专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.以几何图形为载体，与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理及其应用，凸显直观想象、数学运算、数学建模的核心素养．
2．考查平面向量的加减法、数乘、数量积等坐标运算，凸显数学抽象、数学运算的核心素养．
3．以几何图形为载体，考查向量共线、向量的夹角、向量的模等，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
知识点一
平面向量基本定理
平面向量基本定理
如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
知识点二
平面向量的坐标运算
1. 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2．平面向量的坐标表示
(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．
(2)若，则．
3．平面向量的坐标运算
(1)若，则；
(2)若，则．
(3)设，则，.
知识点三
平面向量共线的坐标表示
向量共线的充要条件的坐标表示
若，则⇔.
知识点四
数量积的坐标运算
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：
1．a·b＝a1b1＋a2b2.
2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0.
3．|a|＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)).
4．csθ＝＝.(θ为a与b的夹角)
常考题型剖析
题型一：平面向量基本定理及其应用
【典例分析】
例1-1.（2023·河北沧州·校考模拟预测）在中，点为与的交点，，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面向量基本定理得到，，从而列出方程组，求出，得到，求出答案.
【详解】因为，所以为中点，
三点共线，故可设，即，
整理得，
因为，所以，即，
三点共线，
可得，
所以，解得，
可得，则，.
故选：B
例1-2.（2022秋·海南·高三校联考期末）已知长方形中，，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点，线段，交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，根据平面向量线性运算及平面共线定理的推论以，结合平面向量基本定理，即可求得的值，从而得结论.
【详解】由题可知，

设
则
,
又
，
所以，解得，所以.
故选：A.
【规律方法】
1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．
2.特别注意基底的不唯一性：
只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
【易错提醒】
平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【变式训练】
变式1-1.（2017·全国高考真题（理））在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=λ AB+μ AD，则λ+μ的最大值为（ ）
A．3 B．22 C．5 D．2
【答案】A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.
设A0,1,B0,0,C2,0,D2,1,Px,y,
易得圆的半径r=25，即圆C的方程是x−22+y2=45，
AP=x,y−1,AB=0,−1,AD=2,0，若满足AP=λAB+μAD，
则x=2μy−1=−λ ，μ=x2,λ=1−y，所以λ+μ=x2−y+1，
设z=x2−y+1，即x2−y+1−z=0，点Px,y在圆x−22+y2=45上，
所以圆心(2,0)到直线x2−y+1−z=0的距离d≤r，即2−z14+1≤25，解得1≤z≤3，
所以z的最大值是3，即λ+μ的最大值是3，故选A.
变式1-2.（2022·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）如图，等腰梯形中，，点为线段中点，点为线段的中点，则（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】连接，根据中位线的性质，结合平面向量的基本运算求解即可.
【详解】连接，
，点为线段中点，点为线段的中点.
.
又.
.

故选：B
题型二：平面向量的坐标运算
例2-1.（2022秋·新疆喀什·高三新疆维吾尔自治区喀什第六中学校考期中）已知向量，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】利用向量线性运算的坐标表示求的坐标即可.
【分析】因为，
所以.
故选：C
例2-2.（2023·全国·高三对口高考）已知向量．若实数k与向量满足，则可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，先求出的坐标，利用建立方程组，找出的关系来判断选项即可.
【详解】设，
因为向量，
所以，
又，
所以，
时不成立，所以，
所以，
选项A，不满足，
选项B，不满足，
选项C，不满足，
选项D，满足，
故选：D.
【规律方法】
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
【变式训练】
变式2-1.（2023·广西·校联考模拟预测）已知和是两个正交单位向量，，且，则（ ）
A．2或3B．2或4C．3或5D．3或4
【答案】B
【分析】根据题意得到，，求得，集合向量模的计算公式，列出方程，即可求解.
【详解】因为和是正交单位向量，，，
可得，所以，解得或.
故选：B．
变式2-2.（辽宁高考真题）在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，则D点的坐标为___________.
【答案】
【解析】
平行四边形中，，
∴，
即点坐标为，故答案为.
题型三：平面向量共线的坐标表示
【典例分析】
例3-1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知，，若，，则x+y=（ ）
A．1B．2C．-1或1D．-2或2
【答案】D
【分析】由平面向量共线的坐标表示计算即可.
【详解】因为，，，所以.
因为，所以，联立解得：或.
所以或.
故选：D
例3-2.（2023·全国·高三对口高考）已知向量．
(1)若，求实数k；
(2)向量满足，且，求．
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）求出的坐标，根据向量共线的坐标表示列式计算，即得答案；
（2）设，表示出的坐标，根据题意列出方程组，即可求得答案.
【详解】（1）由可得，
由可得，解得；
（2）设，则，
因为，且，
故，解得或，
故或.
【规律方法】
平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
【变式训练】
变式3-1.（2022秋·四川绵阳·高三盐亭中学校考阶段练习）已知向量，若三点共线，则实数（）
A．B．C．4D．5
【答案】A
【分析】先求，然后向量共线的坐标表示可得.
【详解】因为，
所以，
.
又三点共线，所以向量与向量共线，所以，解得.
故选：A
变式3-2.（2018·全国高考真题（文））已知向量，，．若，则________．
【答案】
【解析】
由题可得

