数学角巩固练习

这是一份数学角巩固练习，共16页。
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2023·高一课时练习）空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成的角的大小．
2．（2022秋·山西吕梁·高三期末）如图，在棱长为22的正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC边上的中点，现以EF为折痕将点C旋转至点P的位置，使得P-EF-A为直二面角.
(1)证明：EF⊥PA；
(2)求PD与面ABF所成角的正弦值.
3．（2022秋·贵州遵义·高二期末）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，点H为线段PB上一点（不含端点），平面AHC⊥平面PAB．
(1)证明：PB⊥AC；
(2)若AB=AC=1，四棱椎P－ABCD的体积为13，求二面角P－BC－A的余弦值．
4．（2023·广西柳州·高三阶段练习）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD=AB=12CD=1，平面ADP⊥平面PCD，PD⊥PC．
(1)求证：△ADP为直角三角形；
(2)若PC=AD，求PA与平面ABCD所成角的余弦值．
5．（2023春·四川成都·高三开学考试）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD⊥BA，AD=3，AB=BC=2，PA⊥平面ABCD，且PA=3，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．
(1)若DM=2MP，求证：直线MN//平面PAB；
(2)已知点M满足PMPD=13，求异面直线MN与AD所成角．
6．（2023·高一课时练习）已知PA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，异面直线PB与CD所成的角为45∘．
(1)二面角B-PC-D的大小；
(2)直线PB与平面PCD所成的角的大小．
7．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，平行于BC的直线分别交线段AB,AC于点M,N.将△AMN沿着MN折起至△A1MN，使得二面角A1-MN-B是直二面角.
(1)若平面A1MN∩平面A1BC=l，求证：l//BC；
(2)若三棱锥A1-AMN的体积为1，求二面角N-A1M-B的正弦值.
8．（2023·广东佛山·统考一模）如图，△ACD和△BCD都是边长为2的等边三角形，平面ACD⊥平面BCD，EB⊥平面BCD．
(1)证明：EB//平面ACD；
(2)若点E到平面ABC的距离为5，求平面ECD与平面BCD夹角的正切值．
9．（2022秋·甘肃兰州·高二期末）如图，已知在四棱锥P-ABCD中，PA=AD=PD=2，∠BAD=∠CDA=90°，AB=2CD，CD⊥PA，E，F分别为棱PB，PA的中点．
(1)求证：平面PAB⊥平面EFDC；
(2)若直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积．
10．（2023·高三课时练习）如图1，AD是直角△ABC斜边上的高，沿AD把△ABC的两部分折成如图2所示的直二面角，且DF⊥AC于点F．
(1)证明：BF⊥AC；
(2)设∠DCF=θ，AB与平面BDF所成的角为α，二面角B-FA-D的大小为β，试用tanθ，csβ表示tanα．
11．（2023·高三课时练习）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1．
(1)求异面直线B1D1与AC所成角的大小；
(2)求二面角B1-AC-D的余弦值．
12．（2023秋·江苏南通·高三期末）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，E为AC的中点，将△ACD沿AC翻折使点D至点D'.
(1)求证：平面BD'E⊥平面ABC；
(2)若三棱锥D'-ABC的体积为223，求二面角D'-AB-C的余弦值.
13．（2022秋·四川达州·高二期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，点E,F分别为PA,PD的中点，AB=BC=2，AD=PA=4.
(1)证明：直线EF//平面PBC；
(2)求二面角F-CD-B的余弦值.
14．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三期末）如图，边长是6的等边三角形△ABC和矩形BCDE.现以BC为轴将面ABC进行旋转，使之形成四棱锥A1-BCDE，O是等边三角形△ABC的中心，M，N分别是BC，DE的中点，且A1B=2ON，OF//面BCDE，交A1C于F.
(1)求证OF⊥面A1MN
(2)求DF和面A1MN所成角的正弦值.
15．（2022秋·上海黄浦·高二阶段练习）已知ABCD是空间四边形，如图所示（M，N，E，F分别是AB、AD、BC、CD上的点）．
(1)若直线MN与直线EF相交于点O，证明B，D，O三点共线；
(2)若E，N为BC，AD的中点，AB=6，DC=4，NE=2，求异面直线AB与DC所成的角．
16．（2023·全国·高二专题练习）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为边长为1的菱形，∠ABC=π4，PA=2，M为PA中点，N为BC的中点．
(1)求证：直线MN//平面PCD；
(2)求直线AB与MD所成角大小．
17．（2022秋·江西萍乡·高三期末）如图，在五面体ABCDE中，△ABC为等边三角形，平面ABC⊥平面ACDE，且AC=2AE=2ED=2，∠DEA=∠EAC=90°，F为边BC的中点.
(1)证明：DF//平面ABE；
(2)求DF与平面ABC所成角的大小.
18．（2023秋·浙江温州·高二期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，二面角P-BC-A为直二面角．BP=CP=2，BP⊥CP，M，N分别为AP，AC的中点．
(1)求平面BMN与平面PCD夹角的余弦值；
(2)若平面BMN∩平面PCD=l，求点A到直线l的距离．
19．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥S-ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠DBC=90∘,SC=SD=DC，且平面SCD⊥平面ABCD，点E在棱SC上，直线SA//平面BDE.
(1)求证：E为棱SC的中点；
(2)设二面角S-BD-C的大小为θ，且tanθ=6.求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值.
20．（2023·浙江·统考一模）如图，在长方体ABCD-EFGH中，P，Q是长方形EFGH内互异的两点，∠APC是二面角A-PQ-C的平面角．
(1)证明：点P在EG上；
(2)若AB=BC，PA=PC，求直线AP与平面PBC所成角的正弦值的最大值．
21．（2022春·江苏苏州·高一期末）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ADC=120∘，CC1=4，M，N分别是线段DD1，BD上的动点，且DN=λDB0