高考数学第二轮复习专题练习 专题6.7 平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型精讲）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习 专题6.7 平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型精讲）（教师版），共20页。试卷主要包含了平面向量基本定理，平面向量的正交分解及坐标表示，平面向量线性运算的坐标表示，平面向量数量积的坐标表示，平面向量位置关系的坐标表示等内容，欢迎下载使用。

1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，
，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
2．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基
底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.
显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)点的坐标与向量的坐标的关系
3．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和（差）的坐标表示
由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(
+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y).
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
4．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)=
+++.又=1，=1，==0，所以=+.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度（模）的坐标表示
若=(x,y)，则或.
其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||=
.
5．平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用
坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0.
②三点共线的坐标表示
若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=，
​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-).
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.
(2)夹角的坐标表示
设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==.
(3)垂直的坐标表示
设=(,)，=(,)，则+=0.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
【题型1 用基底表示向量】
【方法点拨】
用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底
表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解.
【例1】（2022春·湖南株洲·高一期中）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E为CD中点，AE与BD交于点F，若 AC=a，BD=b，则FE=（ ）
A．112a+14bB．34a+14bC．14a+112bD．14a+34b
【解题思路】根据给定条件，结合平行四边形性质，用a,b表示出FD,DE即可求解作答.
【解答过程】平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，如图，
则OC=12AC=12a,OD=12BD=12b，而点E为CD的中点，
有DE=12DC=12(OC-OD)=14a-14b，由DE//AB得：|FD||BF|=|DE||AB|=12，
则有FD=13BD=13b，
所以FE=FD+DE=13b+14a-14b=14a+112b.
故选：C.
【变式1-1】（2022·浙江·模拟预测）在平行四边形ABCD中，BE=12EC，DF=2FC，设AE=a，AF=b，则AC=（ ）
A．67a+37bB．37a+67b
C．34a+13bD．13a+34b
【解题思路】结合平行四边形的性质及平面向量的基本定理即可求解.
【解答过程】因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC=AB+AD，BC=AD，DC=AB，
因为BE=12EC，DF=2FC，
所以BE=13BC，DF=23DC
所以AE=AB+BE=AB+13BC=AB+13AD，
AF=AD+DF=AD+23DC=AD+23AB,
因为AE=a，AF=b，
所以AB+13AD=aAD+23AB=b，解得 AB=97a-37bAD=97b-67a，
所以AC=AB+AD=97a-37b+97b-67a=37a+67b，
故选：B.
【变式1-2】（2022春·四川绵阳·高一期末）在△ABC中，点D在BC边上，且BD=2DC.设AB=a，AC=b，则AD可用基底a，b表示为（ ）
A．12(a+b)B．23a+13b
C．13a+23bD．13(a+b)
【解题思路】根据向量的加减运算法则、数乘运算即可求解.
【解答过程】因为BD=2DC，所以BD=23BC.
所以AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)
=13AB+23AC=13a+23b，
故选：C.
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，AE与BD交于点F．若AB=a，AD=b，则AF=（ ）
A．14a+34bB．23a+13bC．34a+14bD．13a+23b
【解题思路】设AF=λAE 0