高考数学第二轮复习专题练习专题8.4 一元线性回归模型及其应用（重难点题型检测）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习专题8.4 一元线性回归模型及其应用（重难点题型检测）（教师版），共19页。试卷主要包含了进行整理，并得到如下散点图，的数据如下表所示等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·天津津南·天津市模拟预测）对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：x1,y1、x2,y2、…、xn,yn，则下列说法中不正确的是（ ）
A．由样本数据得到的线性回归方程y=bx+a必过样本点的中心x,y
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好
D．若变量y和x之间的相关系数r=-0.9362，则变量y与x之间具有线性相关关系
【解题思路】根据回归直线过样本中心点可判断A选项；利用残差平方和与拟合效果的关系可判断B选项；利用相关指数R2与拟合效果的关系可判断C选项；利用相关系数与线性相关关系可判断D选项.
【解答过程】对于A选项，由样本数据得到的线性回归方程y=bx+a必过样本点的中心x,y，A对；
对于B选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B对；
对于C选项，用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越差，C错；
对于D选项，若变量y和x之间的相关系数r=-0.9362，r>0.75，则变量y与x之间具有线性相关关系，D对.
故选：C.
2．（3分）（2023春·河南·高三阶段练习）经济学专业的学生们为研究流通费率y和销售额x（单位：千万元）的关系，对同类型10家企业的相关数据xi,yi（i=1,2,⋯,10）进行整理，并得到如下散点图：
由此散点图，在2千万元至1亿元之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为流通费率y和销售额x的回归方程类型的是（ ）
A．y=ax+bB．y=ax2+b
C．y=aex+bD．y=alnx+b
【解题思路】根据散点图的变化趋势，分析各选项中方程表示的曲线的特点，看是否合乎题意，即可得答案.
【解答过程】根据散点图，可以知道各点基本上是沿着一条具有递减趋势的曲线分布，并且变化趋势较平缓，
A中y=ax+b表示直线，变化趋势是定的，不合题意；
B中y=ax2+b表示的曲线既有上升又有下降部分，不合题意；
C中y=aex+b表示的曲线不论是上升还是下降，都将比较快，曲线较“陡峭”，不合题意，
D中y=alnx+b表示的曲线不论是上升还是下降，都将比较平缓，合乎题意，
故选：D．
3．（3分）（2023春·湖南长沙·高三阶段练习）据一组样本数据x1,y1,x2,y2,⋅⋅⋅,xn,yn，求得经验回归方程为y=1.2x+0.4，且x=3．现发现这组样本数据中有两个样本点1.2,0.5和4.8,7.5误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.1，则（ ）
A．去除两个误差较大的样本点后，y的估计值增加速度变快
B．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点3,5
C．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为y=1.1x+0.7
D．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点2,2.7的残差为0.1
【解题思路】根据直线l的斜率大小判断A；求出y判断B；再求出经验回归方程判断C；计算残差判断D作答.
【解答过程】对于A，因为去除两个误差较大的样本点后，经验回归直线l的斜率变小，则y的估计值增加速度变慢，A错误；
对于B，由y=1.2x+0.4及x=3得：y=4，因为去除的两个样本点1.2,0.5和4.8,7.5，
并且1.2+4.82=3,0.5+7.52=4，因此去除两个样本点后，样本的中心点仍为(3,4)，
因此重新求得的回归方程对应直线一定过点(3,4)，B错误；
对于C，设去除后重新求得的经验回归直线l的方程为y=1.1x+a，由选项B知，4=1.1×3+a，解得a=0.7，
所以重新求得的回归方程为y=1.1x+0.7，C正确；
对于D，由选项C知，y=1.1x+0.7，当x=2时，y=1.1×2+0.7=2.9，则2.7-2.9=-0.2，
因此去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点2,2.7的残差为-0.2，D错误.
故选：C.
4．（3分）（2023·吉林通化·校考一模）某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗木，苗木长度与售价如下表：
若苗木长度x（cm）与售价y（元）之间存在线性相关关系，其回归方程为y=bx+8.9，则当售价大约为38.9元时，苗木长度大约为（ ）
A．148cmB．150cmC．152cmD．154cm
【解题思路】根据表格中的数据求出样本点中心，根据回归直线经过样本点中心求出b，再将y=38.9代入回归方程可求出结果.