,即
故答案为
题型四：平面向量数量积的坐标运算
【典例分析】
例4-1．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
例4-2.（2021·北京高考真题），，，则_______；_______．
【答案】0 3
【解析】
根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】
，
，，
.
故答案为：0；3.
例4-3.（2020·天津高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】
，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
【总结提升】
计算向量数量积的三种常用方法
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|csθ(θ是a与b的夹角)．
(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．或通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.
【变式训练】
变式4-1.（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，设，由和可列方程求出点E，再根据数量积坐标运算即可求解.
【详解】建立如图所示直角坐标系：

则，
设，则
且，
，解得，
，
在矩形中，为的中点，
所以，由，
所以，
，
故选：D.
变式4-2.（2023·重庆巴南·统考一模）如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为（ ）

A．B．3C．D．48
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，设，，（），即可得到、，根据数量积的坐标表示得到，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，则、、、，
设，，（），则，
所以，
所以，即，
所以，，
所以
，
又，所以当时取得最小值为.

故选：A
变式4-3.（2019·天津高考真题（理）） 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________.
【答案】.
【解析】
建立如图所示的直角坐标系，则，.
因为∥，，所以，
因为，所以，
所以直线的斜率为，其方程为，
直线的斜率为，其方程为.
由得，，
所以.
所以.
题型五：平面向量的夹角问题
【典例分析】
例5-1．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【详解】因为，所以，
则，，
所以.
故选：B.
例5-2.（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知平面向量，，向量与的夹角为，则（ ）
A．2或B．3或C．2或0D．3或
【答案】A
【分析】利用向量的模的坐标公式求，，根据数量积的坐标公式求，结合夹角公式列方程求
【详解】因为，，
所以，，
所以，
，
又向量与的夹角为，
所以，
所以，
所以或，
故选：A.
例5-3.（2022·天津·统考高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为
【答案】
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出．
【详解】方法一：
，，
，当且仅当时取等号，而，所以．
故答案为：；．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，，
，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．
故答案为：；．
【规律方法】
向量夹角问题的解答方法：
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；
(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cs〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
提醒：〈a，b〉∈[0，π]．
【变式训练】
变式5-1.（2022·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
变式5-2.（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，得，从而可求得，再根据即可得解.
【详解】由，得，
即，所以，
则，
，
则，
又，所以，
即向量与的夹角为.
故选：D.
变式5-3.（2019·全国高考真题（文））已知向量，则___________.
【答案】
【解析】
．
题型六：平面向量的模的问题
【典例分析】
例6-1．（2023·北京·统考高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量满足，
所以.
故选：B
例6-2.（2023春·江西宜春·高三江西省宜春中学校考阶段练习）平面向量与的夹角为，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】转化为平面向的数量积可求出结果.
【详解】因为，所以，
.
故选：B
例6-3.（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】采用向量的坐标运算，得到所求模长之和的几何意义，将问题转化为单位圆上的点到和两点的距离之和的最小值的求解问题，由此计算得到结果.
【详解】均为单位向量且，不妨设，，且，
，，
，
的几何意义表示的是点到和两点的距离之和的2倍，
点在单位圆内，点在单位圆外，
则点到和两点的距离之和的最小值即为和两点间距离，
所求最小值为.
故答案为：.
【规律方法】
