人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量的应用优质第3课时教案

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第3课时空间中直线、平面的垂直
一、教材分析
因为空间向量可以表示空间中的点、直线、平面，所以自然地会联想到利用空间向量及其运算可以表示“直线与直线”“直线与平面”和“平面与平面”之间的平行、垂直等位置关系，解决此问题的关键是转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系。本节内容是在上一节的基础上进行的。
对于空间中直线、平面垂直的向量表示，教科书首先安排了一个“思考”:“在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系?”对于此问题，由于学生已经经历了研究空间中直线、平面平行的过程，因此对直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直关系的研究可以类似地进行，教学中应更多地让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式，进一步体会空间向量在研究直线、平面间位置关系中的作用.
二、学情分析
学生在立体几何初步中，已经学习了空间基本几何体的结构特征，学习了空间基本元素点、直线、平面的位置关系，已经熟悉了直线、平面的平行与垂直的判定定理和性质定理，能够用综合法解决一些立体几何问题.本节前面，学生在学习空间向量的概念及线性运算之后，已感受到空间向量与平面向量之间的内在联系，学会了运用类比的方法研究空间向量及其运算.这些都为本单元的学习奠定了基础.本节学习可能存在如下问题：
(1)学生对抽象的几何问题的分析能力尚有欠缺，在建立基本图形中的元素与向量之间的联系、用向量表示空间图形相关元素的过程中，需要使用构造性方法，这对学生是一个难点.
(2)虽然学生在前面已系统学习了空间向量的相关内容，但学生对于空间向量的认识是不到位的，比如空间向量基本定理，学生能从形式上把握这一定理，但在解决具体问题时，需要根据问题的条件选择合适的“基”,需要准确把握条件及其相互关系，对于基底的选择与建立，学生还需要积累经验，提升对基底的认识，形成对“合适的基底”的敏感和直觉.另外，学生对向量法与坐标法的理解较为模糊，常将两者混为一谈，对坐标法的运用较熟练，而对向量在解决问题中所起到的工具性作用认识不到位.
三、教学目标
（一）课程标准要求
①能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量。
②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系。
③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理。
④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题(参见案例16)和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
（二）课时目标要求
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，发展数学抽象素养
2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理，培养逻辑推理素养
3.能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系，培养逻辑推理素养.
四、重点难点
教学重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系
教学难点：用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系
五、教学过程
环节一：创设情境，导入新课
上节课学习了空间中直线、平面平行的向量表示，直线的方向向量和平面的法向量的对应关系是什么样的？
师生活动：先给出直线、平面的向量表达，方向向量、法向量分别是确定直线、平面的要素；然后利用方向向量、法向量之间的关系判断直线、平面的平行关系具体而言，设直线的方向向量分别为,平面的法向量分别为,则：
问题1：类比空间中直线、平面平行关系的研究方法，你认为可以按怎样的路径研究空间中直线、平面的垂直关系?
师生活动：先给出直线、平面的向量表示式(方向向量、法向量分别是确定直线、平面的要素);再利用向量运算得出方向向量、法向量之间的关系；最后利用方向向量、法向量之间的关系判断直线、平面的垂直关系.
【设计意图】类比平行关系的研究，给出空间中直线、平面垂直关系的研究路径.
环节二：学习新知
问题2：类比空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系?
师生活动：
一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直．
如图1.4-13(1)，设直线，的方向向量分别为，，则
．
如图1.4-13(2)，设直线的方向向量为，平面的法向量为，则
，使得．
如图1.4-13(3)，设平面，的法向量分别为，，则
．
【设计意图】因为有直线、平面平行的向量表示的经验，所以学生通过类比容易得到直线、平面垂直的向量表示.因此，这里主要让学生独立完成。
思考：类比三类平行关系向量表示中蕴含的数学思想，你能归纳三类垂直关系向量表示中的数学思想吗?你能概括一下用向量方法判断直线、平面位置关系的数学思想吗?
师生活动：学生类比平行关系的向量表示，独立思考、作答