【解答过程】因为x=38+48+58+68+78+886 =63，
y=16.8+18.8+20.8+22.8+24+25.86 =21.5，
所以样本点中心为(63,21.5)，
又回归直线y=bx+8.9经过(63,21.5)，
所以21.5=63b+8.9，所以b=0.2，
所以回归方程为y=0.2x+8.9，
当y=38.9元时，x=150厘米.
则当售价大约为38.9元时，苗木长度大约为150厘米.
故选：B.
5．（3分）（2022春·河南郑州·高二阶段练习）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
若x，y线性相关，线性回归方程为y=0.7x+a，则以下判断正确的是（ ）A．x增加1个单位长度，则y一定增加0.7个单位长度
B．x减少1个单位长度，则y必减少0.7个单位长度
C．当x=6时，y的预测值为8.1万盒
D．线性回归直线y=0.7x+a，经过点2,6
【解题思路】首先求得平均数x,y，代入y=0.7x+a求得回归直线方程，再对选项再对选项逐一判断，即可得出结果.
【解答过程】x=151+2+3+4+5=3，y=155+6+5+6+8=6，
代入线性回归方程y=0.7x+a中得6=0.7×3+a，a=3.9，
故线性回归方程为y=0.7x+3.9，
对于A：回归直线方程是点分布在直线附近或在直线上，x增加1个单位长度，则y可能增加0.7个单位长度，A错误；
对于B：回归直线方程是点分布在直线附近或在直线上，x减少1个单位长度，则y可能减少0.7个单位长度，B错误；
对于C：当x=6时，y=0.7×6+3.9=8.1，故C正确；
对于D：线性回归直线必经过点x,y=3,6，故D错误.
故选：C.
6．（3分）（2023·河南·高三阶段练习）下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量y（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型y=e1+ata∈R对y与t的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第6个月该物种的繁殖数量为（ ）
A．e3百只B．e3.5百只C．e4百只D．e4.5百只
【解题思路】将回归模型两边取自然对数lny=1+at，并令u=lny，由此构建一个u与t的回归直线模型，根据回归直线必过中心点t,u，可求出a值，利用所得回归模型进行预测..
【解答过程】由题意，y=e1+at两边取自然对数得lny=1+at，
令u=lny，则u=1+at．
u=lny1+lny2+lny3×13=2，t=t1+t2+t3×13=2，
∵回归直线必过样本点的中心，∴2=2a+1，
得a=12，∴u=1+t2，则y=e1+t2．
当t=6时，y=e4．
故选：C.
7．（3分）（2022春·湖南益阳·高二期末）设两个相关变量x和y分别满足xi=i，yi=2i-1，i=1，2，…，6，若相关变量x和y可拟合为非线性回归方程y=2bx+a，则当x=7时，y的估计值为（ ）
A．32B．63C．64D．128
【解题思路】先通过换元把非线性回归方程y=2bx+a转化为线性回归直线方程z=bx+a，从而可以利用公式求系数b,a的值，然后把x=7的值代入即可得到答案.
【解答过程】令zi=lg2yi=i-1，则z=bx+a ，
x=161+2+3+4+5+6=3.5，z=160+1+2+3+4+5=2.5，
所以b=i=16xizi-6xzi=16xi2-6x2=70-6×3.5×2.591-6×3.52=1 ，a=z-b⋅x=2.5-1×3.5=-1，
所以z=x-1，即y=2x-1，
所以当x=7时， y=27-1=64.
故选：C.
8．（3分）（2022·高二单元测试）某企业推出了一款新食品，为了解每单位该食品中所含某种营养成分x（单位：克）与顾客的满意率y的关系，通过调查研究发现可选择函数模型y=1100ekx+c来拟合y与x的关系，根据以下数据：
可求得y关于x的回归方程为（ ）
A．y=1100e0.043x+4.291B．y=1100e0.043x-4.291
C．y=e0.043x+4.291D．y=e0.043x-4.291
【解题思路】根据题意可将函数模型y=1100ekx+c化简后两边同时取对数可得ln(100y)=kx+c，从而可计算出ln(100y)的平均数，根据ln(100y)=kx+c线性回归方程经过样本中心的性质进行逐项检验即可.
