高考数学第二轮复习专题练习 专题8.15 空间中线面的位置关系大题专项训练（30道）（学生版）

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1．（2023·高一课时练习）长方体ABCD-A1B1C1D1中，M是矩形BCC1B1的中心，N是矩形CDD1C1的中心．证明：MN//平面ABCD.
2．（2022·陕西宝鸡·统考一模）如图在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD是平行四边形.已知PA=AB=2，AD=5，AC=1，E是PB中点.
(1)求证：PD ∥平面ACE；
(2)求四面体P-ACE的体积.
3．（2023秋·河南安阳·高三期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是直角三角形，且PA=AD=4，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．
(1)证明：PB ∥平面EFG；
(2)求三棱锥B-EFG的体积．
4．（2022春·山东聊城·高一期中）如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点.
(1)求证：BD1 ∥平面AMC；
(2)若N为CC1的中点，求证：平面AMC ∥平面BND1.
5．（2022春·河南信阳·高一阶段练习）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、Q、S分别是被AB、BC、C1D1、D1A1的中点.
(1)求证：MN//QS；
(2)记MNQS确定的平面为α,作出平面α被该正方体所截的多边形截面，写出作法步骤.并说明理由，然后计算截面面积；
(3)求证：平面ACD1//平面α.
6．（2022春·山东聊城·高一期中）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，F,G分别为PB,AD的中点.
(1)证明：AF∥平面PCG；
(2)在线段BD上是否存在一点N，使得FN ∥平面PCG，并给出必要的证明.
7．（2022春·山东聊城·高一阶段练习）如图，四棱锥P-ABCD中，AD//BC，AD=12BC，点E为PC上一点，F为PB的中点，且AF//平面BDE.
(1)若平面PAD与平面PBC的交线为l，求证：l//平面ABCD；
(2)求证：AF//DE.
8．（2022秋·湖南怀化·高二阶段练习）已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，且AA1=2,O1是A1C1与B1D1的交点.
(1)若E是AB1的中点，求证：O1E//平面ADD1A1；
(2)求C到平面EB1O1的距离.
9．（2022春·广西百色·高一期末）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．
(1)求证：EF∥平面BDD1B1；
(2)设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF∥平面BDD1B1．
10．（2023·海南省·统考模拟预测）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为正三角形，M为线段PD上一点，N为BC的中点.
(1)当M为PD的中点时，求证：MN//平面PAB.
(2)当PB//平面AMN，求出点M的位置，说明理由.
11．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，多面体ABCDEF的面ABCD是正方形，其中心为M．平面ADE⊥平面ABCD，BF∕∕AE，AE=2BF，AD=DE=AE=2．
(1)求证：CF⊥平面AEFB；
(2)在△ADE内（包括边界）是否存在一点N，使得MN∕∕平面CEF？若存在，求点N的轨迹，并求其长度；若不存在，请说明理由．
12．（2022·北京·统考模拟预测）如图所示，已知△BCD中，BC=BD=2，且∠CBD=120°，现将△BCD沿BC翻折到△ABC，满足cs∠ABD=13．
(1)求证：AD⊥BC；
(2)若E为边CD的中点，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值．
13．（2023春·四川成都·高三开学考试）如图，在几何体ABCDE中，AD⊥面ABE，AD∥BC，AD=2BC，AB=BE．
(1)求证：平面DCE⊥平面DAE；
(2)AB=1，AE=2，VABCDE=14，求CE与平面DAE所成角的正弦值．
14．（2023秋·四川广元·高二期末）如图，边长为3的正方形ABCD中，点E是线段AB上的动点，点F是线段BC上的动点，均不含端点，且满足BE=BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P.
(1)求证：PD⊥EF；
(2)当BE=BF=13BC时，求三棱锥P-EFD的体积.
15．（2023·内蒙古·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB//CD，PB=CD=2AB=2AD，PD=2AB，PC⊥DE，E是棱PB的中点.
(1)证明：PD⊥平面ABCD；
(2)若F是棱AB的中点，AB=2，求点C到平面DEF的距离.