用向量表示空间基本图形后，它们的垂直关系就转化为向量方向之间的关系.同类图形(直线与直线、平面与平面)垂直，则它们的方向也垂直；不同类图形(直线与平面)垂直，则它们的方向平行.
总之，对空间直线、平面进行向量表示后，直线、平面位置关系的判断就转化为它们的方向之间关系的判断.这样，在面对具体问题时，我们就可以根据问题的条件，通过向量运算得出向量方向关系的表达式进而判断直线、平面之间的位置关系.
【设计意图】：引导学生从整体上归纳空间直线、平面的平行关系、垂直关系的共性，促使学生认识到图形的位置关系本质上是向量方向之间的关系.
思考：我们随时随地看到向量运算的作用，你同意“向量是躯体，运算是灵魂”“没有运算的向量只能起路标的作用”的说法吗？
这个问题是要引导学生关注向量的运算在解决几何问题中的作用.有了向量的运算才能研究空间图形的位置关系、度量问题.例如，直线与直线垂直可以用其方向向量的数量积为0表示.这样我们就可以通过向量运算研究空间图形的位置关系.因此我们说向量的作用是通过其运算来体现的，如果没有运算，那么向量仅能表示空间中的点、直线和平面，只是“路标”,无法获得空间图形的几何性质.
环节三：根据新知，简单应用
例1.如图,在四棱锥中,平面,四边形是矩形,,是的中点,点在边上移动.求证:无论点在边上的何处,都有.
证明：(方法1)
以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，.
∵在边上，
∴设，∴，.
∵，∴.
∴无论点在边上的何处,都有
(方法2)因为在边上，可设，
所以
于是
=
，
因此.
所以，无论点在边上的何处,都有
反思感悟 利用向量方法证明线线垂直的方法
(1)基向量法:
①取三个不共线的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底;
②用基底把两直线的方向向量表示出来;
③利用向量的数量积计算出两直线的方向向量的数量积为0;
④由方向向量垂直得到两直线垂直.
(2)坐标法:
①根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标;
②根据所求出的点的坐标求出两直线方向向量的坐标;
③计算两直线方向向量的数量积为0;
④由方向向量垂直得到两直线垂直.
变式训练
1.在正方体中,E为AC的中点.
求证:(1);(2).
证明 以为原点,所在直线分别为轴，轴，轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则
.
(1)∵
∴
∴,∴.
(2)∵,
∴
∴,∴.
例2.在棱长为1的正方体中,分别为棱的中点.求证:平面
思路分析：
①不建系,利用基向量法证明与平面内的两个不共线向量都垂直,从而根据线面垂直的判定定理证得结论;
②建立空间直角坐标系,通过坐标运算证明与平面内的两个不共线向量都垂直;
③在建系的前提下,求得平面的法向量,然后说明与法向量共线,从而证得结论.
解：证明：(方法1)因为分别为棱的中点,
所以,
而,
于是,
因此.同理,
又因为不共线,
所以平面
(方法2)以为原点,分别以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系.
则
所以，,,
因此,故;
又,故.
又不共线,
所以平面.
(方法3)以为原点,分别以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系.
则
于是,
设平面的法向量为,
所以，
所以，即
取,则,即,
因为
所以,
所以平面.
反思感悟 利用空间向量证明线面垂直的方法
(1)基向量法:
①确定基向量作为空间的一个基底,用基向量表示有关直线的方向向量;
②找出平面内两条相交直线的方向向量,并分别用基向量表示;
③分别计算有关直线的方向向量与平面内相交直线的向量的数量积,根据数量积为0,证得线线垂直,然后由线面垂直的判定定理得出结论.
(2)坐标法:
方法一:
①建立空间直角坐标系;
②将直线的方向向量用坐标表示;
③找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量;
④分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0,证得线线垂直,然后得出线面垂直.
方法二:
①建立空间直角坐标系;
②将直线的方向向量用坐标表示;
③求出平面的法向量;
④证明直线的方向向量与平面的法向量平行,得出线面垂直.
变式训练：
2.如图1.4-14，在平行六面体中，，，求证：直线平面．
分析：根据条件，可以为基底，并用基向量表示和平面，再通过向量运算证明是平面的法向量即可．
证明：设，，，则为空间的一个基底，且，，．
因为，，
所以，．
在平面上，取，为基向量，则对于平面上任意一点，存在唯一的有序实数对，使得
．
所以．
所以是平面的法向量．
所以平面．
例3：证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
已知：如图1.4-15，，，求证：．
证明：取直线的方向向量，平面的法向量．
因为，所以是平面的法向量．
因为，而是平面的法向量，
所以．所以．
规律方法：
1.利用空间向量证明面面垂直的方法
(1)利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直问题；
(2)直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.
2.向量法证明面面垂直的优越性
主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法很“公式化”.
变式训练：
3.如图，在长方体中，，，是的中点，是的中点．求证：平面平面．

