高考数学第二轮复习专题练习 专题6.4 平面向量的运算（重难点题型检测）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习 专题6.4 平面向量的运算（重难点题型检测）（教师版），共12页。试卷主要包含了3-+2等于等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·高一期末）3(a-7b)-(7a+4b)+2(2a+13b)等于（ ）
A．2aB．23bC．0D．b
【解题思路】根据向量的线性运算化简即可求解.
【解答过程】3(a-7b)-(7a+4b)+2(2a+13b)=3a-21b-7a-4b+4a+26b=b
故选：D.
2．（3分）（2022·全国·高一专题练习）如图，BA等于（ ）
A．2e1-4e2B．-4e1-2e2C．e1-3e2D．3e1-e2
【解题思路】根据向量的减法原则即可得出答案.
【解答过程】由图可知BA=e1-3e2.
故选：C.
3．（3分）（2022秋·河南南阳·高一阶段练习）在五边形ABCDE中（如图），下列运算结果为AD的是（ ）
A．AB+BC-DCB．AB+CB+DC
C．BC→-DC→D．AE-ED
【解题思路】对各选项按向量加法、减法运算法则进行向量加减运算即可判断作答.
【解答过程】A，AB+BC-DC=AC+CD=AD，正确；
B，AB+CB+DC=AB+DB≠DA，不正确；
C，BC-DC=BC+CD=BD，不正确；
D，AE→-ED→=AE→+DE→≠AD→， 不正确.
故选：A.
4．（3分）（2022·高一课时练习）已知O是△ABC所在平面内一点，且OA+OB=OC，那么（ ）
A．点O在△ABC的内部B．点O在△ABC的边AB上
C．点O在边AB所在的直线上D．点O在△ABC的外部
【解题思路】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案.
【解答过程】因为OA+OB=OC，所以四边形OACB为平行四边形．从而点O在△ABC的外部．
故选：D.
5．（3分）（2023春·北京昌平·高一期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，则下列各式一定成立的是（ ）
A．AB=CD
B．AC=BD
C．AO=12CA
D．AO=12AB+AD
【解题思路】由矩形的几何性质，结合各线段对应向量的关系判断各项的正误.
【解答过程】由图知：AB=DC=-CD，故A错误；AC,BD不相等，即AC≠BD，故B错误；
AO=12AC=-12CA，故C错误；AO=12AB+AD，故D正确.
故选：D.
6．（3分）（2022秋·浙江嘉兴·高一阶段练习）在平行四边形ABCD中，设M为线段BC的中点，N为线段AB上靠近A的三等分点，AB=a，AD=b，则向量NM=（ ）
A．13a+12bB．23a+12bC．13a-12bD．23a-12b
【解题思路】根据题意作出图形，将AM用a、b的表达式加以表示，再利用平面向量的减法法则可得出结果.
【解答过程】解：由题意作出图形：

在平行四边形ABCD中，∵M为BC的中点，则AM=AB+BM=a+12b，
又∵N为线段AB上靠近A的三等分点，则AN=13AB=13a，
∴NM=AM-AN=a+12b-13a=23a+12b，
故选：B.
7．（3分）（2022秋·浙江绍兴·高一阶段练习）如图，已知△ABC中，D为BC的中点，AE=12EC，AD，BE交于点F，设AC=a，AD=b.若AF=tAD，则实数t的值为（ ）
A．0.6B．0.8C．0.4D．0.5
【解题思路】根据向量线性运算，结合线段关系，用a，b表示出AB，EB，FB，由平面向量的基本定理，即可求得t的值．
【解答过程】因为D为BC的中点，且AC=a，AD=b，故AB+AC=2AD，即AB=2b-a，
又AE=12EC，可得AE=13AC=13a，EB=AB-AE=2b-a-13a=2b-43a，
又AF=tAD=tb，故FB=AB-AF=2b-a-tb=-a+(2-t)b，
因为EB，FB共线，由平面向量的基本定理可知满足-1-43=2-t2，解得t=12，
故选：D．
8．（3分）（2022秋·江苏扬州·高一期中）已知a，b为不共线的向量，且AB=a+5b，BC=-2a+8b，CD=4a+2b则（ ）
A．A,B,C共线B．A,B,D共线C．A,C,D共线D．B,C,D共线
【解题思路】根据AB，BC，CD求出AC和BD，再根据AB与BC不共线，可得A,B,C不共线，根据AB与BD共线，且有公共点B，可得A,B,D共线，根据AC与CD不共线，可得A,C,D不共线，根据BC与CD不共线，可得B,C,D不共线.