平面向量模问题的类型及求解方法
(1)求向量模的常用方法
①若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝eq \r(x2＋y2).
②若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
(2)求向量模的最值(范围)的方法
①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．
②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
（3）利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．
【变式训练】
变式6-1.（2019·全国高考真题（文））已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=（ ）
A．B．2
C．5D．50
【答案】A
【解析】
由已知，，
所以，
故选A
变式6-2.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，若，则实数的值为（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】D
【分析】利用向量的数量积的坐标表示及向量的模公式，结合向量数量积的运算律即可求解.
【详解】因为，
所以.
因为，
所以，即，
所以，解得,
所以实数的值为.
故选:D.
变式6-3.（2023·上海·高三专题练习）如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】建立平面直角坐标系，设，求得相关点坐标，求出的表达式，结合二次函数的性质即可求得答案.
【详解】由在直角梯形中．，
则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系，
设，设，则，
故，
所以，故，
当且仅当即时取得等号，
即的最小值为4，
故答案为：4
题型七：平面向量垂直的条件及其应用
【典例分析】
例7-1．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
例7-2.（2024秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知向量，，，若，则（ ）
A．B．C．3D．0
【答案】B
【分析】利用向量线性运算的坐标表示和向量垂直的坐标表示，列方程求的值.
【详解】，
，则有，解得.
故选：B
例7-3.（2022·陕西西安·统考模拟预测）若向量，不共线，且，则 .
【答案】
【分析】根据向量运算的坐标公式及向量垂直和共线的坐标表示列方程求，再根据数量积的坐标运算公式求.
【详解】因为向量，，
所以，
因为，
所以，
所以或，
又向量，不共线，
所以，所以，
所以，即，
所以，
故答案为：.
【规律方法】
平面向量垂直问题的类型及求解方法
(1)判断两向量垂直
第一，计算出这两个向量的坐标；
第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
(2)已知两向量垂直求参数
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
【变式训练】
变式7-1.（2019秋·西藏拉萨·高三拉萨中学校考阶段练习）已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的坐标运算和向量共线、垂直的条件逐项进行检验即可求解.
【详解】对于A，因为，，所以，
则，所以，故选项A正确；
对于B，因为，，所以，则不存在实数λ使得，所以与不共线，故选项B错误；
对于C，因为，，且不存在实数λ使得，所以与不共线，故选项C错误；
对于D，因为，，且，所以与不垂直，故选项D错误；
故选：A.
变式7-2.（2022·全国·统考高考真题）已知向量．若，则 ．
【答案】/
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知：，解得.
故答案为：.
变式7-3.（2023·全国·高三对口高考）已知点，若线段的中点坐标为，且与垂直，则 ．
【答案】
【分析】根据点，且线段的中点坐标为，求得点B的坐标，进而得到的坐标，再由与垂直求解.
【详解】设，
因为点，且线段的中点坐标为，
所以 ，解得，则 ，
所以 ，
又因为与垂直，
所以，
解得，
故答案为：
题型八：平面向量与三角函数的交汇
【典例分析】
例8-1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知平面向量，满足，若，，则，的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，的夹角为，由数量积的定义和模长公式求解即可.
【详解】设，的夹角为，，则，
由可得：，则，
所以，解得：.
因为，故.
故选：D.
例8-2.（2023·全国·高三对口高考）已知向量．
(1)若，求；
(2)，求的最大值及单调增区间．
【答案】(1)；
(2)的最大值为，单调递增区间为．
【分析】（1）由向量平行的坐标表示化简，结合可得；
（2）根据数量积的坐标表示，利用二倍角和辅助角公式化简，然后由正弦函数的性质可得.
【详解】（1）因为，，
所以，
因为，所以，所以，解得.
（2）
因为，所以，
当，即时，取得最大值.
由解得，所以的单调递增区间为．
【变式训练】
变式8-1.（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知向量，，记向量与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据数量积、模的坐标表示求出、、，即可求出，再由二倍角公式计算可得.
【详解】因为，，所以，，
，
所以，则.
故选：D
变式8-2.（2022·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知向量 ​，设函数​