16．（2023秋·山东威海·高二期末）如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA=AB=32，点M，N分别在PA，BD上，且PMPA=BNBD=13．
(1)求证：MN⊥AD；
(2)求证：MN//平面PBC，并求直线MN到平面PBC的距离．
17．（2023秋·山东东营·高二期末）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，E为AA1的中点，∠A1AD=∠A1AB．
(1)求证：A1C∥平面EBD；
(2)求证：BD⊥平面AA1C1C.
18．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知在四棱锥E-ABCD中，AE⊥底面ABCD，且底面ABCD是正方形，F、G分别为AE和CE的中点.
(1)求证：FG//平面ABCD；
(2)求证：BD⊥CE.
19．（2023·高一课时练习）已知圆锥的轴截面SAB是等腰直角三角形，SA=2a，Q是底面圆O内一点，且OQ⊥AQ，C是AS中点，D是点O在SQ上的射影．
(1)求证：OD⊥面AQS；
(2)求三棱锥S-OCD体积的最大值．
20．（2022春·河南·高一期中）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别为所在棱的中点，Q,H分别为正方形ADD1A1和正方形ABCD的中心，连接EF，EG,FG,D1Q,CH,QH,CD1.
(1)证明：平面EFG//平面CD1QH；
(2)问在线段CD上是否存在一点P，使得DQ ∥平面D1PH？若存在，写出P点的位置并给出证明；若不存在，请说明理由.
21．（2023秋·江苏苏州·高三期末）如图1，在长方形ABCD中，已知AB=2，BC=1，E为CD中点，F为线段EC上（端点E，C除外）的动点，过点D作AF的垂线分别交AF，AB于O，K两点．现将△DAF折起，使得DK⊥AB（如图2）．
(1)证明：平面ABD⊥平面ABC；
(2)求直线DF与平面ABC所成角的最大值．
22．（2022秋·甘肃兰州·高二期末）如图，已知在四棱锥P-ABCD中，PA=AD=PD=2，∠BAD=∠CDA=90°，AB=2CD，CD⊥PA，E，F分别为棱PB，PA的中点．
(1)求证：平面PAB⊥平面EFDC；
(2)若直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积．
23．（2022春·河南洛阳·高一阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，E、F分别是PB、CD的中点.
(1)证明：EF//平面PAD；
(2)证明：EF⊥平面PAB；
(3)若PB⊥平面AEF，求四棱锥E-ABCF的体积.
24．（2022秋·湖北随州·高二开学考试）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90∘，AD//BC,AB⊥AC,AB=AC=2,E点在AD上，且AE=2ED.
(1)已知点F在BC上，且CF=2FB，求证：平面PEF⊥平面PAC.
(2)求点D到平面PAB的距离.
25．（2022秋·上海·高二专题练习）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1，
(1)若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；
(2)求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；
(3)若BC＝2，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值.
26．（2022·河南南阳·模拟预测）如图，四棱锥P-ABCD中，AB//CD，AB=12CD=1，E为PC中点.
(1)证明：BE//平面PAD；
(2)若AB⊥平面PBC，△PBC是边长为2的正三角形，求点E到平面PAD的距离.
27．（2022·全国·高一专题练习）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．
(1)证明：B1C⊥AB；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高；
(3)在（2）的条件下，求三棱柱ABC-A1B1C1的表面积．
28．（2022·高一单元测试）如图，在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=4，DF=2，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°．
(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；
(2)求D到平面CBE的距离；
(3)求二面角D-CB-E的大小．
29．（2022春·山东临沂·高一阶段练习）如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=23DA．
①求三棱锥Q−ABP的体积；
②求二面角Q−AP−C的余弦值．
30．（2022秋·辽宁·高二开学考试）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M为棱AC的中点，AB=BC，AC=2，AA1=2.
(1)求证：B1C//平面A1BM；
(2)求证：AC1⊥平面A1BM；
(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时BNBB1的值；如果不存在，请说明理由.