高考数学第二轮复习专题练习专题4.7 等比数列的概念（重难点题型精讲）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习专题4.7 等比数列的概念（重难点题型精讲）（教师版），共12页。试卷主要包含了等比数列的概念，等比中项，等比数列的通项公式，等比数列的单调性，等比数列的性质等内容，欢迎下载使用。

1．等比数列的概念
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
若G是a与b的等比中项，则，所以=ab，即G=.
3．等比数列的通项公式
若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是=(,q≠0).
4．等比数列的通项公式与指数函数的关系
等比数列{}的通项公式=可以改写为=，当q>0且q≠1时，等比数列{}的图象是
指数型函数y=的图象上一些孤立的点.
5．等比数列的单调性
已知等比数列{}的首项为，公比为q，则
(1)当或时，等比数列{}为递增数列；
(2)当或时，等比数列{}为递减数列；
(3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；
(4)当q0且c≠1)是公差为的等差数列.
【题型1 等比数列的基本量的求解】
【方法点拨】
根据所给条件，求解等比数列的基本量，即可得解.
【例1】（2022·江西·高三阶段练习（文））在等比数列an中，a2+a4=3，a5+a7=192，则公比q的值为（ ）
A．4B．±4C．2D．±2
【解题思路】根据等比数列定义两式相除即可得出公比q.
【解答过程】a2+a4=qa1+a1q2=3，a5+a7=q4a1+a1q2=192，得q3=a5+a7a2+a4=64，∴q=4．
故选：A．
【变式1-1】（2022·陕西·高二阶段练习）已知等比数列an中，a2=116，a6=4，则公比q=（ ）
A．±4B．±22C．22D．4
【解题思路】用基本量a1,q表示题干信息，计算即可.
【解答过程】由题意，设等比数列an的首项为a1，公比为q，
由a2=116，a6=4，
可得a1q=116a1q5=4，故q4=64，解得q=±22.
故选：B.
【变式1-2】（2022·甘肃·高三阶段练习（理））在等比数列an中，a2a4=64，a3+a5=40，则a1=（ ）
A．2B．±2C．2或43D．±43
【解题思路】根据等比数列的定义，结合等比中项，建立方程组，可得答案.
【解答过程】设an的公比为q，由a2a4=64a3+a5=40，则a32=64a3+a3q2=40，解得a3=-8q2=-6（舍去），故a3=8q2=4，所以q2=4，a1=a3q2=2.
故选：A.
【变式1-3】（2022·云南昆明·高二期末）在等比数列an中，a1+a3=2，a3+a5=6，则a1=（ ）
A．2B．3C．13D．12
【解题思路】利用a3+a5=a1+a3q2可得到等比数列an的公比的平方，再利用a1+a3=a1+a1q2=2即可得出a1=12.
【解答过程】在等比数列an中，由6=a3+a5=a1+a3q2=2q2得
q2=3，
所以，a1+a3=a1+a1q2=4a1=2，
所以a1=12.
故选：D.
【题型2 等比中项】
【方法点拨】
根据题目条件，结合等比中项的定义，即可得解.
【例2】（2022·黑龙江·高二期中）在等比数列an中，a1=18，q=2，则a4与a8的等比中项是（ ）
A．±4B．4C．-2D．-4
【解题思路】先通过等比数列的通项公式计算a4a8，进而可得其等比中项.
【解答过程】由已知a4a8=a62=a1q52=18×252=16
所以a4与a8的等比中项是±4，
故选：A.
【变式2-1】（2022·宁夏·高一期末）若等比数列的首项为4，公比为2，则数列中第2项与第4项的等比中项为（ ）
A．32B．-16C．±32D．±16
【解题思路】根据等比数列的首项和公比可得数列中第2项与第4项，再根据等比中项的定义求解即可
【解答过程】由题，该等比数列为4,8,16,32...，设第2项与第4项的等比中项为x，
则x2=8×32=256，故x=±16，
故选：D.