.证明：建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
，，，．
设是平面的法向量，则，，
，取，则，，．
设)是平面的法向量，则，，
，取，则，，．
又，，
∴平面平面
环节四：新知再认识，能力提升
题型：利用空间向量解决空间中直线、平面垂直的探究性问题.
1.如图所示，在三棱柱中，，，是的中点.
(1)用表示向量；
(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，时，.
【详解】（1）
（2）假设存在点，使，设，
显然.
因为，所以，
即
.
设，又，
即，
解得，
所以当时，.
规律小结：应用空间向量解答探索性(存在性)问题
立体几何中的存在探究题,解决思路一般有两个:
(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,并用向量表示出来,然后再加以证明,得出结论;
(2)假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点,根据线、面满足的垂直、平行关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在.
变式训练：
1.如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点.
(1)是否存在点，使得；若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，将垂直关系转化为向量的数量积为，结合结果进行判断即可.
【详解】
（1）因为平面平面，故，
又四边形为矩形，故，则两两垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，设，
若，则，
即，解得，不满足题意，
故不存在.
2．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F分别是棱，的中点．

(1) 在截面内是否存在点，使平面，并说明理由．
【分析】（1）由题意可建立相应空间直角坐标系，结合空间向量计算即可得；
（2）假设存在，可设，，，，结合空间向量解出、，可得其与假设矛盾，故不存在.
【详解】（1）由平面，、平面，
故、，又底面为正方形，故，
即、、两两垂直，
故可以为坐标原点，的方向为轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，，，，
假设截面内存在点满足条件，
设，，，，
有，，，
所以，
因为平面，所以，
所以，解得，
这与假设矛盾，所以不存在点，使平面．
3．如图，在多面体中，是边长为4的等边三角形，，，，点为的中点，平面平面．
（1）求证：平面
（2）线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，为线段上靠近点的八等分点.
【分析】（1）根据题目条件证明平面，从而得到//，得出//平面;
（2）建立空间直角坐标系，假设存在点，计算平面和平面的法向量，使法向量数量积为零，然后求解，根据的值确定点的位置.
【详解】解：（1）因为，是边长为4的等边三角形，
所以，
所以是等腰直角三角形，．
又点为的中点，所以．
因为平面平面，平面平面，
所以平面．
因为，，
所以，，
所以与都是直角三角形，
故，．
又，
所以平面，
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）连接，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设存在，使得二面角为直二面角，易知，且．
设平面的法向量为，
则由，，
得，令，得，，
故．
设平面的法向量为，
则由，，
得，令，得，，
故．
由，得，故．
所以当为线段上靠近点的八等分点时，二面角为直二面角．
环节五：凝练升华，课堂小结
问题4：回顾本节课的学习内容，回答下列问题
(1)用向量方法解决空间直线、平面位置关系的基本步骤是怎样的?
(2)回顾本节课的学习过程，在数学思想方法上你有什么新的认识?
师生活动：
(1)用向量方法解决空间直线、平面的位置关系问题.首先，给出直线、平面的向量表示式，其中方向 向量、法向量分别是确定直线、平面的要素；然后，通过向量运算得出方向向量、法向量之间的关系式；最
后，利用关系式判断相应的位置关系.
(2)向量方法蕴含的数学思想和方法非常丰富，类比、转化、数形结合、特殊与一般等都是常用的.
【设计意图】：通过小结，让学生进一步明确空间直线、平面平行关系的本质是方向的关系，并将这样的认识推广到垂直关系，最终形成统一的认识：空间的直线、平面的位置关系，本质就是方向之间的关系.因为向量是带有方向的，所以用向量表示直线、平面后，可以将位置关系转化为向量方向之间关系的表达。
环节六：布置作业，应用迁移
巩固作业：教科书第33页练习第1题
教科书第42-43页习题1.4第5、8、11题
巩固作业答案：
教科书第33页练习第1题
1.已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．
（1）若，求a，b的关系式；
（2）若，求a，b的值．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由得，所以，即，整理得；
（2）由得，所以，解得，.
教科书第42页习题1.4第5题
如图，在正方体中，点E在BD上，且；点F在上，且．
求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】解：（1）如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，因为，，所以，，所以，，所以，所以
（2）由（1）可知，所以，所以
教科书第43页习题1.4第8题
如图，四面体ABCD的每条棱长都等于a，M，N分别是AB，CD的中点．求证：，．
【答案】证明见解析
【详解】由题意可知，三个向量两两间的夹角为，
因为M，N分别是AB，CD的中点，
所以,
则
，
所以，同理可证.
教科书第43页习题1.4第11题

如图，在长方体中，，，E是CD的中点．求证：平面．
【答案】证明见解析
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，
所以，，
所以，，所以，，
因为，平面．
所以平面．
1.4空间中点、直线和平面垂直关系
1.空间中线线垂直的向量表示 例1.
2. 空间中线面垂直的向量表示
2. 空间中面面垂直的向量表示
例2.

例3
环节七板书设计直线、平面的位置关系
向量的位置关系
向量的运算
使得
使得