【解答过程】解析：由y=1100ekx+c得100y=ekx+c，两边同时取对数，得ln(100y)=kx+c；
由表中数据可知x=1+2+3+4+55=3，ln(100y)的平均数=4.34+4.36+4.44+4.45+4.515=4.42.
对于A，y=1100e0.043x+4.291化简变形可得100y=e0.043x+4.291，两边同时取对数可得ln100y=0.043x+4.291，将x=3代入可得，ln100y=0.043×3+4.291=4.42，与题中数据吻合；故选项A正确；
对于B，y=1100e0.043x-4.291化简变形可得100y=e0.043x-4.291，两边同时取对数可得，ln100y=0.043x-4.291，将x=3代入可得ln100y=0.043×3-4.291=-4.162≠4.42，所以选项B错误；
对于C，y=e0.043x+4.291，两边同时取对数可得lny=0.043x+4.291，而表中所给数据为ln100y的相关量，所以C错误；
对于D，y=e0.043x-4.291，两边同时取对数可得lny=0.043x-4.291，而表中所给数据为ln100y的相关量，所以D错误．
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022秋·山东东营·高三阶段练习）已知变量y与x具有线性相关关系，统计得到6组数据如下表：
若y关于x的线性回归方程为y=0.8x+a，则（ ）
A．变量y与x之间正相关B．y=14.4
C．a=6.8D．当x=12时，y的估计值为15.6
【解题思路】根据回归方程可判断选项A，由得到的6组数据可计算样本点中心，可判断B，再根据回归直线过样本点中心可判断C，进而可判断D.
【解答过程】由y关于x的线性回归方程为y=0.8x+a，可知变量y与x之间正相关，即A正确；
由表中数据可知x=2+4+7+10+15+226=10
y=8.1+9.4+12+14.4+18.5+246=14.4，故B正确；
因此样本点中心为(10,14.4)，将其代入回归方程y=0.8x+a可得a=14.4-0.8×10=6.4，故C不正确；
因此，y关于x的线性回归方程为y=0.8x+6.4，将x=12代入回归方程可得，y=0.8×12+6.4=16，
即当x=12时，y的估计值为16；所以D错误；
故选：AB.
10．（4分）（2023秋·江苏无锡·高三期末）已知由样本数据xi,yii=1,2,3,⋯,10组成的一个样本，得到经验回归方程为y=2x-0.4，且x=2，去除两个样本点-2,1和2,-1后，得到新的经验回归方程为y=3x+b．在余下的8个样本数据和新的经验回归方程中（ ）．
A．相关变量x，y具有正相关关系
B．新的经验回归方程为y=3x-3
C．随着自变量x值增加，因变量y值增加速度变小
D．样本4,8.9的残差为-0.1
【解题思路】根据线性回归方程的求法、意义可判断ABC ，再由残差的概念判断D.
【解答过程】i=110xi=20，x新平均数18×20=2.5，y=2×2-0.4=3.6．
y新平均数18×10×3.6=4.5，∴4.5=3×2.5+b，∴b=-3．
新的线性回归方程y=3x+b，x，y具有正相关关系，A对．
新的线性回归方程：y=3x-3，B对．
由线性回归方程知，随着自变量x值增加，因变量y值增加速度恒定，C错；
x=4，y=9，8.9-9=-0.1，D对．
故选：ABD．
11．（4分）（2023·全国·高三专题练习）自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著．下图是根据一组观测数据得到海拔6千米～15千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为y1=-4.0x+68.5，决定系数为R12=0.99；根据非线性回归模型得到经验回归方程为y2=132.9e-0.163x，决定系数为 R22=0.99，则下列说法正确的是（ ）
A．由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关
B．由方程y1=-4.0x+68.5可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低4.0kPa
C．由方程y1=-4.0x+68.5可知，样本点11,22.6的残差为-1.9
D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程y2=132.9e-0.163x的预报效果更好
【解题思路】根据散点图即可得出A项；根据回归方程的含义可判断B项；根据残差计算公式求出残差，可判断C项；根据实际大气压强不能为负，可判断D项.
