高考数学第二轮复习专题练习 专题6.6 向量的数量积（重难点题型检测）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习 专题6.6 向量的数量积（重难点题型检测）（教师版），共15页。
1．（3分）（2022秋·福建泉州·高二期末）关于平面向量a,b,c，下列说法正确的是（ ）
A．若a⋅c=b⋅c，则a=bB．(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c
C．若a2=b2，则a⋅c=b⋅cD．(a⋅b)⋅c=(b⋅c)⋅a
【解题思路】利用向量垂直及数量积的定义可判断A，根据平面向量数乘的分配律即可判断B，利用数量积的定义可判断CD．
【解答过程】对于A，若c和a，b都垂直，显然a，b至少在模的方面没有特定关系，所以命题不成立；
对于B，这是平面向量数乘的分配律，显然成立；
对于C，若a2=b2，则a=b，a⋅c=a⋅ccsa,c,b⋅c=b⋅ccsb,c，
而csa,c与csb,c不一定相等，所以命题不成立；
对于D，a⋅b⋅c与a⋅b⋅c分别是一个和c，a共线的向量，显然命题a⋅b⋅c=a⋅b⋅c不一定成立．
故选：B．
2．（3分）（2022春·山东·高三阶段练习）设非零向量a，b满足a=2b，a+b=3b，则向量a在b方向上的投影向量（ ）
A．-bB．bC．-aD．a
【解题思路】设a,b的夹角为α，求出csα=-12即得解.
【解答过程】解：设a,b的夹角为α，
由a+b=3b得a2+b2+2a·b=3b2,∴4b2+b2+4b2csα=3b2,∴csα=-12.
所以向量a在b方向上的投影向量为|a|csα⋅b|b|=2|b|×-12×b|b|=-b.
故选：A.
3．（3分）（2022春·青海西宁·高三期中）已知向量a，b满足a=1，b=3，且a，b的夹角为30°，则a-2b=（ ）
A．3B．7C．7D．3
【解题思路】计算出a⋅b=32，再根据a-2b=a-2b2计算出结果.
【解答过程】由题意得：a⋅b=a⋅bcs30°=3×32=32，
所以a-2b=a-2b2=a2-4a⋅b+4b2=1-6+4×3=7.
故选：C.
4．（3分）（2022秋·河南商丘·高一期末）已知a→=1，b→=2，c→=4，a→,b→的夹角θ=π3，则a→-c→⋅b→-c→的最大值为（ ）
A．17+47B．12+85C．18-25D．20-37
【解题思路】设a→+b→，c→的夹角为α，进而由题知a→+b→=7，a→-c→⋅b→-c→=17-47csα，再结合三角函数性质求解即可.
【解答过程】解：设a→+b→，c→的夹角为α.
因为a→=1，b→=2，a→,b→的夹角θ=π3，
所以a→+b→2=1+2a→⋅b→+4=5+2×2×csπ3=7，即a→+b→=7，
所以a→-c→⋅b→-c→=a→⋅b→-a→+b→⋅c→+c→2=2×csπ3-a→+b→⋅c→csα+16 =17-47csα≤17+47.
当且仅当csα=-1时等号成立.
故选：A.
5．（3分）（2022春·山东青岛·高二阶段练习）已知向量c=a+tb(t∈R)，若a=1，b=2，当且仅当t=-14时，c取得最小值，则向量a与b的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【解题思路】设向量a与b的夹角为θ，结合已知条件计算c2=a+tb2=a+tb2进而可得c，再由二次函数的性质可得c取得最小值的条件，结合θ的范围即可求解.
【解答过程】因为c=a+tb，a=1，b=2，设向量a与b的夹角为θ，
所以c2=a+tb2=a+tb2=a2+t2b2+2tabcsθ
=4t2+4tcsθ+1=4t+csθ22+1-cs2θ，
所以c=4t+csθ22+1-cs2θ，
又因为当且仅当t=-14时，c最小，即-14+csθ2=0，
所以csθ=12，因为0≤θ≤π，所以θ=π3，
故选：B.
