高考数学第二轮复习专题练习 专题6.1 平面向量的概念（重难点题型精讲）（学生版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习 专题6.1 平面向量的概念（重难点题型精讲）（学生版），共8页。试卷主要包含了向量的概念，向量的表示法，向量的有关概念，相等向量等内容，欢迎下载使用。

1．向量的概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
注：
①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
2．向量的表示法
(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量的表示方法:
①字母表示法：如等.
(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
注：
①用字母表示向量便于向量运算；
②用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
3．向量的有关概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
注：
①向量的模．
②向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
注：
①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
②将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4．相等向量:长度相等且方向相同的向量.
注：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
4．向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.
注：
①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别.
②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
5．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.
【题型1 向量的基本概念】
【方法点拨】
根据向量的基本概念，进行求解即可.
【例1】（2022秋·广东珠海·高一期中）给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．
其中不是向量的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式1-1】（2022·全国·高一专题练习）以下选项中，都是向量的是（ ）
A．正弦线、海拔B．质量、摩擦力
C．△ABC的三边、体积D．余弦线、速度
【变式1-2】（2022秋·福建·高一阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．长度为0的向量叫做零向量
B．零向量与任意向量都不平行
C．平行向量就是共线向量
D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量
【变式1-3】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量CD与向量DC长度相等
B．单位向量都相等
C．向量的模可以比较大小
D．任一非零向量都可以平行移动
【题型2 向量的几何表示与向量的模】
【方法点拨】
第一步：已给定向量的起点、方向和长度；
第二步：在坐标纸上找准方向、长度；
第三步：画出对应的向量.
【例2】（2022秋·高一课时练习）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量AB,BC,CD；
（2）求|AD|．
【变式2-1】（2022·高一课时练习）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)OA=3，点A在点O北偏西45°方向；
(2)OB=22，点B在点O正南方向．
【变式2-2】（2022·高一课时练习）已知飞机从A地按北偏东30∘方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30∘方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行10002km到达D地．画图表示向量AB,BC,CD，并指出向量AD的模和方向．
【变式2-3】（2022·高一课时练习）在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求终点的坐标
（1）a=2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°；
（2）a=4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；
（3）a=42，a的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是135°.
【题型3 向量相等或共线】
【方法点拨】
判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合；判断两向量是否相等不仅要看两向量
所在的直线是否平行或重合，还要看两向量的模是否相等、方向是否相同.
【例3】（2022·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若AB与CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
【变式3-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E、F分别在两腰AD、BC上，EF过点P，且EF//AB，则下列等式中成立的是（ ）
A．AD=BCB．AC=BD
C．PE=PFD．EP=PF
【变式3-2】（2022秋·全国·高一期末）如图，在正△ABC中，D,E,F均为所在边的中点，则以下向量和FC相等的是（ ）
A．EFB．BEC．DFD．ED
【变式3-3】（2022秋·湖北十堰·高一期中）在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则（ ）
A．AB与AC共线B．DE与CB共线
C．CD与AE相等D．AD与BD相等
【题型4 用向量关系研究几何图形的性质】
【方法点拨】
(1)证明或判断线段相等，只需证明或判断相应向量的长度(模)相等.
(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不重合.
【例4】（2022·高一课时练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点.
(1)写出与向量FC共线的向量；
(2)求证：BE=FD.
【变式4-1】（2022·高一课时练习）已知点E，F，G，H分别是平面四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：EF=HG．
【变式4-2】（2022·江苏·高一专题练习）如图，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，AB=DC且CN=MA，求证：DN=MB.
【变式4-3】（2022·高一课时练习）如图，已知在四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又AB=DC.求证：CN=//MA.