【解答过程】对于A项，由图象知，海拔高度越高，大气压强越低，所以大气压强与海拔高度负相关，故A项正确；
对于B项，回归直线得到的数据为估计值，而非精确值，故B项错误；
对于C项，当x=11时，y1=-4.0×11+68.5=24.5，又由散点图知观测值为22.6，所以样本点11,22.6的残差为22.6-24.5=-1.9，故C项正确；
对于D项，随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此方程y2=132.9e-0.163x的预报效果更好，故D项正确.
故选：ACD.
12．（4分）（2023·重庆渝中·高三阶段练习）小明在家独自用下表分析高三前5次月考中数学的班级排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次月考排名，但小明记得平均排名y=6，于是分别用m＝6和m＝8得到了两条回归直线方程：y=b1x+a1，y=b2x+a2，对应的相关系数分别为r1、r2，排名y对应的方差分别为s12、s22，则下列结论正确的是（ ）
（附：b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a=y-bx）
A．r10
因为V与U之间负增长，所以b20>b2，
故答案为：b1>b2．
14．（4分）（2023·全国·模拟预测）某农业科研所在5块面积相同的长方形试验田中均种植了同-一种农作物，每一块试验田的施肥量x（单位：kg）与产量y（单位：kg）之间有如下关系：
已知y与x满足线性回归方程y=13x+a，则当施肥量为80kg时，残差为 10 .
【解题思路】根据回归直线方程的特点，计算样本中心值，即可求得a，得回归方程后进行估计可得，当x=80时，估计值，从而可得残差的数值.
【解答过程】由题意得x=20+40+50+60+805=50，y=600+800+1200+1000+14005=1000，由回归直线过样本点的中心，所以1000=13×50+a，解得a=350，所以y=13x+350，
则当x=80时，y=13×80+350=1390，故残差为1400-1390=10.
故答案为：10.
15．（4分）（2022·高二课时练习）2022年初以来，5 G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5 G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近5个月来5 G手机的实际销量，如下表所示：
若y与x线性相关，且求得线性回归方程为y=45x+5，则下列说法：
a=147；②y与x正相关；③y与x的相关系数为负数；④7月份该手机商城的5 G手机销量约为36.5万部．
其中正确的是 ①② ．（把正确的序号填在横线上）
【解题思路】将月份编号的平均数代入线性回归方程，则可计算出销量的平均数，利用总销量可得a值；由回归方程中的x的系数为正可知，y与x正相关；将x=7代入，可得7月份该手机商城的5 G手机销量．
【解答过程】由表中数据，计算得x=1+2+3+4+55=3，∴y=45×3+5=140，
于是得37+104+a+196+216=140×5，解得a=147，则①正确，
由回归方程中的x的系数为正可知，y与x正相关，且其相关系数r>0，则②正确，③错误，
7月份时，x=7，y=32（万部），则④错误，
故答案为：①②.
16．（4分）（2023·高二单元测试）在新冠疫情政策改变后，某社区统计了核酸检测为阳性的人数，用x表示天数，y表示每天核酸检测为阳性的人数，统计数据如下表所示：
根据散点图判断，核酸检测为阳性的人数y关于天数x的回归方程适合用y=c⋅dx来表示，则其回归方程为
y=3.31×100.25x .
参考数据：设vi=lgyi，v=17i=17vi=1.52，i=17xi⋅vi≈49.56，100.52≈3.31
参考公式：对于一组数据u1,v1，u2,v2，…un,vn.其回归直线v=α+β⋅u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β=i=1nuivi-nuvi=1nui2-nu2，α=v-β⋅u.
【解题思路】由题可得lgy=lgc+lgd⋅x，然后根据最小二乘法即得.
【解答过程】由y=c⋅dx，可得lgy=lgc⋅dx=lgc+lgd⋅x，
设v=lgy，则v=lgc+lgd⋅x，
因为x=1+2+3+4+5+6+77=4，v=17i=17vi=1.52，
i=17xi2=1+4+9+16+25+36+49=140，
所以lgd=i=17xivi-7xvi=17xi2-7x2≈49.56-7×4×1.52140-7×42=0.25，
lgc=1.52-0.25×4=0.52，
所以lgy=v=0.52+0.25x，
所以y=100.52+0.25x≈3.31×100.25x.