(1)求 ​的最小正周期.
(2)求函数 ​的单调递减区间.
(3)求​在​上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为 1，最小值为
【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，结合三角恒等变换即可化简，由周期公式即可求解，
（2）利用整体法即可求解，
（3）根据得，即可结合三角函数的性质求解.
【详解】（1）由已知可得: ​
所以.
（2）由​，
可得，
​的单调递减区间为​.
（3）,
​，
​的最大值为 1 ，最小值为​.
一、单选题
1．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知向量，若，则实数（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标表示求参数.
【详解】，
因为，所以，解得.
故选：B
2.（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．0D．3
【答案】A
【分析】求出，利用向量垂直列出方程，求出答案.
【详解】因为，由，得，所以．
故选：A．
二、多选题
3．（2022·全国·高三专题练习）设向量，，则下列叙述错误的是( )
A．若时，则与的夹角为钝角B．的最小值为
C．与共线的单位向量只有一个为D．若，则或
【答案】CD
【分析】利用向量的运算的坐标表示，判断选项正误.
【详解】对于A，时，且不等于-1，所以与的夹角为钝角，故A正确；
对于B，，当时不等式取等号，所以的最小值为 2，所以B正确；
对于C，与共线的单位向量为，即或，所以C不正确；
对于D，若，可得，解得或，所以D不正确；
故选：CD．
4．（2023·山东滨州·统考二模）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若∥，则
C．若，则D．若，则向量，的夹角为钝角
【答案】BD
【分析】由向量模的计算公式判断A；由共线向量的坐标运算判断B；由向量垂直时数量积为0判断C；由向量的数量积判断D.
【详解】解：对于A，因为，，所以， ，解得或，故A错误；
对于B，因为∥，所以，解得，故B正确；
对于C，因为，所以，解得，故C错误；
对于D，当时，，，又因为此时，不共线，所以向量，的夹角为钝角，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
5．（2023·山东威海·统考二模）已知向量，，，若，则t＝ ．
【答案】
【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示可得，结合向量数量积的坐标公式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
因为，
所以，解得，
即t的值为.
故答案为: .
6．（2023·山东烟台·统考二模）已知向量，则与夹角的大小为 ．
【答案】
【分析】根据题意可得，结合平面向量数量积的定义计算即可求解.
【详解】由，得，
由，得，
即，得，
所以，又，
所以，即与的夹角为.
故答案为：.
7．（2023·全国·高三对口高考）已知点，若与的夹角是，，则点B坐标为 ．
【答案】
【分析】由向量与的夹角是，知向量与方向相反，设，则，，则， ，解得，得到答案.
【详解】由向量与的夹角是，
所以向量与方向相反，
设，则，，
则，
故，
所以，
故，由，
所以，故.
故答案为：.
8.（2020·全国高考真题（文））设向量，若，则______________.
【答案】5
【解析】
根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
【详解】
由可得，
又因为，
所以，
即，
故答案为：5.
9．（2018·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l:y=2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若AB⋅CD=0，则点A的横坐标为________．
【答案】3
【解析】
设A(a,2a)(a>0)，则由圆心C为AB中点得C(a+52,a),易得⊙C:(x−5)(x−a)+y(y−2a)=0，与y=2x联立解得点D的横坐标xD=1,所以D(1,2).所以AB=(5−a,−2a),CD=(1−a+52,2−a)，
由AB⋅CD=0得(5−a)(1−a+52)+(−2a)(2−a)=0,a2−2a−3=0,a=3或a=−1，
因为a>0，所以a=3.
10．（2023·广西·统考模拟预测）已知向量，则向量的夹角的余弦值为 .
【答案】/0.6
【分析】根据给定的坐标，求出向量的数量积及模，再求出夹角余弦作答.
【详解】因为向量，则，，
所以向量的夹角的余弦值为.
故答案为：
11．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知向量，，，满足，且，，则＝ ．
【答案】
【分析】先根据求出，再建立坐标系，根据与建立方程求出或，从而可得答案.
【详解】，
所以，，
以向量的起点为原点，向量的方向为轴正方向，建立如图所示的坐标系，
不妨设，
则，，设

∵，
所以或，
或，
则或，
故答案为：．
12.（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上移动，设，则最大值是 .
【答案】4
【分析】建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程，设出，求出三个向量的坐标，用P的坐标表，则，根据直线AP:与有交点,求出范围．
【详解】解：以为原点，分别以方向为轴，建立如图所示直角坐标系：
所以，，，，所以，，
因为圆与直线相切，而，圆心，
所以半径，所以圆：，
设,则，，
又
所以，则，所以
所以表示坐标原点A与点P两点之间连线的斜率的2倍，
因为动点在圆上移动，所以直线AP:与有交点，
则圆心到的距离为
解得:，则
所以，则最大值是4.
故答案为：4．