F作的平行线，分别交于，连接，为所求，由中位线的性质得到可求解；
（2）如图，将A向下移动2个单位得到点D，向下移动5个单位得到点E，连接，过点D分别作的平行线，分别交于，连接，为所求．
【小问1详解】
解：如图可知，A到的距离为4个单位，将A向下移动2个单位得到点F，过点F作的平行线，分别交于，连接，为所求．
作图如下，
，
是中位线，
，
故线段的长为2 ；
【小问2详解】
如图，将A向下移动2个单位得到点D，向下移动5个单位得到点E，
连接，
与的面积比为，
与的相似比为，
过点D分别作的平行线，
分别交于，
连接，
则，，
故为所求．
【点睛】本题考查了网格作图，中位线的性质，位似的性质及作图；解题的关键是数量掌握中位线及位似图形的性质．
18. 2022年是中国共产主义青年团建团100周年．某校举办了一次关于共青团知识的竞赛，七、八年级各有300名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从这两个年级各随机抽取了20名学生的成绩（单位：分）进行调查分析．下面给出了部分信息：
a．七年级学生的成绩整理如下：
57 69 72 75 76 78 79 80 81 81
83 83 83 85 86 86 88 88 92 96
b．八年级学生成绩的频数分布直方图如下图．
（数据分成四组：，，，），其中成绩在的数据如下：
80 82 83 85 85 85 87 88 88 89．
c．两组样本数据平均数、中位数、众数如下表所示
根据所给信息，解答下列问题：
（1）______，______．
（2）根据统计数据，你认为七、八两个年级哪个年级的成绩更好些，请说明理由．（至少从一个角度进行说明）
（3）成绩达到85分及以上为优秀，估计参加本次活动的七年级和八年级学生中，此次测试成绩达到优秀的总人数．
【答案】（1），
（2）八年级成绩更好些，理由见解析
（3）此次测试成绩达到优秀的总人数约为225人
【解析】
【分析】（1）根据众数和中位数的意义，即可求解；
（2）从平均数和众数的角度分析，即可求解；
（3）分别求出参加本次活动的七年级和八年级学生成绩达到85分及以上的人数，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：七年级成绩中83分出现的次数最多，
∴；
根据题意得：把八年级成绩从小到大排列位于第20，21位的分别为80，82，
∴
故答案为：83，81
【小问2详解】
解：八年级成绩更好些，理由：
因为八年级的平均数为分（或众数为85分），大于七年级的平均数分（或众数83分）；
七年级成绩更好些，理由：
因为七年级的中位数为82分，大于八年级的中位数81分．
【小问3详解】
解：（人）．
所以此次测试成绩达到优秀的总人数约为225人．
【点睛】本题考查了频数分布直方图，众数，中位数，样本估计总体等知识．解题的关键在于从图表中获取正确的信息．
19. 某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为，在C处测得树顶D的仰角为（点A、B、C在同一条水平直线上）已知测量仪高度米，米，求树的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据：，，】
【答案】树的高度约为米
【解析】
【分析】设米，根据，得到， ，利用解直角三角形的知识计算求解即可．
【详解】解：连接交于点M，则，
，．
设米，在中，，
∴，
∴．
在中，，
，
．
解得，即．
∴（米）．
答：树的高度约为米．
【点睛】本题考查了仰角型解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键．
20. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径．
（1）若，交的延长线于点E，判断所在直线与的位置关系，并说明理由．
（2）连接，若的半径为3，，求所对的扇形的面积．（结果保留）
【答案】（1）所在直线与相切，理由见解析
（2）扇形的面积为
【解析】
【分析】(1)连接，证明即可．
(2)求得扇形的圆心角，后套用公式计算即可．
【小问1详解】
所在直线与相切，理由如下：
如图，连接．
∵为的直径，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵点D在上，
∴所在直线与相切．
【小问2详解】
∵，的半径为3，，
∴．
∴扇形的面积为．
【点睛】本题考查了切线的判定，扇形面积公式，熟练掌握切线的判定定理和扇形面积公式是解题的关键．
21. 某抛物线形拱桥的截面图如图所示．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽为8米．上的点E到点A的距离米，点E到拱桥顶面的垂直距离米．他们以点A为坐标原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式．
（2）求拱桥顶面离水面的最大高度．
（3）现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面正中间通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于米．请通过计算说明该游船是否能安全通过．
【答案】（1）该抛物线所对应的函数表达式为
（2）拱桥顶面离水面的最大高度为4米
（3）该游船能安全通过，理由见解析
【解析】
【分析】(1) 设抛物线解析式为，将，代入上式，确定a、b的值即可．
(2) 把抛物线的解析式化为顶点式，求出抛物线的最大值即可．
(3) 根据对称性，确定船左侧的坐标，根据解析式，计算函数值，比较与安全距离米的大小，大于则安全通过，小于或等于，都不安全．
