高考数学第二轮复习专题练习专题4.10 等比数列的前n项和公式（重难点题型检测）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习专题4.10 等比数列的前n项和公式（重难点题型检测）（教师版），共16页。
1．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（ ）
A．32B．313C．12D．15
【解题思路】利用等比数列的性质可得S10-S52=S5⋅S15-S10，代入数据即可得到答案
【解答过程】解：由等比数列的性质可得S5,S10-S5,S15-S10也为等比数列，
又S5=3,S15=39，故可得S10-S52=S5⋅S15-S10即S10-32=339-S10，
解得S10=12或S10=-9，因为等比数列各项为正，所以S10=12，
故选：C.
2．（3分）（2022·河南·高三阶段练习（文））已知等比数列an的前n项和为Sn，若a4=81，a1=3，则S6=（ ）
A．364B．1094C．368D．1092
【解题思路】根据等比数列可求公比q，再按照等比数列求和公式即可得S6的值.
【解答过程】解：等比数列an的前n项和为Sn，若a4=81，a1=3，设公比为q
则q3=a4a1=813=27，所以q=3，则S6=3×1-361-3=1092.
故选：D.
3．（3分）（2020·湖北·高二期中）已知在等比数列an中，a3=4，前三项之和S3=12，则an的通项公式为（ ）
A．an=16⋅-12n-1B．an=16⋅12n-1
C．an=4D．an=4或an=(-1)n-1⋅25-n
【解题思路】设公比为q，求出首项a1的公比q后可得通项公式．
【解答过程】设公比为q，则a1q2=4a1+a1q+a1q2=12，解得a1=4q=1或a1=16q=-12，
所以an=4或an=16×-12n-1=(-1)n-1⋅25-n．
故选：D．
4．（3分）（2022·江苏省高二阶段练习）已知Sn是各项均为正数的等比数列an的前n项和，若a2⋅a4=81，S3=13，则q=（ ）
A．2B．3C．6D．9
【解题思路】根据等比数列下标性质，结合等比数列前n项和公式进行求解即可.
【解答过程】因为等比数列an的各项均为正数，
所以由a2⋅a4=81⇒a32=81⇒a3=9⇒a1q2=9⇒a1=9q2，
当q=1 时，a1=9，所以S3=27≠13，不符合题意；
当q≠1时，由S3=13⇒a1(1-q3)1-q=13⇒9q2(1-q)(1+q+q2)1-q=13，
⇒9q2(1+q+q2)=13⇒q=3或q=-34，
因为等比数列an的各项均为正数，所以q=3，
故选：B.
5．（3分）（2022·广东·一模）已知等比数列an的通项公式为an=210-n，n∈N*，记an的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则使得Tn>Sn成立的n的最大正整数值为（ ）
A．17B．18C．19D．20
【解题思路】根据题意求得Sn=210-210-n，Tn=2n(19-n)2，由Tn>Sn，得到n2-19n+20≤0，解得2≤n≤17,n∈N*，进而求得使得Tn>Sn成立的n的最大正整数值.
【解答过程】由题意，等比数列an的通项公式为an=210-n，
可得数列an是首项为29、公比为12的等比数列，
所以Sn=291-12n1-12=210-210-n，Tn=29×28×⋅⋅⋅×210-n=29+8+⋅⋅⋅+(10-n)=2n(19-n)2，
由Tn>Sn，得2n(19-n)2>210-210-n，由n(19-n)2≥10，可得n2-19n+20≤0，
结合n∈N*，可得2≤n≤17，n∈N*.当n=1时，S1=T，不满足题意；
当n≥18时，n(19-n)2≤9，Tn≤29，Sn=210-210-n>210-1>29，
所以TnSn成立的n的最大正整数值为17.
故选：A.
6．（3分）（2022·山东烟台·高三期中）为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2020年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用增加4万元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%．设an为第n年的维修费用，An为前n年的平均维修费用，若An-1 ，
同理t-4≤Sn-3n-3⇒t≤74-34-13n，
故当n=2 时，74-34-13nmin=2 ，故t≤53，
综上：11，a2021a2022>1，a2021-1a2022-1S2022B．S2021S2022-11
【解题思路】首先由条件分析出等比数列an的等比取值，即可得到an是正项递减数列，然后利用这个性质结合题设条件即可判断.
【解答过程】∵数列an是等比数列，
∴a2021a2022=a1q2020⋅a1q2021=a12q4041>1，a1>1，∴q4041>0，∴q>0，an>0
又a2021-1a2022-10a2022-11，
此时：a2021=a1q2020>1，与a20210a2022-11a20221，∴S2021S2022>1，所以B错误；
Tn为前n项的积，a2021>1，a20221，所以D正确.
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·辽宁·高二期末）已知正项等比数列an的前n项和为Sn，公比为q，若S2=1,S6=91，则（ ）
A．S8=729B．S8=820C．q=3D．q=9
【解题思路】因为an为等比数列，所以S2,S4-S2,S6-S4,⋯也构成等比数列.根据条件给出的值，求得S8及公比.
【解答过程】因为an为等比数列，所以S2,S4-S2,S6-S4,⋯也构成等比数列.
因为S2=1,S6=91，所以S4-12=1×91-S4，
得S42-S4-90=S4-10S4+9=0.
因为an>0，所以Sn>0，解得S4=10.
因为S4-S2=10-1=9，
所以S8-S6=1×93=729，S8=729+91=820，故A错误，B正确；
因为q2=S4-S2S2=9，且an>0，所以q=3，故C正确，D错误.
故选：BC.
10．（4分）（2022·全国·高二课时练习）在公比q为整数的等比数列an中，Sn是数列an的前n项和，若a1a4=32，a2+a3=12，则（ ）
A．q=2B．数列Sn+2的通项公式为Sn+2=2n+1
C．S8=254D．数列lg2an是公差为2的等差数列
【解题思路】根据给定条件结合等比数列的性质求出等比数列an的公比和通项及前n项和，再逐一分析各选项即可得解.
【解答过程】在等比数列an中，a2a3=a1a4=32，由a2+a3=12a2a3=32得a2=4a3=8或a2=8a3=4，
而公比q为整数，于是得a2=4a3=8q=2，an=2n，Sn=2⋅(1-2n)1-2=2n+1-2，
q=2，A正确；
Sn+2=2n+1，B正确；
S8=29-2=510，C错误；
lg2an+1-lg2an=n+1-n=1，即数列lg2an是公差为1的等差数列，D错误，
故选：AB．
11．（4分）（2022·全国·高三专题练习）设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7⋅a8>1，a7-1a8-11，a7-1a8-11，a80，解得t>52或t52，即n>lg5452=lg5-lg2lg5-lg4=1-2lg21-3lg2≈4.1
故当n=5时，Tn>Sn，
即从2025年开始，清洁电能总发电量将会超过火电发电总量.
21．（8分）（2022·上海市高二期末）设数列an的前n项和为Sn，且3Sn=4an-2．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设数列bn=lg2an，对任意m∈N,m≥1，将数列bn中落入区间am+1-1,am+2+1内的项的个数记为cm，记数列cm的前m项和为Sm，求使得Sm>2022的最小整数m．
【解题思路】（1）利用an=S1,n=1Sn-Sn-1,n≥2可求出数列an的通项公式；
（2）由（1）得bn=2n-1，然后由am+1-1