高考数学第二轮复习专题练习专题6.8 计数原理全章综合测试卷（基础篇）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习专题6.8 计数原理全章综合测试卷（基础篇）（教师版），共11页。
1．（5分）（2022秋·福建龙岩·高二阶段练习）某校开设A类选修课4门,B类选修课3门,一同学从中选1门,则该同学的不同选法共有（ ）
A．7种B．12种C．4种D．3种
【解题思路】根据题意求出所有的可能性即可选出结果.
【解答过程】解:由题知某校开设A类选修课4门,B类选修课3门,
共7门,
故该同学的不同选法共有7种.
故选:A.
2．（5分）（2022春·云南昆明·高二阶段练习）若3An3-6An2=4Cn+12，则n=（ ）
A．5B．8C．7D．6
【解题思路】直接根据排列数公式和组合数公式列式解方程即可得答案.
【解答过程】解：∵3An3-6An2=4Cn+12，
∴3nn-1n-2-6nn-1=4×n+1n2，
即3n-1n-2-6n-1=2n+2，
求得n=5，或n=23（舍去），
故选：A.
3．（5分）（2022秋·吉林长春·高二阶段练习）已知n，m为正整数，且n≥m，则在下列各式中，正确的个数是（ ）
①A63=120；②A127=C127⋅A77；③Cnm+Cn+1m=Cn+1m+1；④Cnm=Cnn-m
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据组合数的性质及排列数公式计算可得.
【解答过程】解：对于①A63=6×5×4=120，故①正确；
对于②因为C127=A127A77，所以A127=C127⋅A77，故②正确；
对于③因为Cnm+Cnm-1=Cn+1m，故③错误；
对于④Cnm=Cnn-m，故④正确；
故选：C.
4．（5分）（2023秋·北京·高二期末）在3x-2x8的展开式中，常数项为（ ）
A．-112B．112C．-1120D．1120
【解题思路】求出3x-2x8的通项公式，令 8-4r3=0，求得 r=2, 即可得展开式的常数项.
【解答过程】二项式 3x-2x8 的展开式的通项公式为 Tr+1=C8r⋅x8-r3⋅(-2)r⋅x-r=(-2)r⋅C8r⋅x8-4r3
令 8-4r3=0, 求得 r=2, 可得展开式的常数项为 4C82=112.
故选: B.
5．（5分）（2022春·江西抚州·高二期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为a1，第3行的第3个数字为a2,⋯，第n(n≥2)行的第3个数字为an-1，则a1+a2+a3+⋯+a9=（ ）
A．165B．180C．220D．236
【解题思路】根据杨辉三角及二项式系数的性质确定a1，…，a9，再应用组合数的运算性质求结果.
【解答过程】由题意得，a1=C22,a2=C32,a3=C42,⋯,a9=C102，
则a1+a2+a3+⋯+a9=C22+C32+C42+⋯+C102=C113=165.
故选：A.
6．（5分）（2023·全国·高三专题练习）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ）
A．480B．600C．720D．840
【解题思路】利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式计算作答.
【解答过程】依题意，按安徽与陕西涂的颜色相同和不同分成两类：
若安徽与陕西涂同色，先涂陕西有5种方法，再涂湖北有4种方法，涂安徽有1种方法，涂江西有3种方法，
最后涂湖南有3种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案5×4×1×3×3=180种，
若安徽与陕西不同色，先涂陕西有5种方法，再涂湖北有4种方法，涂安徽有3种方法，
涂江西、湖南也各有3种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案5×4×3×3×3=540 种方法，
所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有180+540=720种.
故选：C.
7．（5分）（2023秋·湖南怀化·高三期末）已知Cn1011=Cn1012，设2x-3n=a0+a1x-1+a2x-12+⋯+anx-1n，下列说法：
①n=2023，②an=-32023，③a0+a1+a2+⋯+an=1，④展开式中所有项的二项式系数和为1.
其中正确的个数有（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】根据组合数的性质求得n，根据二项式展开式的通项公式、赋值法、二项式系数和的知识求得正确答案.
【解答过程】n=1011+1012=2023，①对.
(2x-3)2023=2x-1-12023=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+⋯+a2023(x-1)2023，
所以an=a2023=C20230⋅22023=22023，②错.
令x=2得a0+a1+a2+⋯+an=1，③对.
展开式中所有项的二项式系数和为22023，④错.
所以正确的说法有2个.
故选：C.
8．（5分）2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（ ）
A．36B．81C．120D．180
【解题思路】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，再将4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，最后根据分步乘法原理求解即可.
【解答过程】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，有C51=5种不同的选派方案，
再将剩下的4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，
有C42A33=6×6=36种不同的选派方案，
所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有C51C42A33=5×36=180种.
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022秋·吉林长春·高二阶段练习）（多选）C9896+2C9895+C9894=（ ）
A．C9997B．C992C．C10096D．C1004
【解题思路】由组合数的性质即可求得答案.
【解答过程】C9896+2C9895+C9894=C982+2C983+C984=C982+C983+C983+C984
=C993+C994=C1004=C10096.
