2022-2023学年吉林省长春市南关区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省长春市南关区九年级（上）期末数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  已知关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C. 且 D. 且

4.  用配方法解方程，配方后所得的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为：，且三角板的一边长为则投影三角板的对应边长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图是一架人字梯，已知，两梯脚之间的距离米，与地面的夹角为，则人字梯长为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

7.  如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，现将绕点按逆时针方向旋转，则旋转后点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，是▱内一点，连结与▱各顶点，▱各顶点分别在边、、、上，且，若与的面积和为，则▱的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  将化为最简二次根式的结果是        ．

10.  设、是一元二次方程的两个根，则的值为        ．

11.  若，则        ．

12.  关于的一元二次方程的一个解是，则值为        ．

13.  如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为        ．

14.  如图，矩形中，，，点在边上，与相交于点若，则的长的        ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
解方程：．

17.  本小题分
如图是一台手机支架，图是其侧面示意图，、可分别绕点、转动，测量知，当，转动到，时，求点到直线的距离精确到，参考数据：，，
 

18.  本小题分
如图，是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．
以点为位似中心，画出的位似图形，使它与的相似比为：．
在线段上找出所有的点，将线段分为：两部分．

19.  本小题分
新时代教育投入得到了高度重视，某省年公共预算教育经费是亿元，到年公共预算教育经费达到亿元．
求年到年公共预算教育经费的年平均增长率．
按照这个增长率，预计年公共预算教育经费能否超过亿元？

20.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
若方程有两个实数根、，且，求的值．

21.  本小题分
三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心如图，是重心求证：．

22.  本小题分
先阅读方框中方程的求解过程，然后解答问题：

解方程：．
解方程：．
方程的解为        ．

23.  本小题分
如图，正方形的边长为，是边上一点与点、不重合，连结，是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若．
求证：∽．
若，求的面积．
当为何值时，的面积最大，最大值是多少？

24.  本小题分
如图，在中，，，，动点从点出发沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动当点不与的顶点重合时，过点作于点，以为边在的下方作正方形设点运动的时间为秒．
用含的代数式表示线段的长．
当点落在边上时，求的值．
作点关于直线的对称点，
当点在的内部时，求的取值围．
连结，当直线与的边平行时，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式的定义得出，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减运算可判断，，根据二次根式的乘除运算法则可判断，，从而可得答案．
本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算，掌握“二次根式的加减乘除运算的运算法则”是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
，
整理得：．
又，
实数的取值范围是且．
故选：．
由题意可得且，然后解不等式即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用解一元二次方程配方法：当二次项系数化为时，常数项等于一次项系数一半的平方，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设投影三角尺的对应边长为，
三角尺与投影三角尺相似，
：：，
解得．
故选：．
根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解．
本题主要考查相似三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，
，
米，
在中，，
米，
故选：．
过点作，根据等腰三角形的性质可得，，再根据余弦的定义即可求解．
本题主要考查解直角三角形的应用、等腰三角形的性质，正确运用锐角三角函数是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】绕点按逆时针方向旋转后，得到，如图，

由图可知，点的坐标为，
故旋转后点的坐标是．
故选：．
根据网格的特点结合旋转的性质画出绕点按逆时针方向旋转的图形，以此即可求解．
本题主要考查坐标与图形变化旋转，解题关键是图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形与四边形是平行四边形，
，，，，，，
，
，，
，
，
，
，
同理：，
，
∽，
，
，
同理，，
，
与的面积和为，
▱的面积．
故选：．
根据平行四边形的性质和平行线的性质推出，，根据相似三角形的性质得到，同理，，于是得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
被开方数的分子分母乘以，然后再开方即可．
此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
 

10.【答案】 

【解析】解：、是一元二次方程的两个根，
，
．
故答案为：．
直接根据根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

11.【答案】 

【解析】解：，可设，，是非零数，
则．
故答案为：．
根据比例的基本性质变形，代入求值即可．
本题主要考查了比例的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：把代入一元二次方程得，
整理得，
解得，，
，
的值为．
故答案为：．
先把代入原一元二次方程得，解关于的方程得到，，然后根据一元二次方程的定义得到满足条件的的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
，
，
是直角三角形，
，
故答案为：．
根据勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，且，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，，
∽，
，
，
，
．
故答案为：．
根据勾股定理求出，再根据矩形的性质证明∽，再根据形似三角形的性质得出关于的方程，解方程即可．
本题考查三角形相似的判定和性质，矩形的性质，关键是掌握三角形相似的判定和性质．
 