故答案为：y=3.31×100.25x.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022春·山东·高二阶段练习）某大学一男生统计了本宿舍7名舍友的体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）的数据，见下表：
(1)若根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为y=1.15x+a，求a；
(2)为判断（1）中回归方程的拟合效果，请求出相关指数R2的值（保留两位小数）．
参考公式及数据：R2=1-i=1nyi-yi2i=1nyi-y2，i=16yi-yi2=49.12．
【解题思路】（1）利用回归直线方程过样本点的中心，根据表格，分别求出x，y，代入回归方程即可求解.
（2）根据表中数据，分别求出i=17yi-y2、i=17yi-y72的值，进而代入公式求解即可.
【解答过程】(1)
由题知，x=161+175+169+178+173+168+1807=172，
y=52+62+54+70+66+57+737=62，
将172,62代入回归方程，得a=y-1.15x=62-1.15×172=-135.8．
(2)
i=17yi-y2=100+0+64+64+16+25+121=390，
因为y=1.15x-135.8，所以y7-y72=73-1.15×180+135.82=3.24，
i=17yi-y72=i=16yi-yi2+3.24=52.36，
所以R2=1-i=17yi-yi2i=17yi-y2=1-52.36390≈0.87，
故相关指数R2的值约为0.87．
18．（6分）（2023·四川南充·四川省模拟预测）南中数学教研室对高二学生的记忆力 x和判断力y进行统计分析， 所得数据如下表所示：
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据， 用最小二乘法求出 y关于x的线性回归方程y=bx+a
(3)根据 （2） 中求出的线性回归方程， 预测记忆力为 11 的学生的判断力．
(参考公式：b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2,a=y-bx)
【解题思路】（1）根据表格直接画出散点图即可；
（2）根据公式分别计算出b,a，即可得到线性回归防尘；
（3）根据（2）中的回归方程，将x=11代入计算，即可得到结果.
【解答过程】（1）散点图如下：
（2）i=44xiyi=6×2+8×3+10×5+12×6=158，
x=146+8+10+12=9,y=142+3+5+6=4，
i=44xi2=62+82+102+122=344，
∴b=158-4×9×4344-4×92=1420=0.7，
则a=y-bx=4-0.7×9=-2.3，
故线性回归方程为y=0.7x-2.3
（3）由 （2）中线性回归方程可知， 当x=11时，y=0.7×11-2.3=5.4，
所以预测记忆力为11的同学的判断力约为5.4.
19．（8分）（2022春·陕西西安·高二期中）2021年2月25日，在全国脱贫攻坚总结表彰大会上，习近平总书记庄严宣告“经过全党全国各族人民共同努力，在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，……，完成了消除绝对贫困的艰巨任务.”从已经脱贫的家庭中随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得i=110xi=80，i=110yi=20，i=110xiyi=184，i=110xi2=720.（∑是求和符号）
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a.
(2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.
附.线性回归方程y=bx+a中，b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a=y-bx，其中x，y为样本平均值，线性回归方程也可写为y=bx+a.
【解题思路】（1）结合已知数据，根据公式计算即可；
（2）根据（1）中的回归方程计算x=7的情况即可
【解答过程】（1）解：由题知x=110i=110xi=8，y=110i=110yi=2，
所以，由已知数据得b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2=184-10×8×2720-10×8×8=2480=310=0.3，
a=y-bx=2-0.3×8=-0.4，
所以，家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=0.3x-0.4
（2）解：因为家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=0.3x-0.4
所以，该居民区某家庭月收入为7千元，即x=7时，y=0.3×7-0.4=1.7千元，
所以，根据回归方程，可预测该家庭的月储蓄1.7千元.
20．（8分）（2023秋·四川绵阳·高二期末）如图是某采矿厂的污水排放量y（单位：吨）与矿产品年产量x（单位：吨）的折线图：
(1)依据折线图计算x，y的相关系数r，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系?（若r>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
(2)若可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程，并预测年产量为20吨时的污水排放量.
相关公式：r=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2i=1nyi-y2
回归方程y=bx+a中，b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2，a=y-bx.