故选：CD．
10．（5分）（2022春·广东佛山·高二期中）现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是（ ）
A．只需1人参加，有16种不同选法
B．若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法
C．若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法
D．若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法
【解题思路】根据分类计数原理和分步计数原理依次讨论各选项即可求解.
【解答过程】解：选项A，分三类：取老师有3种选法，取男生有8种选法，取女生有5种选法，故共有3+8+5=16种选法，故A正确；
选项B，分三步：第一步选老师，第二步选男生，第三步选女生，
故共有3×8×5=120种选法，故B正确；
选项C，分两步：第一步选老师，第二步选学生，第二步，又分为两类：第一类选男生，第二类选女生，故共有3×8+5=39种选法，故C正确；
选项D，若需3名老师和1名学生参加，则有13种不同选法，故D错误.
故选：ABC.
11．（5分）（2022·高二课时练习）甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排．（ ）
A．若甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
B．若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法有42种
C．甲、乙不相邻的排法有82种
D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
【解题思路】利用捆绑法可判断A；分别算出甲在最左端时以及乙在最左端时的排法数，可判断B;用插空法可判断C；先从5个位置中选2个位置安排丁、戊两人，再把甲、乙、丙按从左到右的顺序排在剩下的3个位置中，计算排法数，可判断D.
【解答过程】对于A，甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,把甲、乙看作一个人，两人只有一种排法，然后与其他人全排列，排法共有A44=24（种），A正确；
对于B，甲在最左端时，排法有A44=24（种），乙在最左端时，排法有A31A33=18（种），排法共有24+18=42（种），B正确；
对于C，先排除甲、乙外的其他三人，再把甲、乙排进三人中间及两端的4个位置中，排法共有A33A42=72（种），C错误；
对于D，先从5个位置中选2个位置安排丁、戊两人，再把甲、乙、丙按从左到右的顺序排在剩下的3个位置中，排法共有A52=20（种），D正确．
故选：ABD．
12．（5分）若二项式x+2xn的展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ）
A．二项展开式中各项系数之和为35B．二项展开式中二项式系数最大的项为160x32
C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为240
【解题思路】由二项式系数和求得n，令x＝1可求得各项系数之和即可判断A，由二项式系数的性质可得二项式系数最大的项即可判断B，由展开式的通项中x的指数确定有无常数项即可判断C，列不等式组求得系数最大的项即可判断D．
【解答过程】因为二项式x+2xn的展开式中二项式系数之和为64，
所以2n=64，得n=6，所以二项式为x+2x6，
则二项式展开式的通项Tr+1=C6rx6-r(2x)r=C6r2rx6-32r，
对于A，令x=1，可得二项展开式中各项系数之和为36，故A错误；
对于B，第4项的二项式系数最大，此时r=3，则二项展开式中二项式系数最大的项为T4=C6323x6-32×3=160x32，故B正确；
对于C，令6-32r=0，则r=4，所以二项展开式中的常数项为T5=C6424=240，故C错误；
对于D，令第r+1项的系数最大，则C6r2r≥C6r-12r-1C6r2r≥C6r+12r+1，解得113≤r≤143，
因为r∈N，所以r=4，则二项展开式中系数最大的项为T5=C6424x6-32×4=240，所以D正确，
故选：BD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023·高二课时练习）有四位学生参加三项竞赛，要求每位学生必须参加其中一项竞赛，有
81 种参赛情况．
【解题思路】根据分步乘法原理求解即可.
【解答过程】解：根据乘法分步原理，每位学生都有三种选择方案，故有34=81种.
故答案为：81.
14．（5分）（2023秋·湖北·高三期末）1+xx-1x4的展开式中，常数项为 6 .
【解题思路】根据乘法分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【解答过程】二项式x-1x4展开式的通项公式为C4r⋅x4-r⋅-x-1r=-1r⋅C4r⋅x4-2r，
令4-2r=0，解得r=2；令4-2r=-1，则r无自然数解.
所以1+xx-1x4展开式中的常数项为1×-12×C42×x0=6.
故答案为：6.
15．（5分）（2022秋·云南·高三期中）若x-25=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a2+a4=
-122 .
【解题思路】根据赋值法即可求解奇数项的系数和.
【解答过程】令x=1得，a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1，
令x=-1得，a0-a1+a2-a3+a4-a5=-243，两式相加得a0+a2+a4=-122.
故答案为：-122.
16．（5分）（2022秋·辽宁沈阳·高二阶段练习）将5名志愿者分配到世界杯的3个不同体育场进行志愿者服务，每名志愿者分配到1个体育场，每个体育场至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有 150 种．
【解题思路】5名志愿者分成三个小组, 有2，2，1和1，1，3两种分法，分别求出两种分组方法对应的方案数即可得总的分配方案数.
【解答过程】将5名志愿者分成三个小组，
有2，2，1和1，1，3两种分法，
当为2，2，1时，共有C52⋅C322!A33=90种；
当为1，1，3时，共有C51⋅C412!A33=60种；
故一共有90+60=150种分配方案.
故答案为：150.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·全国·高三专题练习）解下列不等式或方程
(1)A8x