【解答过程】因为AB=a+5b，BC=-2a+8b，CD=4a+2b，
所以BD=BC+CD=2a+10b，AC⃑=AB⃑+BC⃑=-a→+13b→，
因为a，b为不共线，所以a,b为非零向量，
若存在λ∈R，使得AB=λBC，
则a+5b=λ(-2a+8b) =-2λa+8λb，即(1+2λ)a=(8λ-5)b，
因为a，b不共线，所以1+2λ=08λ-5=0，即λ=-12λ=58，此方程组无解，
故AB与BC不共线，所以A,B,C不共线，故A不正确；
因为AB=12BD，即AB与BD共线，又AB与BD有公共点B，所以A,B,D共线，故B正确；
若存在λ∈R，使得AC=λCD，则-a+13b=4λa+2λb，即(1+4λ)a=(13-2λ)b，
因为a，b不共线，所以1+4λ=013-2λ=0，即λ=-14λ=132，此方程组无解，
故AC与CD不共线，所以A,C,D不共线，故C不正确；
若存在λ∈R，使得BC=λCD，则-2a+8b=4λa+2λb，即(4λ+2)a=(8-2λ)b，
因为a，b不共线，所以4λ+2=08-2λ=0，即λ=-12λ=4，此方程组无解，
故BC与CD不共线，所以B,C,D不共线，故D不正确.
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·高一课时练习）下列各式中能化简为AD的有（ ）
A．MB+AD-BMB．AD+MB+BC+CM
C．AB+CD+BCD．OC-OA+CD
【解题思路】由向量的加法与减法法则逐一验证即可
【解答过程】对于A：MB+AD-BM=MB-BM+AD=MB+MB+AD=2MB+AD，故A 错误；
对于B：AD+MB+BC+CM= AD+BC+CM+MB=AD，故B正确；
对于C：AB+CD+BC=AB+BC+CD=AD，故C正确；
对于D：OC-OA+CD=AC+CD=AD，故D正确.
故选：BCD.
10．（4分）（2022·高一课时练习）已知A，B，C，是三个不同的点，OA=a- b,OB=2a-3b,OC=3a-5b，则下列结论正确的是（ ）
A．AC=2ABB．AB=BCC．AC=3BCD．A，B，C三点共线
【解题思路】根据向量运算求出AB,AC,BC即可依次判断.
【解答过程】由题可得AB=OB-OA=a-2b，AC=OC-OA=2a-4b，BC=OC-OB=a-2b,
∴ AC=2AB，故A正确；AB=BC，故B正确；AC=2BC，故C错误；
由AC=2AB可得AC//AB，A为公共点，故A，B，C三点共线，故D正确.
故选：ABD.
11．（4分）（2022春·安徽宿州·高三阶段练习）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星（5个顶点构成正五边形）是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系在如图所示的正五角星中，PTAT=5-12，则（ ）
A．AP+SE+RQ=0B．QC+SD=QD+RS
C．AT=5+12TSD．CQ-5+12ST=TP
【解题思路】由向量的运算性质逐一计算验证即可判断.