6．（3分）（2022春·河北张家口·高三期中）已知△ABC中，AB=AC=2,A=2π3，设点M，N满足AM=λAB,AN=(1-λ)AC，λ∈R，若BN⋅CM=6，则λ=（ ）
A．2B．3C．2或3D．-2或3
【解题思路】首先用基底AB,AC表示BN,CM，代入数量积公式，即可求解.
【解答过程】BN=AN-AB=1-λAC-AB,CM=AM-AC=λAB-AC,
所以BN⋅CM=1-λAC-ABλAB-AC
=1-λ⋅λ⋅AB⋅AC-1-λ⋅AC2-λ⋅AB2+AB⋅AC
=1-λ⋅λ⋅22⋅-12-41-λ-4λ+22⋅-12
=2λ2-2λ-6,
即2λ2-2λ-6=6⇔λ2-λ-6=0
解得：λ=-2或λ=3.
故选：D.
7．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知向量a,b,c满足a=1,2a+b=0,2c-a=c-b，则向量c-b与a夹角的最大值是（ ）
A．π12B．π6C．π4D．π3
【解题思路】根据题意化简得到(c-b)2-8a⋅c-b+12=0，得到a⋅c-b=(c-b)2+128，结合向量的夹角公式和基本不等式，即可求解.
【解答过程】由题意知2c-a=c-b，可得2c-b+b-a=c-b，
又由b=-2a，可得2c-b-3a=c-b，
则4(c-b)2-6a⋅c-b+9a2=(c-b)2，
即(c-b)2-8a⋅c-b+12=0，即a⋅c-b=(c-b)2+128，
所以csa,(c-b)=a⋅c-bac-b=(c-b)2+128c-b≥212(c-b)28c-b=32，
当且仅当(c-b)2=12时，等号成立，
所以向量c-b与a夹角的最大值是π6.
故选：B.
8．（3分）（2022秋·浙江·高一期中）已知平面向量a,b满足|a|=2，|b|=3，且|xa+(1-2x)b|(x∈R)的最小值32，则|a+yb|(y∈R)的最小值为（ ）
A．32B．1C．2D．1或2
【解题思路】设f(x)=|xa+(1-2x)b|2，a⋅b=t，则f(x)=(16-4t)x2+(2t-12)x+3，由f(x)的最小值为34，得4×(16-4t)×3-(2t-12)24×(16-4t)=34，且16-4t>0，解得t=0或t=3，然后分2种情况考虑|a+yb|(y∈R)的最小值，即可得到本题答案.
【解答过程】设f(x)=|xa+(1-2x)b|2，a⋅b=t，
则f(x)=a2⋅x2+2x(1-2x)a⋅b+(1-2x)2b2
=4x2+2x(1-2x)t+31-4x+4x2
=(16-4t)x2+(2t-12)x+3，
因为|xa+(1-2x)b|(x∈R)的最小值32，
所以f(x)的最小值为34，
则4×(16-4t)×3-(2t-12)24×(16-4t)=34，且16-4t>0，
解得t=0或t=3，
当t=0，即a⋅b=0时，
|a+yb|=4+2ya⋅b+3y2=4+3y2≥2，
所以|a+yb|(y∈R)的最小值为2；
当t=3，即a⋅b=3时，
|a+yb|=4+2ya⋅b+3y2=3y2+6y+4=3(y+1)2+1≥1，
所以|a+yb|(y∈R)的最小值为1，
综上，|a+yb|(y∈R)的最小值为1.
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·辽宁·校联考二模）下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的有（ ）．
A．a+b⋅c=a⋅c+b⋅cB．a-b≤a+b
C．a⋅b≤a⋅bD．a⋅b⋅c=a⋅b⋅c
【解题思路】由数量积的运算律，向量模的几何意义，数量积的定义判断各选项．
【解答过程】A是向量数量积中乘法与加法的分配律，A正确；
B．设OA=a，OB=b，则a-b=BA，O,A,B三点不共线时，OA+OB>AB，
所以a-b