高考数学第二轮复习专题练习专题6.4 排列与组合（重难点题型检测）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习专题6.4 排列与组合（重难点题型检测）（教师版），共13页。
1．（3分）（2022秋·吉林四平·高二阶段练习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合a1,a2,a3,⋅⋅⋅,an的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
【解题思路】根据排列的定义逐个选项辨析即可.
【解答过程】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；
B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；
C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；
D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．
故选：D.
2．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知n，m为正整数，且n≥m，则在下列各式中错误的是（ ）
A．A63=120；B．A127=C127⋅A77；C．Cnm+Cn+1m=Cn+1m+1；D．Cnm=Cnn-m
【解题思路】据组合数的性质及排列数公式计算可得
【解答过程】解：对于A，A63=6×5×4=120，故正确；
对于B，因为C127=A127A77，所以A127=C127⋅A77，故正确；
对于C，因为n，m为正整数，且n≥m，
所以令n=3,m=1，则Cnm+Cn+1m=C31+C41=7，Cn+1m+1=C42=4×32×1=6，此时Cnm+Cn+1m≠Cn+1m+1，故错误；
对于D，Cnm=Cnn-m，故正确；
故选：C.
3．（3分）（2022春·江苏·高二阶段练习）不等式An5≤12Cn3的解为（ ）
A．n∣2≤n≤5,n∈NB．n∣3≤n≤6,n∈N
C．5D．5,6
【解题思路】根据组合数和排列数的计算公式，结合n的取值范围，即可求得结果.
【解答过程】由An5≤12Cn3，得nn-1n-2n-3n-4≤12×nn-1n-23×2×1且n≥5，
化简整理得n2-7n+10≤0，解得2≤n≤5，又因为n≥5，所以n=5.
故选：C.
4．（3分）（2022春·吉林长春·高二期中）从5本不同的书中选出3本分别送3位同学每人一本，不同的方法总数是（ ）
A．10B．60C．243D．15
【解题思路】根据排列定义即可求解．
【解答过程】不同的方法总数是A53=5×4×3=60，
故选：B.
5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（ ）
A．36B．24C．18D．42
【解题思路】利用分步乘法计数原理及组合公式求解即可.
【解答过程】第一步从3名男志愿者和2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶项目，选法共有C31C21=6种；
第二步从剩余的3人中选一人去支援花样滑冰，选法共有C31=3种；
第三步从剩余的2人中选一人去支援短道速滑，选法共有C21=2种；
依据分步乘法计数原理可知，不同的支援方法的种数是6×3×2=36，
故选：A.
6．（3分）（2022秋·吉林四平·高二阶段练习）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．48种B．36种C．24种D．20种
【解题思路】由题意，将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列，再将“射”和“御”交换位置，最后安排“数”， 根据分步计数原理即可求解.
【解答过程】解：因为“礼”在第一次，所以只需安排后面五次讲座的次序即可，
又“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，
所以先将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列有A33种排法，再将“射”和“御”交换位置有A22种排法，最后安排“数”有A31种排法，
所以根据分步计数原理共有A33A22A31=36种排法，
故选：B.
7．（3分）（2023·全国·高二专题练习）绿水青山就是金山银山，浙江省对“五水共治”工作落实很到位，效果非常好．现从含有甲的5位志愿者中选出4位到江西，湖北和安徽三个省市宣传，每个省市至少一个志愿者．若甲不去安徽，其余志愿者没有条件限制，共有多少种不同的安排方法（ ）
A．228B．132C．180D．96
【解题思路】本题分抽取的4人中含甲和不含甲两大类讨论，采取捆绑法分析情况，再利用加法和乘法原理得到所有情况即可.
【解答过程】4人去3个省份，且每个省至少一个人则必会有两人去同一省份，
若抽取的4人中不含甲，在这四人中任意取两人进行捆绑，则共有C42⋅A33=36种，
②若4人中含有甲，则在剩余的4人中抽取3人，共有C43=4种，接下来若甲和另1人去同一省份，则共有C31⋅C21⋅A22=12种，若甲单独一人去一个省份，则共有C32C21+A22=12种，根据加法和乘法原理可得共有，此类情况共有4×12+12=96种
综上共有36+96=132种.
故选：B.
8．（3分）（2022·全国·高三专题练习）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为A54C41
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(C53C21+C52C32)A33
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C31C42A33+C32A33
【解题思路】对于选项A ，每人有4种安排法，故有45种；对于选项B ，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项C，先分组再安排；对于选项D ，以司机人数作为分类标准进行讨论即可.
