高考数学第二轮复习专题练习专题4.3 等差数列的概念（重难点题型精讲）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习专题4.3 等差数列的概念（重难点题型精讲）（教师版），共13页。试卷主要包含了等差数列的概念，等差中项，等差数列的通项公式，等差数列与一次函数的关系，等差数列的单调性，等差数列的性质等内容，欢迎下载使用。

1．等差数列的概念
(1)等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.
(2)对等差数列概念的理解
①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.
②由概念可知，如果- ()恒等于一个常数，那么数列{}就是等差数列.
③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，
那么这个数列不是等差数列.
④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数
列不是等差数列.
⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒.
2．等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有
2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列.
3．等差数列的通项公式
(1)等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差.
(2)等差数列通项公式的变形
已知等差数列{}中的任意两项， (n,m,m≠n)，则
-=(n-m)d
4．等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式=+(n-1)d，可得=dn+(-d)，当d=0时，=为常数列，当d≠0时，=
+(n-1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{}的图象是直线y=dx+(-d)上一群均匀分布的孤立的点.
5．等差数列的单调性
由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响.
①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示；
②当d83B．d0，
所以a1+a8=a3+a6=2a6-3d=6，
则2a6-6=3d>0，解得：a6>3，
故选：C.
【变式4-1】（2022·全国·高二课时练习）已知点1,5，2,3是等差数列an图象上的两点，则数列an为（ ）
A．递增数列B．递减数列C．常数列D．无法确定
【解题思路】利用等差数列的图象所在直线的斜率判断.
【解答过程】等差数列an的图象所在直线的斜率k=5-31-2=-2N0时，an>0”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】设等差数列an的公差为d，则d≠0，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【解答过程】设等差数列an的公差为d，则d≠0，记x为不超过x的最大整数.
若an为单调递增数列，则d>0，
若a1≥0，则当n≥2时，an>a1≥0；若a10可得n>1-a1d，取N0=1-a1d+1，则当n>N0时，an>0，
所以，“an是递增数列”⇒“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”；
若存在正整数N0，当n>N0时，an>0，取k∈N*且k>N0，ak>0，
假设dk，
当n>k-akd+1时，an0，即数列an是递增数列.
所以，“an是递增数列”⇐“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”.
所以，“an是递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的充分必要条件.
故选：C.
【变式4-3】（2021·全国·高二课时练习）下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个结论：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列ann是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列.其中正确的为（ ）
A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4
【解题思路】公差d>0的等差数列an是递增数列；数列n an不一定是递增数列；数列ann不一定是递减数列；数列an+3nd是递增数列.
【解答过程】解：设等差数列首项a1，d>0，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，∴数列{an}递增，故p1正确；
nan＝dn2＋(a1－d)n，当n0时，不递增，故p3错误；
[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，所以{an＋3nd}递增，故p4正确，
故选：D.
【题型5 等差数列的判定与证明】
【方法点拨】
判断一个数列是等差数列的方法：(1)定义法：-=d(常数)(n){}是等差数列.
(2)递推法(等差中项法)：=+(n){}是等差数列.
(3)通项公式法：=pn+q(p,q为常数,n){}是等差数列.
【例5】（2022·江苏·高二阶段练习）已知数列an满足an+1=6an-4an+2n∈N，且a1=3.
(1)求a2,a3,a4；
(2)证明：数列1an-2是等差数列.
【解题思路】（1）利用赋值法，由递推关系式依次求得a2，a3，a4；
（2）将推递关系式进行变形，得到1an+1-2-1an-2=14，从而得证.
【解答过程】（1）因为an+1=6an-4an+2n∈N，a1=3
所以a2=6a1-4a1+2=145,a3=6a2-4a2+2=83,a4=6a3-4a3+2=187.
（2）因为an+1=6an-4an+2n∈N，
所以an+1-2=6an-4an+2-2=6an-4-2an-4an+2=4an-8an+2，
则1an+1-2=an+24an-8=an-2+44an-2=14+1an-2，
故1an+1-2-1an-2=14，
又a1=3，所以1a1-2=1，
所以数列1an-2是首项为1，公差为14的等差数列.
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）在数列{an}中，a1=13，2an+1an=an-an+1.
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列1an为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
【解题思路】（1）利用赋值法得到关于a2,a3的方程，解之即可；
（2）利用倒数法得到1an+1-1an=2，从而证得1an为等差数列，进而求得{an}的通项公式.
【解答过程】（1）因为2an+1an=an-an+1，
所以当n=1时，2a2a1=a1-a2，则2a2×13=13-a2，即53a2=13，解得a2=15，
当n=2时，2a3a2=a2-a3，则2a3×15=15-a3，即75a3=15，解得a3=17，
所以a2=15，a3=17.
（2）因为2an+1an=an-an+1，
所以1an+1-1an=2，且1a1=3，
所以数列1an是以3为首项，2为公差的等差数列，
故1an=3+n-1×2=2n+1，则an=12n+1n∈N*.
【变式5-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知数列an满足a1=1，an-an-1=1an+1an-1n≥2，且an+1>an．
(1)证明：an2+1an2为等差数列；
(2)求数列an的通项公式．
【解题思路】（1）依题意可得an-1an=an-1+1an-1，将两边同时平方，整理即可得到an2+1an2-an-12+1an-12=4，即可得证；
（2）由（1）可得an2+1an2=4n-2，再解方程求出an2=n±n-12，即可得到an，再检验即可.
【解答过程】（1）解：因为an-an-1=1an+1an-1n≥2，
所以an-1an=an-1+1an-1，则an-1an2=an-1+1an-12，即an2+1an2-2=an-12+1an-12+2，
所以an2+1an2-an-12+1an-12=4，
又a1=1，所以a12+1a12=2，
所以an2+1an2是以2为首项，4为公差的等差数列.
（2）解：由（1）可得an2+1an2=4n-2，
所以an4-4n-2an2+1=0，
解得an2=4n-2±4n-22-42=2n-1±2nn-1=n±n-12
因为a1=1且an+1>an，即数列an为递增数列，所以an>0，
所以an=n±n-1，
若an=n-n-1=1n+n-1，则an+1=1n+1+n0，a8>0
∴a7⋅a8≤a7+a822=1022=25，当且仅当a7=a8=5时等号成立.
故选：C.