2022-2023学年吉林省长春市双阳区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年吉林省长春市双阳区九年级上学期数学期末试题及答案，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1. 二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x＞0B. x≥-1C. x≥1D. x≤1
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件求解．
【详解】解：要使二次根式 在实数范围内有意义，
必须x-1≥0成立，
∴x≥1，
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
2. 若csα＝，则锐角α的度数是（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【答案】C
【解析】
【分析】根据csα＝，求出锐角α的度数即可．
【详解】解：∵csα＝，
∴α＝60．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标．
【详解】解：∵为抛物线的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键．
4. 如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（ ）
A. 9.3mB. 10.5mC. 12.4mD. 14m
【答案】B
【解析】
【分析】先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出CD即可．
【详解】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴，即，
∴CD=10.5（米）．
故选B．
【点睛】考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
5. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【详解】解：将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，
得到的抛物线对应的函数表达式为：，
即．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的平移，正确记忆平移规律是解题关键．
6. 一元二次方程的两根分别为和，则的值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为和，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．
7. 如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（ ）
A. 800sinα米B. 800tanα米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【详解】【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题.
【详解】Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，
∴tanα=，
∴AB=，
故选D．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.
8. 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为（ ）
A. 3:4B. 9:16C. 9:1D. 3:1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可证，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】∵四边形平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形，熟练考查相似三角形的面积比等于相似比的平方．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
9. 已知，那么_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例的性质，可得答案．
详解】解：由3x=4y，两边同时除以3y，
得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，等式的两边都除以3y是解题关键．
10 如图，直线，直线交，，于点，，；直线交，，于点，，，已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”得出，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
11. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比是(坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比)，坝高米，则坡面的长度是______米．
【答案】
【解析】
【分析】根据坡度和坡角的关系求出，根据含角的直角三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：迎水坡的坡比是，
，
，
米．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度和坡角的关系是解题的关键．
12. 如图所示，在中，，是斜边上的中线，分别为的中点，若，则_____．
【答案】4
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出．
【详解】解：∵分别为的中点，
∴，
∵，是斜边上的中线，
∴，
故答案为4．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
13. 如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A(﹣2，﹣1)，B(﹣2，﹣3)，O(0，0)，△A1B1O1的顶点坐标分别为A1(1，﹣1)，B1(1，﹣5)，O1(5，1)，△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为_______.
【答案】(-5，-1)
【解析】
【分析】分别延长B1B、O1O、A1A，它们相交于点P，然后写出P点坐标即可.
【详解】解：如图，P点坐标为(﹣5，﹣1).
故答案为(﹣5，﹣1).
【点睛】本题主要考查了位似图形的位似中心的概念性质，掌握相关概念是解题关键
14. 如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为_____．
【答案】4．
【解析】
【分析】根据关系式，令h=0求得t的值，即小球从飞出到落地所用的时间.
【详解】解：依题意，令得：
∴
得：
解得：（舍去）或
∴即小球从飞出到落地所用的时间为
故答案为4．
【点睛】本题考查了二次函数性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单.
三、解答题（共10小题，共78分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式乘法，加减法运算法则计算即可．
【详解】解：原式＝＝．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
16. 解方程:.
【答案】
【解析】
【分析】运用公式法解一元二次方程.
【详解】解：
【点睛】掌握运用公式法解一元二次方程.
17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．求的取值范围．
【答案】且
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义得出，根据题意，得出，解不等式即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得：且
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
18. 四张扑克牌的点数分别是，，，，除点数不同外，其余都相同，将它们洗匀后背面朝上放在桌上．随机抽取一张牌不放回，接着再抽取一张牌，用画树状图或列表的办法求这两张牌的点数都是偶数的概率．
【答案】，列表见详解
【解析】
【分析】根据列表法表示出所有可能，根据概率公式求概率即可求解．
【详解】解：列表如下，
共有种等可能结果，其中两张牌的点数都是偶数有种可能，
∴牌的点数都是偶数的概率为
【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．
19. 如图，有一块矩形硬纸板，长，宽．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为？
【答案】当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为．
【解析】
【分析】设剪去正方形的边长为，则做成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，高为，根据长方体盒子的侧面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】设剪去正方形的边长为，则做成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，高为，
依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ，，
当时，，不合题意，舍去，
∴，
答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20. 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？
（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
【答案】51.6cm
【解析】
【分析】过点B作BM⊥CE于点M，BF⊥AD于点，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出CM，BF的长度即可求解.
