高考数学第二轮复习专题练习 专题6.3 平面向量的运算（重难点题型精讲）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习 专题6.3 平面向量的运算（重难点题型精讲）（教师版），共15页。试卷主要包含了向量的加法运算，向量加法的运算律，向量的减法运算，向量的数乘运算，向量共线定理等内容，欢迎下载使用。

1．向量的加法运算
(1)向量加法的定义及两个重要法则
(2)多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.
2．向量加法的运算律
(1)交换律：；
(2)结合律：.
3．向量的减法运算
(1)相反向量
我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是
零向量.
(2)向量减法的定义：
向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法.
(3)向量减法的三角形法则
如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以
表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.

4．向量的数乘运算
(1)向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与
方向规定如下：
①；
②当>0时，的方向与的方向相同；当0，则直线AP一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【解题思路】取线段BC的中点E，则AB+AC=2AE．动点P满足：OP=OA+λ(AB+AC)，λ>0，则AP=2λAE．即可判断出结论．
【解答过程】取线段BC的中点E，则AB+AC=2AE．
动点P满足：OP=OA+λ(AB+AC)，λ>0，
则OP-OA=2λAE
则AP=2λAE.
则直线AP一定通过△ABC的重心．
故选：C．
【题型6 向量线性运算在三角形中的运用】
【方法点拨】
结合具体条件，利用向量的线性运算，进行转化求解即可.
【例6】（2022春·北京大兴·高三期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若AG=xAB+yAD，则2x+y等于（ ）
A．25B．45C．1D．2
【解题思路】利用平面向量线性运算法则以及平面向量基本定理，将AG用AB,BC表示出来，求出x，y的值，即可求解．
【解答过程】由题意可得AG=AB+BG=AB+12BH=AB+12BC+CH=AB+12BC+14CE，
因为EFGH是平行四边形，所以AG=-CE，所以AG=AB+12BC-14AG，所以AG=45AB+25BC，
因为AG=xAB+yAD，所以x=45,y=25，
则2x+y=2×45+25=2．
故选:D.
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党建党100周年，“红星闪闪放光彩”，国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且AT=5+12TS，设ES-AP=λBQ，则λ=（ ）
A．5+12B．5-12C．-5+12D．1-52
【解题思路】根据五角星中长度关系，结合向量加法运算法则进行求解即可．
【解答过程】五角星中，ES=RC，AP=QC，
则ES-AP=RC-QC=RC+ CQ=RQ，
由于 AT=5+12TS⇒RQ=25+1QB=5-12QB=-5-12BQ=1-52BQ
则λ=1-52，
故选：D.
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且PTAT＝5-12.下列关系中正确的是（ ）
A．BP-TS=5+12RS
B．CQ+TP=5+12TS
C．ES-AP=5-12BQ
D．AT+BQ=5-12CR
【解题思路】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．
【解答过程】解：在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且PTAT=5-12．
在A中，BP-TS=TE-TS=SE=5+12RS，故A正确；
在B中，CQ+TP=PA+TP=TA=5+12ST，故B错误；
在C中，ES-AP=RC-QC=RQ=5-12DR=5-12QB，故C错误；
在D中，AT+BQ=SD+RD，5-12CR=RS=RD-SD，
若AT+BQ=5-12CR，则SD=0，不合题意，故D错误．
故选：A．
【变式6-3】（2022秋·湖南·高一阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E在线段BD上，且EB=3DE，若AE=λAD+μACλ,μ∈R，则（ ）
A．λ=12μB．λ=2μC．λ=3μD．λ=13μ
【解题思路】由平面向量的运算法则求解
【解答过程】平行四边形ABCD中，
因为EB=3DE，
所以DE=12DO=12AO-AD，
又因为AO=12AC，所以AE=AD+DE=AD+1212AC-AD=14AC+12AD，
又因为AE=λAD+μAC，所以λ=12，μ=14，则λ=2μ，
故选：B.