【解答过程】A选项，由图可知，AP+SE+RQ=QC+CR+RQ=0，故A正确；
B选项，QC+SD=AP+AT=AR，QD+RS=BR+RS=BS，故B错误；
C选项，∵ATTS=25-1=5+12，∴AT=5+12TS，故C正确；
D选项，CQ-5+12ST=CQ+5+12TS=CQ+AT=PA+AT=PT，故D错误．
故选：AC．
12．（4分）（2022春·河南洛阳·高一阶段练习）点P是△ABC所在平面内一点，且AP=xAB+yAC，下列说法正确的是（ ）
A．若x=y=12，则点P是边BC的中点
B．若点P是边BC靠近B点的三等分点，则x=13,y=23
C．若点P在BC边的中线上且x+y=12，则点P是△ABC的重心
D．若x+y=2，则△PBC与△ABC的面积相等
【解题思路】A选项转化为BP=PC，即可判断；B选项转化为BP=2PC，即可判断；C选项，分析可得点P为BC边的中线的中点，即可判断；D选项，可得点P在直线MN上，点P与点A到BC边的距离相等即可判断
【解答过程】A若x=y=12，AP=12AB+12AC⇔AP-AB=AC-AP⇔BP=PC，即点P是边BC的中点，故正确；
B当x=13,y=23时，AP=13AB+23AC⇔AP-AB=2(AC-AP)⇔BP=2PC，点P是边BC靠近C点的三等分点，故错误；
C点P在BC边的中线上且x+y=12，点P为BC边的中线的中点，故不是重心；
D设AM=2AB，AN=2AC，则AP=x2AM+y2AN，x2+y2=1，故点P在直线MN上，点P与点A到BC边的距离相等，故△PBC与△ABC的面积相等.
故选：AD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·全国·高三专题练习）求36a+b-9a+13b= 9a ．
【解题思路】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得；
【解答过程】解：36a+b-9a+13b=18a+3b-9a+3b
=18a+3b-9a-3b=9a；
故答案为：9a.
14．（4分）（2022·全国·高一专题练习）如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为r1→,r2→,r3→，则OD＝ r1→+r3→-r2→ .(用r1→,r2→,r3→表示)
【解题思路】由向量的加法法则可得答案.
【解答过程】OD→=OC→+CD→=OC→+BA→=OC→+OA→-OB→=r1→+r3→-r2→.
故答案为：r1→+r3→-r2→.
15．（4分）（2022·全国·高三专题练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若AG=xAB+yAD，则xy=
825 ．
【解题思路】直接由向量的线性运算及图形关系求出x,y的值，即可求解.
【解答过程】由题意可得AG=AB+BG=AB+12BH=AB+12BC+CH=AB+12BC+14CE．因为EFGH是平行四边形，
所以AG=-CE，所以AG=AB+12BC-14AG，所以AG=45AB+25BC．因为AG=xAB+yAD，
所以x=45，y=25，则xy=45×25=825．
故答案为：825.
16．（4分）（2022秋·全国·高一期末）在△AOB中，OC=14OA,OD=12OB，AD与BC交手M点，设OA=a,OB=b，在线段AC上取一点F，在线段BD上取一点E，使EF过M点，使OE=μOB,OF=λOA，则1λ+3μ=
7 ．
【解题思路】设OM=ma+nb，分别利用C,M,B三点共线和D,M,A三点共线求出m,n，再利用F,M,E三点共线和平面向量基本定理可求得结果
【解答过程】解：设OM=ma+nb，
因为C,M,B三点共线，所以存在非零实数k，使得CM=kCB=k(OB-OC)=kb-k4a，
所以OM=OC+CM=14a+kb-k4a=1-k4a+kb，
所以{m=1-k4n=k，得m=1-n4，
因为D,M,A三点共线，所以存在非零实数t，使得DM=tDA=t(OA-OD)=ta-t2b，
所以OM=OD+DM=12b+ta-t2b=ta+1-t2b，
因为OM=ma+nb，
所以{m=tn=1-t2，所以n=1-m2，
由n=1-m2和m=1-n4，解得m=17,n=37，所以OM=17a+37b，
因为F,M,E三点共线，
所以存在非零实数x，使得FM=xFE=x(OE-OF)=xλa-xμb，
因为FM=OM-OF=17a+(37-μ)b，
所以{xλ=17-xμ=37-μ，消去x，得μ+3λ=7λμ，
所以1λ+3μ=7，
故答案为：7.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·高一课时练习）化简下列各式：
(1)AO+OB+CA-CB；
(2)MN-MD+NQ-DQ.