【详解】解：如图，过点B作BM⊥CE于点M，BF⊥AD于点，则.
由题意知，，，，，
∴，∠ABF=30°
∴，
∴
又∵，
∴四边形BFDM为矩形，
∴，
∴．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进去求解计算.
21. 用长为6米的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，设矩形窗框的宽为米，窗框的透光面积为平方米.（铝合金型材宽度不计）
（1）求与的函数关系式，并写出的取值范围．
（2）直接写出的最大值．
【答案】（1），
（2）当时，
【解析】
【分析】根据矩形窗框的宽为表示出面积，利用二次函数最值求法得出即可．
【小问1详解】
解：由窗框的宽为米，则长为米,
根据题意可得：；
【小问2详解】
解：由（1）可得：
．
当时，．
故最大的透光面积是：．
答：当应做成长，宽分别是米、1米时，才能使做成的透光面积最大，最大透光面积是平方米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，利用配方法求出顶点坐标是解题关键．
22. 【基础问题】如图1，在矩形中，点、分别在边、上，，，，，求长．
【拓展延伸】（1）如图2，在等边中，为边上一点，为边上一点，且，，，则长为______．
（2）如图3，在四边形中，，交于点，，交于点，，，，则______．
【答案】【基础问题】；【拓展延伸】（1）9；（2）
【解析】
【分析】基础问题：证明得出，代入数据即可得出答案；
拓展延伸：（1）证明，得出，即，解出即可；
（2）根据平行线的性质和已知条件得出，即可证明，即可得出，代入数据求出，根据求出结果即可．
【详解】基础问题：
证明：∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：；
拓展延伸：
（1）∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：；
故答案为：9；
（2）∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键．
23. 如图，在中，，，，动点在线段上以每秒3个单位的速度从点运动到点，过点作垂直于，交射线于点，以、为邻边作矩形，设点的运动时间为；
（1）的长为______．（用含的代数式来表示）
（2）当点落在的平分线上时，求的值．
（3）当平分矩形的某一边时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）先证，再由，推出的长；
（2）利用角平分线的性质及勾股定理，用表示出各个线段的长，再由，求出的值；
（3）分情况讨论，当平分矩形的边时和平分矩形的边时，分别求出的值．
【小问1详解】
由题意知：
，
【小问2详解】
∵点落在的平分线上，
由勾股定理得：
【小问3详解】
①由（2）知，
∵四边形为矩形，
,
∵平分矩形的边时，交于点F时
②由（2）知，
∵平分矩形的边时，交于点H时，
综上所诉：或
【点睛】本题考查动点问题，涉及的知识点是相似三角形的性质和判定的综合运用，角平分线的性质，锐角三角函数，解题的关键是根据动点的变化找到相似三角形及当平分矩形的某一边时，进行分情况讨论．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）．
（1）当抛物线经过点时，求的值
（2）当时，
①若随的增大而减小，则的取值范围为______．
②若，则函数的最大值为______，最小值为______．
③若，，则的取值范围是______．
（3）当时，若函数（为常数）的图象与直线只有一个交点时，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）；
（2）①；②10，1；③
（3），
【解析】
【分析】（1）把代入，求解即可；
（2）①把代入得，①当时，函数值随的增大而减小；②当时，，当时，，函数的最大值为10，最小值为1；③根据二次函数的性质可得；
（3）根据，得出抛物线的顶点坐标为，分两种情况：直线经过顶点，②当，即或时，则，求出答案即可．
小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：当时，，
∴顶点坐标为：，对称轴为直线，
①当时，函数值随的增大而减小，
故答案为：；
②当时，，
当时，，
∵，
函数的最大值为10，最小值为1，
故答案为：10，1；
③当时，，
当时，，
∵若，，
∴，
故答案为：；
【小问3详解】
解：，
∴抛物线的顶点坐标为，
当时，若函数（为常数）的图象与直线只有一个交点，
①直线经过顶点，
∴，
解得：（舍去）或，
②当，即或时，
由，
解得：，，
则，
解得：，
综上所述：或．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值，将交点个数问题转化为不等式是求解本题的关键．