【解答过程】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为45，即选项A错误，
②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为C52A44，即选项B错误，
③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（C53C21A22+C52C32A22）A33，即选项C错误，
④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有C31 ,从余下四人中安排三个岗位C42C21C11A33A22，
故有C31C42C21C11A33A22=C31C42A33；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有C32 ,
从余下三人中安排三个岗位A33，故有C32A33；所以每项工作至少有一人参加，
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C31C42A33+C32A33，
即选项D正确，
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022春·重庆万州·高二阶段练习）下列等式正确的是（ ）
A．n+1Anm=An+1m+1B．n!nn-1=n-2!
C．Cnm=Anmn!D．1n-mAnm+1=Anm
【解题思路】利用排列数公式、组合数公式，逐项计算判断作答.
【解答过程】对于A，n+1Anm=(n+1)⋅n!(n-m)!=(n+1)![(n+1)-(m+1)]!=An+1m+1，A正确；
对于B，n!nn-1=n⋅(n-1)!n(n-1)=(n-1)⋅(n-2)!n-1=n-2!，B正确；
对于C，Cnm=Anmm!，而m!与n!不一定相等，则Anmm!与Anmn!不一定相等，C不正确；
对于D，1n-mAnm+1=1n-m⋅n!(n-m-1)!=n!(n-m)!=Anm，D正确.
故选：ABD.
10．（4分）（2022春·浙江宁波·高二期中）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1，A2，A3，A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲､乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（ ）
A．甲从M到达N处的走法种数为20
B．甲从M必须经过A3到达N处的走法种数为9
C．甲乙两人能在A3处相遇的走法种数36
D．甲，乙两人能相遇的走法种数为162
【解题思路】由M到N的最短路径向上3步，向右3步，问题为6步中任选3步向上或向右走，根据各选项的描述，同理分析各种走法的种数，即可确定答案.
【解答过程】A：从M到达N只需向上、向右各走3步，即共走6步，走法种数为C63=20种，正确；
B：从M到A3的走法有C32，再到达N的走法有C32，共有C32 C32=9种，正确；
C：由上，甲经过A3的走法有9种，同理乙经过A3的走法有9种，此处相遇共有81种走法，错误；
D：要使甲乙以相同的速度相遇，则相遇点A1，A2，A3，A4中的一个，而在A1、A4相遇各有1种走法，在A2，A3相遇各有81种走法，故甲、乙相遇的走法有1+1+81+81=164种，错误.
故选：AB.
11．（4分）（2022春·江苏南通·高二阶段练习）2022年2月5日晩，在北京冬奥会短道速滑混合团体接力决赛中，中国队率先冲过终点，为中国体育代表团拿到本届奥运会首枚金牌.赛后，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5名运动员从左往右排成一排合影留念，下列结论正确的是（ ）
A．武大靖与张雨婷相邻，共有48种排法
B．范可欣与曲春雨不相邻，共有72种排法
C．任子威在范可欣的右边，共有120种排法
D．任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有78种排法
【解题思路】利用分步乘法计数原理结合排列与排列数，逐项分析判断即可.
【解答过程】解：A项中，武大靖与张雨婷相邻，将武大靖与张雨婷排在一起有A22种排法，
再将二人看成一个整体与其余三人全排列，有A44种排法，
由分步乘法计数原理得，共有A22A44=48（种）排法，故选项A正确；
B项中，范可欣与曲春雨不相邻，先将其余三人全排列，有A33种排法，
再将范可欣与曲春雨插入其余三人形成的4个空位中，有A42种排法，
由分步乘法计数原理得，共有A33A42=72（种）排法，故选项B正确；
C项中，任子威在范可欣的右边，先从五个位置中选出三个位置排其余三人，有A53种排法，
剩下两个位置排任子威、范可欣，只有1种排法，
所以任子威在范可欣的右边，共有A53=60（种）排法，故选项C错误；
D项中，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5人全排列，有A55种排法，
任子威在最左边，有A44种排法，武大靖在最右边，有A44种排法，
任子威在最左边，且武大靖在最右边，有A33种排法，
所以任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有A55-2A44+A33=78（种）排法，故选项D正确.
故选：ABD.