【解题思路】（1）由向量的加法法则与减法法则求解即可；
（2）由向量的加法法则与减法法则求解即可；
【解答过程】（1）
AO+OB+CA-CB=AO+OB+CA-CB
=AB+BA=0；
（2）
MN-MD+NQ-DQ=MN-MD+NQ+QD
=DN+ND=0.
18．（6分）（2022·全国·高三专题练习）计算：
(1)23a+b-35b-a+130-a；
(2)λ+μ2a-b-3λ+5μ-a-3b,λ,μ∈R.
【解题思路】（1）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.
（2）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.
【解答过程】（1）原式=23a+23b-35b+35a+130-13a
=(23a+35a-13a)+(23b-35b+130)
=1415a+115b.
（2）原式=λ+μ2a-b-3λ+5μ-a-3b
=2λ+μa-λ+μb+3λ+5μa+33λ+5μb
=2λ+2μ+3λ+5μa+9λ+15μ-λ-μb
=(5λ+7μ)a+(8λ+14μ)b.
19．（8分）（2022·高一课前预习）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是平行四边形ACDE内一点，且AB=a，AC=b，AE=c，试用向量a,b,c表示向量CD，BC，BD.
【解题思路】根据向量加法和减法的运算法则即可求解.
【解答过程】解：因为四边形ACDE是平行四边形，
所以CD=AE=c，
BC=AC-AB=b-a，
BD=BC+CD=b-a+c.
20．（8分）（2022秋·高一课时练习）已知G是△ABO的重心，M是AB的中点，过点G作一条直线与AO边交于点P､与BO边交于点Q，设OA=a,OB=b,OP=m⋅a,OQ=n⋅b，求1m+1n的值.
【解题思路】根据向量的平行四边形法则以及重心表示可得OG=23×12OA+OB=13OA+OB，再由P,G,Q三点共线即可求解.
【解答过程】由题意可得OG=23×12OA+OB=13OA+OB=13OA+13OB=13a+13b，
又OP=m⋅a,OQ=n⋅b，即a=1mOP，b=1nOQ，
所以OG=13a+13b=13⋅1mOP+13⋅1nOQ=13mOP+13nOQ，
因为P,G,Q三点共线，
则13m+13n=1，即1m+1n=3.
21．（8分）（2022秋·湖北襄阳·高一阶段练习）（1）已知e1，e2是两个不共线的向量，向量a=e1+2e2，b=3e1-5e2，求4a-3b（用e1，e2表示）.
（2）设a，b是不共线的两个非零向量.若8a+kb与ka+2b共线，求实数k的值.
【解题思路】（1）由平面向量的线性运算求解即可；
（2）由平面向量的共线定理求解即可
【解答过程】（1）∵a=e1+2e2，b=3e1-5e2，
∴4a-3b=4e1+2e2-33e1-5e2=-5e1+23e2；
（2）由a，b不共线可知ka+2b为非零向量，而8a+kb与ka+2b共线，
所以存在唯一实数λ，使得8a+kb=λka+2b=λka+2λb，
因为a，b不共线，
所以8=λkk=2λ，
解得k=±4.
22．（8分）（2023春·北京昌平·高一期末）如图，在△ABC中，AM=13AB,BN=12BC.设AB=a,AC=b.
(1)用a,b表示BC,MN；
(2)若P为△ABC内部一点，且AP=512a+14b.求证：M,P,N三点共线.
【解题思路】（1）由图中线段的位置及数量关系，用AC,AB表示出BC,MN，即可得结果；
（2）用a,b表示AM+AN，得到AP=λAM+μAN，根据向量共线的结论λ+μ=1即证结论.
【解答过程】（1）由题图，BC=AC-AB=b-a，
MN=BN-BM=12BC+23AB=12(b-a)+23a=12b+16a.
（2）由AM+AN=13AB+AC+CN=13AB+AC-12BC=13a+b-12(b-a)=56a+12b，
又AP=512a+14b，所以AP=12AM+12AN，故M,P,N三点共线.