【变式2-2】（2022·广东·高二期中）若数列2,a,8是等比数列，则实数a的值为（ ）
A．4B．- 4C．±4D．5
【解题思路】由等比中项的性质列方程求得.
【解答过程】由已知得a2=2×8=16，∴a=±4，
故选:C.
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）数列an为等比数列，a1=1，a5=4，命题p:a3=2，命题q:a3是a1、a5的等比中项，则p是q的（ ）条件
A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要
【解题思路】根据等比中项的定义结合等比数列的定义判断可得出结论.
【解答过程】因为数列an为等比数列，且a1=1，a5=4，若a3=2，则a3a1=a5a3，
则a3是a1、a5的等比中项，即p⇒q；
若a3是a1、a5的等比中项，设an的公比为m，则a3=a1m2>0，
因为a32=a1a5=4，故a3=2，即p⇐q.
因此，p是q的充要条件.
故选：A.
【题型3 等比数列的通项公式】
【方法点拨】
结合所给数列的递推关系，分析数列之间的规律关系，转化求解即可.
【例3】（2022·湖南·高二期中）正项等比数列an满足a1=2，a3=8，则其通项公式an=（ ）
A．2n-1B．2nC．2n+1D．2n+2
【解题思路】利用等比数列的通项公式先求得公比q，从而求得an.
【解答过程】因为an是正项等比数列，所以q>0，
又因为a1=2，a3=8，所以q2=a3a1=4，故q=2，
所以an=a1qn-1=2×2n-1=2n.
故选：B.
【变式3-1】（2022·陕西·高二阶段练习（文））在各项为正的递增等比数列 an​中，a1a2a6=64，a1+a3+a5=21​，则an=​（ ）
A．2n+1​B．2n-1​
C．3×2n-1​D．2×3n-1​
【解题思路】首先根据等比数列的通项公式求a1q2=a3=4，再利用公比表示a1,a5，代入方程，即可求得公比，再表示通项公式.
【解答过程】数列 an​为各项为正的递增数列，设公比为q​，且q>1​，
∵a1a2a6=64​，
∴a13q6=64​
∴a1q2=4=a3​，
∵a1+a3+a5=21​，
∴4q2+4+4q2=21​，
即 4q2-1q2-4=0​，
解得: q=2​
∴a1=1​
∴an=a1qn-1=2n-1​.
故选：B.
【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知在等比数列an中，a3=4，前三项和S3=12，则数列an的通项公式为（ ）
A．an=-1n-1⋅25-nB．an=25-n
C．an=4D．an=4或an=-1n-1⋅25-n
【解题思路】由a3=4和S3=12联立解出首项和公比，通过等比数列的通项公式得到答案.
【解答过程】设等比数列an的公比为qq≠0，由题意得
a1q2=4a1+a1q+a1q2=12，解得a1=4q=1或a1=16q=-12，
所以an=4或an=16×-12n-1=-1n-1⋅25-n.
故选：D.
【变式3-3】（2022·山西太原·高三期末（理））等比数列{an}中，a3=8,a2+a4=20，则{an}的通项公式为（ ）
A．an=2nB．an=12n-6
C．an=2n或12n-6D．an=2n+1或12n-5
【解题思路】由已知，结合等比数列的通项公式可得2q2-5q+2=0求公比，进而写出{an}的通项公式.
【解答过程】令公比为q，由题设有a2+a4=a3q+a3q=8q+8q=20，
所以2q2-5q+2=(2q-1)(q-2)=0，解得q=12或q=2，经检验符合题设.
所以an=a3qn-3，可得an=2n或an=12n-6.
故选：C.
【题型4 等比数列的单调性】
【方法点拨】
判断单调性的方法：①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性.
②利用定义判断：作差比较法，即作差比较与的大小；作商比较法，即作商比较与的大小，
从而判断出数列{}的单调性.
【例4】（2022·陕西·高二期中（理））数列an是等比数列，首项为a1，公比为q，则a1q-1