12．（4分）（2022·全国·高三专题练习）为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲､乙､丙､丁4名志愿者奔赴A，B，C三地参加防控工作，则下列说法正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有64种
B．若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种
C．若甲､乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有44种
D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则不同的安排方法共有171种
【解题思路】根据分类、分布计数原理和排列、组合，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于A中，安排甲､乙､丙､丁4名志愿者奔赴A，B，C三地参加防控工作，每人都有3种安排方法，则不同的安排方法共有34=81（种），所以A错误；
对于B中，若恰有一地无人去，则需先在三地中选出两地，再将4人安排到这两个地方，不同的安排方法有C3224-2=42（种），所以B正确.
对于C中，根据题意，需将4人分为3组，若甲､乙在同一组，有1种分组方法，
又甲､乙两人不能去A地，所以安排甲､乙一组到B地或C地，有2种情况，
剩余2组安排到其余2地，有A22种情况，此时不同的安排方法有2A22=4（种）；
若甲､乙不在同一组，有C42-1=5种分组方法，又甲､乙两人不能去A地，
所以安排没有甲､乙的一组去A地，甲､乙所在的两组安排到B，C两地，有A22种情况，
此时不同的安排方法有5A22=10（种），则不同的安排方法共有4+10=14（种），
所以C错误；
对于D中，只需将20辆救护车排成一排，在形成的19个间隙中插入挡板，将20辆救护车分为3组，依次对应A，B，C三地即可，此时不同的安排方法有C192=171（种），所以D正确.
故选：BD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022秋·江西上饶·高二阶段练习）若C82x-1=C8x+3，则x= 4或2 .
【解题思路】根据组合数的性质得到方程，解得即可；
【解答过程】因为C82x-1=C8x+3，
所以2x-1=x+3或2x-1+x+3=8,
解得x=4或x=2，经检验成立，
故答案为：4或2.
14．（4分）（2022春·北京顺义·高二阶段练习）从5名男生和2名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 25 种．
【解题思路】计算反面全是男生的方法数，运用排除法即可.
【解答过程】从5名男生和2名女生中,选出3名代表的方法数为C73=35，
从5名男生和2名女生中,选出3名代表全是男生的方法数为C53=10，
所以从5名男生和2名女生中,选出3名代表,要求至少包含1名女生的方法数为
35-10=25，
故答案为：25.
15．（4分）（2022春·河北保定·高二阶段练习）某单位计划安排6名志愿者在人民路上相邻的6个十字路口进行“创建文明城市”的宣传活动，每个路口安排一名志愿者，则甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口，丙不在第一个和最后一个路口的安排方式共有 144 种．
【解题思路】将甲、乙两名志愿者看作一个整体，再与其余四名志愿者全排列，减去甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口，且丙在第一个或最后一个路口的情况求解.
【解答过程】当甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口时，利用“捆绑法”，
将甲、乙两名志愿者看作一个整体，再与其余四名志愿者全排列，
一共有A22A55=240种不同的安排方式．
当甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口，且丙在第一个或最后一个路口时，
一共有A21A22A44=96种不同的安排方式．
故所求安排方式一共有A22A55-A21A22A44=240-96=144种．
故答案为：144.
16．（4分）（2023·全国·高二专题练习）某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为 5040 ．
【解题思路】参加“演讲团”人数分为有1人或无人的情况，而每种情况又各自包含2种情况，分别求出对应的方法数，结合计数原理计算即可.
【解答过程】若有1人参加“演讲团”，则从6人选1人参加该社团，其余5人去剩下4个社团，人数安排有2种情况：1，1，1，2和1，2，2，
故1人参加“演讲团”的不同参加方法数为C61C52C32A22A43+C51C41C31A33A44=3600；
若无人参加“演讲团”，则6人参加剩下4个社团，人数安排安排有2 种情况：1，1，2，2和2，2，2，故无人参加“演讲团”的不同参加方法数为C62C42C21A22A22A44+C43C62C42=1440，
故满足条件的方法数为3600+1440=5040，
故答案为：5040.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022春·河北石家庄·高二期中）（1）计算：2A85+7A84A88-A95；
（2）若A2n3=10An3，求正整数n.
【解题思路】（1）（2）按照排列数公式计算即可.
【解答过程】（1）2A85+7A84A88-A95=2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1-9×8×7×6×5=1；
（2）∵A2n3=10An3，∴2n×(2n-1)×(2n-2)=10×n×(n-1)×(n-2)，
又n≥3，化简得4n-2=5n-10，解得n=8.
18．（6分）（2022·全国·高三专题练习）解下列不等式或方程
(1)A8x