高考数学第二轮复习专题练习 专题6.7 平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型精讲）（学生版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习 专题6.7 平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型精讲）（学生版），共10页。试卷主要包含了平面向量基本定理，平面向量的正交分解及坐标表示，平面向量线性运算的坐标表示，平面向量数量积的坐标表示，平面向量位置关系的坐标表示等内容，欢迎下载使用。

1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，
，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
2．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基
底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.
显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)点的坐标与向量的坐标的关系
3．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和（差）的坐标表示
由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(
+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y).
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
4．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)=
+++.又=1，=1，==0，所以=+.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度（模）的坐标表示
若=(x,y)，则或.
其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||=
.
5．平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用
坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0.
②三点共线的坐标表示
若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=，
​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-).
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.
(2)夹角的坐标表示
设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==.
(3)垂直的坐标表示
设=(,)，=(,)，则+=0.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
【题型1 用基底表示向量】
【方法点拨】
用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底
表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解.
【例1】（2022春·湖南株洲·高一期中）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E为CD中点，AE与BD交于点F，若 AC=a，BD=b，则FE=（ ）
A．112a+14bB．34a+14bC．14a+112bD．14a+34b
【变式1-1】（2022·浙江·模拟预测）在平行四边形ABCD中，BE=12EC，DF=2FC，设AE=a，AF=b，则AC=（ ）
A．67a+37bB．37a+67b
C．34a+13bD．13a+34b
【变式1-2】（2022春·四川绵阳·高一期末）在△ABC中，点D在BC边上，且BD=2DC.设AB=a，AC=b，则AD可用基底a，b表示为（ ）
A．12(a+b)B．23a+13b
C．13a+23bD．13(a+b)
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，AE与BD交于点F．若AB=a，AD=b，则AF=（ ）
A．14a+34bB．23a+13bC．34a+14bD．13a+23b
【题型2 平面向量基本定理的应用】
【方法点拨】
结合题目条件，利用平面向量基本定理进行转化求解即可.
【例2】（2022春·山东·高一阶段练习）已知G是△ABC的重心，点D满足BD=DC，若GD=xAB+yAC，则x+y为（ ）
A．13B．12C．23D．1
【变式2-1】（2022秋·河南·高三阶段练习）在△ABC中，D为边BC的中点，E在边AC上，且EC=2AE，AD与BE交于点F，若CF=λAB+μAC，则λ+μ=（ ）
A．-12B．-34C．12D．34
【变式2-2】（2022春·内蒙古赤峰·高一期末）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若ED=xAB+yADx,y∈R，则x-y等于（ ）
A．1B．-1C．12D．-12
【变式2-3】（2022秋•安徽期末）已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若AE→=λAB→+μAD→，则λ+μ＝（ ）
A．12B．13C．14D．1
【题型3 平面向量的坐标运算】
【方法点拨】
(1)向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，
则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用.
(2)利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解.
【例3】（2022秋·新疆喀什·高一阶段练习）若a=(3,2),b=(0,-1)，则4a+3b的坐标为（ ）
A．(5,12)B．(12,6)C．(12,5)D．(-12,-5)
【变式3-1】（2022·高二课时练习）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线.若AD=2,4，AC=1,3，则BD=（ ）
A．-2,4 B．-3,-5 C．3,5 D．-3,-7
【变式3-2】（2022春·广西南宁·高一期末）已知向量a=(-1,2),b=(3,-5)，则3a+2b等于（ ）
A．(3,-4)B．(0,-4)C．(3,6)D．(0,6)
【变式3-3】（2022春·河南平顶山·高一期末）已知向量a=2,-1，b=1,6，c=7,3，则c可用a与b表示为（ ）
A．3a+bB．a+3bC．3a+2bD．3a-b
【题型4 向量共线、垂直的坐标表示】
【方法点拨】
向量共线、垂直的坐标表示的应用有两类：一是判断向量的共线（平行）、垂直；二是根据向量共线、垂
直来求参数的值；根据题目条件，结合具体问题进行求解即可.
【例4】（2022秋·河南南阳·高二开学考试）在平面直角坐标系中，已知a=(1,-2),b=(3,4)．
(1)若(3a-b)∥(a+kb)，求实数k的值；
(2)若(a-tb)⊥b，求实数t的值．
【变式4-1】（2022春·广东潮州·高一期中）已知a=1,0,b=2,1
（1）当k为何值时，ka-b与a+2b垂直
（2）若AB=2a+3b,BC=a+mb，且A､B､C三点共线，求m的值．
【变式4-2】（2023·高一单元测试）已知a=1,2，b=-3,2．
(1)当k为何值时，ka+b与a-3b垂直？
(2)当k为何值时，ka+b与a-3b平行？
【变式4-3】（2022秋·河南开封·高三阶段练习）已知向量a=3,2，b=x,-1
(1)当2a-b⊥b，求x的值；
(2)当c=-8,-1，a∥b+c，求向量a与b的夹角α
【题型5 向量坐标运算与平面几何的交汇】
【方法点拨】
利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向
量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直角坐
标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决.
【例5】（2022春·吉林长春·高一阶段练习）如图，已知O是平面直角坐标系的原点，∠OAB=∠ABC=120∘，|OA|=|BC|=2|AB|=4．
(1)求AB坐标；
(2)若四边形ABCD为平行四边形，求点D坐标．
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD中，EC=2DE，FC=2BF，FG=2GE.
(1)用AB，AD表示AG；
(2)若AB=6，AD=32，∠BAD=45°，如图建立直角坐标系，求GB和DF的坐标.
【变式5-2】（2022春·浙江杭州·高一期中）已知半圆圆心为O点，直径AB=2，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)若PA=34CA-14CB，求PA与CB夹角的大小；
(3)试求点P的坐标，使PA⋅PO取得最小值，并求此最小值．
【变式5-3】（2022春·江苏镇江·高一期中）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0),C(1,3)，点M满足OM=12OA，点P在线段BC上运动（包括端点），如图所示．
(1)求与OC共线的单位向量a的坐标；
(2)求∠OCM的余弦值；
(3)是否存在实数λ，使(OA-λOP)⊥CM?若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
【题型6 向量坐标运算与三角函数的交汇】
【方法点拨】
先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表
示、平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再
利用三角函数的相关知识求解即可.
【例6】（2022秋·江苏盐城·高三期中）已知O为坐标原点，OA=(1,3),OB=(csα,sinα)．
(1)若α=π3，求|OA+OB|；
(2)若α∈0,π2，求OA⋅OB的取值范围．
【变式6-1】（2022秋·河南信阳·高三阶段练习）已知向量a=2,1,b=csθ,sinθ.
(1)若a⊥b，求3csθ+sinθcsθ-sinθ的值；
(2)求a⋅b的最大值及a⋅b取得最大值时角θ的余弦值.
【变式6-2】（2022秋·甘肃张掖·高三阶段练习）已知a=(sinx+csx,2csθ)，b=(2sinθ,12sin2x)．
(1)若c=-3，4，且x=π4，θ∈(0,π)时，a与c的夹角为钝角，求csθ的取值范围；
(2)若θ=π3，函数fx=a⋅b，求fx的最小值．
【变式6-3】（2022秋·江苏镇江·高三期中）已知向量a=csx,sinx,b=3,-3,x∈0,π.
(1)若a+b∥b，求x的值；
(2)记fx=a⋅b，求函数fx的图象向右平移π3个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，得到函数gx的图象，求函数gx的值域.