高考数学第二轮复习专题练习专题4.12 数学归纳法（重难点题型检测）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习专题4.12 数学归纳法（重难点题型检测）（教师版），共12页。试卷主要包含了用数学归纳法证明等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）利用数学归纳法证明不等式1+12+13+⋯+12n-11324 (n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边（ ）
A．增加了一项12(k+1)
B．增加了两项12k+1，12(k+1)
C．增加了两项12k+1，12(k+1)，又减少了一项1k+1
D．增加了一项12(k+1)，又减少了一项1k+1
【解题思路】将n＝k、n＝k＋1代入不等式左边，比较两式即可求解.
【解答过程】n＝k时，左边为1k+1＋1k+2＋…＋12k，①
n＝k＋1时，左边为1k+2＋1k+3＋…＋12k＋12k+1＋12(k+1)，②
比较①②可知C正确.
故选：C.
6．（3分）（2021·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋n(n-1)2d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝（ ）
A．a1＋(k－1)dB．k(a1+ak)2
C．ka1＋k(k-1)2dD．(k＋1)a1＋k(k+1)2d
【解题思路】只需把公式中的n换成k即可．
【解答过程】假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋k(k-1)2d.
故选: C.
7．（3分）（2022·上海·高二专题练习）对于不等式 n2+n＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n＝1时， 12+1＜1＋1，不等式成立．
（2）假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 k2+k＜k＋1，则当n＝k＋1时，(k+1)2+(k+1)＝k2+3k+2＜(k2+3k+2)+k+2＝(k+2)2＝(k＋1)＋1，
∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（ ）
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
【解题思路】根据数学归纳法的定义即可判断答案.
【解答过程】在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设.
故选:D.
8．（3分）（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明“(3n+1)⋅7n-1(n∈N*)能被9整除”，在假设n=k时命题成立之后，需证明n=k+1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（ ）能被9整除.
A．3×7k+6B．3×7k+1+6C．3×7k-3D．3×7k+1-3
【解题思路】假设n=k时命题成立，即(3k+1)⋅7k-1能被9整除，计算当n=k+1时，3k+1+1⋅7k+1-1-(3k+1)⋅7k-1 =6⋅3k+1⋅7k-1+3⋅7k+1+6，即可得解.
【解答过程】解：假设n=k时命题成立，即(3k+1)⋅7k-1能被9整除，
当n=k+1时，3k+1+1⋅7k+1-1-(3k+1)⋅7k-1
=3k+4⋅7k+1-(3k+1)⋅7k
=3k+1+3⋅7k+1-(3k+1)⋅7k
=3k+1⋅7k+1+3⋅7k+1-(3k+1)⋅7k
=6⋅3k+1⋅7k+3⋅7k+1
=6⋅3k+1⋅7k-1+3⋅7k+1+6,
∵(3k+1)⋅7k-1能被9整除,
要证上式能被9整除，还需证明3⋅7k+1+6也能被9整除,
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）对于不等式n2+n≤n+1n∈N*，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当n=1时，12+1≤1+1，不等式成立.②假设当n=kk≥1,k∈N*时，不等式成立，即k2+k≤k+1，则当n=k+1时，k+12+k+1 =k2+3k+2nn+1对任意n≥kn,k∈N的自然数都成立，则以下满足条件的k的值中正确的为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】先验证四个选项中符合要求的k的值，再用数学归纳法进行充分性证明.
【解答过程】当k=1时，2-12+1=1344+1，符合题意，
下证：当n≥3时，2n-12n+1>nn+1成立，
当n=3时，23-123+1=79>33+1成立，
假设当n=kk≥3时，均有2k-12k+1>kk+1，解得：2k>2k+1
当n=k+1时，有2k+1-12k+1+1=1-22k+1+1>1-24k+2+1=4k+14k+3，
因为4k+14k+3-k+1k+2=2k-14k+3k+2>0，
所以2k+1-12k+1+1>k+1k+1+1成立，
由数学归纳法可知：2n-12n+1>nn+1对任意n≥3的自然数都成立，
故选：CD.
12．（4分）（2022·全国·高二专题练习）（多选题）数列an满足an+1=-an2+ann∈N*，a1∈0,12，则以下说法正确的为（ ）
A．00，
又an+1-an=-an2