【小问1详解】
设，将，代入上式，
得，
解得，
∴该抛物线所对应的函数表达式为．
【小问2详解】
，
当时，．
∴拱桥顶面离水面的最大高度为4米．
小问3详解】
∵游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米，游船从拱桥下面正中间通过，
∴船离点A的距离为米．
把代入中，
．
∵，
∴该游船能安全通过．
【点睛】本题考查了抛物线的应用，熟练掌握待定系数法，求函数的最值，对称性是解题的关键．
22. 【问题原型】如图①，与均为等腰直角三角形，，连接AD、BE．求证：
【问题延伸】如图②，，，连接 ．试问与的大小有怎样的关系？请说明理由．
【问题应用】如图③，，，，．点E在边上，且，连接，则线段的长为______．
【答案】问题原型：见解析；问题延伸：，理由见解析；问题应用：
【解析】
【分析】问题原型：只需要利用证明即可证明；
问题延伸：由得到，再证明．即可证明，从而证明；
问题应用：先利用勾股定理求出，则，同理证明，利用相似三角形的性质求出，由，得到，推出四点共圆，则，即可利用勾股定理得到．
【详解】解：问题原型：∵与均为等腰直角三角形，
∴，．
∵，
∴，即．
∴．
∴．
问题延伸：，理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
∴．
问题拓展：在中，，
∴，
∵，
∴，
同理可证，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆内接四边形的性质等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
23. 如图，在矩形中，，．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿运动，到点A停止．在点P运动的同时，点Q从点A出发以每秒1个单位的速度沿运动．当点P回到点A停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示线段的长．
（2）以为边作矩形，使点M与点A在所在直线的两侧，且．
①当点Q在边上，且点M落在上时，求t的值．
②当点M在矩形内部时，直接写出t取值范围．
（3）点E在边上，且．在线段上只存在一点F，使，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）当时，；当时，
（2）①；②或
（3）或或
【解析】
【分析】(1)分和两种情况，即可分别表示出；
(2)①根据矩形的性质可证得，根据相似三角形的性质，列出方程，解方程即可求解；②分两种情况，画出图形，即可求解；
(3)分三种情况，画出图形，即可求解．
【小问1详解】
解：当时，，
当时，；
【小问2详解】
解：①当点Q在边上，且点M落在上时，如图①，
四边形、都是矩形，
，，
，，
，
，
，
即，解得；
②如图②，此时，
当点Q、M都在边上，点P、N都在边上时，，，
此时四边形是矩形，，
即，
解得，
如图③，此时，
综上，当点M在矩形内部时，t的取值范围为或；
【小问3详解】
解：如图④，当点P在点E的左侧时，以为直径的圆与只有一个交点，此交点即为点F，此时，
当时，，解得，
此时t的取值范围为：，
如图⑤，当以为直径的圆与相切时，
，，，
，
以为直径的圆与相切，
，
，
，，
，
，
，
，
解得或(舍去)，
此时；
如图⑥，当点P第二次在点E的左侧时，
，解得，
此时；
综上，t的取值范围为或或．
【点睛】本题考查了动点问题，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，解一元二次方程，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线过点，其对称轴为直线．点P是抛物线上第一象限的点，设点P的横坐标为m．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（2）当点P到x轴的距离为3时，求m的值．
（3）将抛物线上A、P两点之间（含A、P两点）的图象记为G，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为，求h与m之间的函数关系式．
（4）过点P作轴交抛物线于另一点Q．设点Q到y轴的距离为d，当时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）这条抛物线所对应的函数表达式为
（2），
（3）当时，；当时，；当时，
（4）或
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出函数关系式即可；
（2）把代入关系式解方程即可；
（3）分三种情况分别讨论解题即可；
（4）分为Q点在y轴的两侧时，利用对称性解题即可．
【小问1详解】
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，解得．
∵抛物线过点，∴．
∴这条抛物线所对应的函数表达式为．
【小问2详解】
由题意，得．
解得，．
【小问3详解】
，，顶点．
当时，．
当时，．
当时，．
【小问4详解】
或．
理由为点关于对称轴对称，
当在y轴左侧时，根据对称得
∴
因为时，（舍），，
∵P是抛物线上第一象限的点，
∴，
当在y轴右侧时，这时根据对称得，
综上所述，或
【点睛】本题考查待定系数法，解一元二次方程，函数关系式，以及二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．年级
平均数
中位数
众数
七年级
82
m
八年级
n
85