【解题思路】（1）代入数据，算出相关系数r，将其绝对值与0.75比较，即可判断可用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2）先求出回归方程，求出当x=20时的值，即为预测值．
【解答过程】（1）x=1+2+3+4+55=3，y=3+7+9+10+115=8，
因为i=15xi-x2=10，i=15yi-y2=40，i=15xi-xyi-y=19，
所以r=i=15xi-xyi-yi=15xi-x2i=15yi-y2=1910×40=1920=0.95>0.75，
所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.
（2）∵b=i=15xi-xyi-yi=15xi-x2=1910=1.9，
x=151+2+3+4+5=3，y=153+7+9+10+11=8，
∴a=8-1.9×3=2.3.
∴y关于x的线性回归方程为y=1.9x+2.3，
将x=20代入线性回归方程可得，y=1.9×20+2.3=40.3，
∴当年产量为20（吨）时，污水排放量为40.3（吨）.
21．（8分）（2023·全国·高三专题练习）为研究质量x(单位：g)对弹簧长度y(单位：cm)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如下表：
(1)作出散点图并求回归直线方程；
(2)求出R2并说明回归模型拟合的程度；
(3)进行残差分析.
【解题思路】（1）代入回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；
（2）根据公式计算R2；
（3）根据计算的R2的大小进行分析．
【解答过程】（1）
作出散点图如下：
x=16×(5+10+15+20+25+30)=17.5，
y=16×(7.25+8.12+8.95+9.90+10.9+11.8)=9.49．
i=16(xi-x)(yi-y)=(-12.5)×(-2.24)+(-7.5)×(-1.37)+(-2.5)×(-0.54)+2.5×0.41+7.5×1.41+12.5×2.31=80.1．
i=16(xi-x)2=(-12.5)2+(-7.5)2+(-2.5)2+2.52+7.52+12.52=437.5．
∴ b=80.1437.5≈0.18，a=y-bx=6.34．
∴y关于x的线性回归方程是y=0.18x+6.34
（2）
y1=7.24，y2=8.14，y3=9.04，y4=9.94，y5=10.84，y6=11.74．
i=16(yi-y)2=0.012+0.022+0.092+0.042+0.062+0.062=0.0174．
i=16(yi-y)2=2.242+1.372+0.542+0.412+1.412+2.312=12.9384．
∴R2=1-．
（3）
∵R2=0.999，非常接近1，故用回归方程y=0.18x+6.34模拟x，y间的关系的拟合效果非常好．
22．（8分）（2022春·全国·高三专题练习）某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入2千万资金后，工人人数x(单位:百人)对年产能y(单位：千万元)的影响，对投入的人力和年产能的数据作了初步处理，得到散点图和统计量表.
（1）根据散点图判断:y=a+blnx与y=ebx+a哪一个适宜作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型？并说明理由？
（2）根据（1）的判断结果及相关的计算数据，建立y关于x的回归方程；
（3）现该企业共有2000名生产工人，资金非常充足，为了使得年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金（单位：千万元）？
附注：对于一组数据(s1,t1)，(s2,t2)，…，(sn,tn)，其回归直线t=bs+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=i=1n(si-s)(ti-t)i=1n(si-s)2,a=t-bs，(说明:f(x)=ebx+a的导函数为f'(x)=-b⋅ebx+ax2)
【解题思路】（1）由图可知y=ebx+a适宜作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型；
（2）由y=ebx+a,得lny=b⋅1x+a，再利用最小二乘法求出b,a，从而得到y关于x的回归方程；
（3）利用导数求得当x=2时，f(x)=e-2x+2x取得最大值.
【解答过程】（1）由图可知y=ebx+a适宜作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型
∵若选择y=a+blnx，则b>0，此时当x接近于0时，y必小于0，
故选择y=ebx+a作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型
（2）由y=ebx+a,得lny=b⋅1x+a，故lny与1x符合线性回归，∴b=i=1n(1xi-1x)(lnyi-lny)i=1n(1xi-1x)2=-
a=lny-b⋅1x=(-0.154)-(-2)×1.077=2，
∴lny=2-2x，即y=e-2x+2，
∴y关于x的回归方程y=e-2x+2.
（3）当人均产能达到最大时，年产能也达到最大，
由(2)可知人均产能函数f(x)=e-2x+2x，
∴f'(x)=x⋅2x2⋅e-2x+2-e-2x+2x2=(2-x)⋅e-2x+2x3，
∵0