15.【答案】解：原式
． 

【解析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
 

16.【答案】解：方程化为，
，，，
，
，
，． 

【解析】先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握公式法解方程的一般步骤是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
点到的距离为． 

【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，从而可得四边形是矩形，进而可得，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，并且可以求出，从而求出，进而求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，即为所求．
如图，点，满足要求．
证明：由作图知，，
：：，
：：，
：：，
即点满足要求，
同理：也满足要求．
 

【解析】根据位似的性质作图即可．
取格点，，，，连接，，分别交于点，，则点，满足要求．
本题考查作图位似变换，熟练掌握相似的性质是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：设年到年公共预算教育经费的年平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：年到年公共预算教育经费的年平均增长率为；
由题意得：年公共预算教育经费为亿元，
，
按照这个增长率，预计年公共预算教育经费能超过亿元． 

【解析】设年到年公共预算教育经费的年平均增长率为，利用年公共预算教育经费年公共预算教育经费年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
由题意求出年公共预算教育经费，即可解决问题．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

20.【答案】证明：

，
无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
解：由根与系数的关系得出：，，
由得：，
解得：． 

【解析】根据根的判别式得出，据此可得答案；
根据根与系数的关系得出，，代入得出关于的方程，解之可得答案．
本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
 

21.【答案】证明：连接，

点是的重心，
点和点分别是和的中点，
是的中位线，
且，
∽，
，
，
， 

【解析】根据题意，可以得到是的中位线，从而可以得到且，然后即可得到∽，即可得到和的比值，进而可得出结论．
本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】， 

【解析】解：．
，
或，
解得：，，；

，
，
或，
解得：，，，；

，
，
，
，
或，
方程无解；
解方程得：，．
故答案为：，．
先把方程的左边分解因式，即可得出两个方程或，再求出方程的解即可；
先把方程的左边分解因式，即可得出两个方程或，再求出方程的解即可；
变形后把方程的左边分解因式，即可得出两个方程或，再求出方程的解即可．
本题考查了解高次方程和解一元二次方程，能把高次方程转化成一元二次方程或一元一次方程是解此题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
∽；
解：，，
，
平分，，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
解：设，则，
∽，
，
，
，
，
当时，的最大面积为，
当为时，的面积最大，最大值是． 

【解析】由余角的性质可得，可得结论；
由相似三角形的性质可得，可求的长，即可求解；
设，则，由相似三角形的性质可得，可求的长，由二次函数的性质可求解．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的面积公式等知识，证明三角形的相似是解题的关键．
 

24.【答案】解：由题意得，
当点在边上，即时，如图，

在中，，，，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
四边形是正方形，
；
当点在边上，即时，如图，

，，
，
，，
∽，
，即，
，
四边形是正方形，
；
综上所述，线段．
如图，，点在边上，

，
由知：，∽，
，即，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得：；
如图，取、的中点、，

则，，
当点运动到点时，直线与重合，
，
解得：，
当点运动到点时，直线与重合，
，
解得：，
当关于直线的对称点在的内部时，的取值范围为或．
当时，如图，连接交于，延长交于，

、关于直线对称，
，，
，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
∽∽，
，即，
，
，
，即，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
解得：；
当时，如图，连接交于，交于，

则，，，，，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得：；
综上所述，的值为或． 

【解析】分两种情况：当点在边上，即时，当点在边上，即时，运用相似三角形的判定和性质分别得的长即可；
由题意得：，，由知：，∽，利用相似三角形性质可得，再由∽，即可求得答案；
如图，取、的中点、，分别求得点与点、重合时对应的值，即可求得答案；
分两种情况：当时，如图，连接交于，延长交于，可证得∽∽，利用相似三角形性质即可求得的值；当时，如图，连接交于，交于，由，可得，即可求得的值．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，轴对称性质，动点问题等；解题关键是运用分类讨论思想和方程思想解决问题．