江苏省盐城市东台市第五教育联盟2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江苏省盐城市东台市第五教育联盟2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分：150分 考试时间：120分
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. 5C. D.
2. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ）

A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 不等式组解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 从一副扑克牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出8张，其中红桃这种花色（ ）
A. 不可能抽到B. 可能抽到C. 很有可能抽到D. 一定能抽到
6. 数据1，3，5，7，9中添加一个数据，若平均数不变，则这组新数据的中位数为（ ）
A. 3B. 4C. 4.5D. 5
7. 如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，，．动点从点开始以的速度沿边向点运动；动点从点开始以的速度沿边向点运动．如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为秒．①当时，的面积为；②有两个不同的值，都使的面积为；③面积的最大值为；其中，正确结论的个数是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
9. 计算：=_______．
10. 等腰三角形的一个角是，则它的顶角是___________________．
11. 把多项式分解因式的结果是______________．
12. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________．
13. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为__________．
14. 如图，菱形中，，，于点，且与交于，则_____________．
15. 如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点100米，点处俯角为，楼顶点处的俯角为，已知点与大楼的距离为80米（点，，，在同一平面内），则大楼的高度____米．（结果精确到0.1米，参考数据：．
16. 如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，线段的中点为点C，过点C作轴于点D．直线过原点O和点C．若直线上存在点，满足，则的值为__________．

三、解答题（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17. 计算：．
18. 解方程:
19. 如图，点在线段上，，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
20. 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．
(1)求证：四边形ABCD矩形；
(2)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数．
21. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面的高度；（结果保留根号）
（2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，）
22. 已知一个布袋里装有3个红球、2个白球，这些球除颜色外其余都相同，把它们充分搅匀.
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是______事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是____事件；（填：必然、随机、不可能）
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是_____；
（3）甲、乙两名同学设计了一个游戏，规则如下：从布袋中任取2个球，若两球同色，则甲获胜；若两球异色，则乙获胜.你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．
23. 近年来，我国新能源汽车销量及保有量快速提升，充电基础设施布局也日渐完善．截至年底，我国新能源汽车保有量达万辆．如图是我国年公共充电桩数量情况统计图和年全国部分省公共充电桩数量统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）年上海市公共充电桩数量约占该年全国公共充电桩数量 ％（精确到）；
（2）年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比值约为多少？（结果精确到）
（3）小明说：年全国公共充电桩数量超过前年的总和，所以年全国公共充电桩数量的增长率比年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由．
24. 如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点， 于点．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）过点作于点，若，，求图中阴影部分面积．
25. 为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送电脑下乡，国家决定实行政府补贴．规定每购买一台电脑，政府补贴若干元，经调查某商场销售电脑台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台电脑的收益p（元）会相应降低且满足：．
（1）在政府补贴政策实施后，求出该商场销售电脑台数y与政府补贴款额x之间的函数关系式；
（2）在政府未出台补贴措施之前，该商场销售电脑的总收益额为多少元？
（3）要使该商场销售电脑的总收益最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益的最大值．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA=6，斜边OB=10，点P为线段AB上一动点．
（1）请直接写出点B的坐标；
（2）若动点P满足∠POB=45°，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若点E为线段OB中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A'，当PA'⊥OB时，求此时点P的坐标；
（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF=2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．
27. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点M是第四象限内抛物线上一点，轴交于点N，，求的最大值；
（3）如图2，在y轴上取一点，抛物线沿方向平移个单位得新抛物线，新抛物线与x轴交于点E，F，交y轴于点D，点P在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点H，直线与直线所成夹角为，直接写出点H的横坐标．
2024~2025学年度春学期质量抽测调研考试
九年级数学试题
满分：150分 考试时间：120分
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义，掌握乘积是1的两个数互为倒数是解题关键．根据倒数的定义求解即可．
【详解】解：的倒数是，
故选：D．
2. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据左视图是从左面看到的视图，进行判断即可．
【详解】解：几何体的左视图为：

故选D．
【点睛】本题考查三视图，熟练掌握左视图是从左往右看到的图形，是解题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项的运算法则是解题的关键．
4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先分别求出各不等式的解集，再利用数轴表示解集的公共部分即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
在数轴上表示两个不等式的解集如下：

∴不等式组的解集为：；
故选：C
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知大于向右拐，小于向左拐的原则是解答此题的关键．
5. 从一副扑克牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出8张，其中红桃这种花色（ ）
A. 不可能抽到B. 可能抽到C. 很有可能抽到D. 一定能抽到
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、随机事件以及不可能事件的定义即可判断．
【详解】解：5张红桃、4张梅花、3张黑桃共12张牌，
即，梅花、黑桃共7张牌，
从中一次随机抽出8张，红桃这种花色一定能抽到，是必然事件，
故选：D．
6. 数据1，3，5，7，9中添加一个数据，若平均数不变，则这组新数据的中位数为（ ）
A. 3B. 4C. 4.5D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】先求出原数据的平均数，然后可得出新添数据，即可得出中位数．
【详解】原数据的1，3，5，7，9的平均数为＝5，
新添加的数据为：5×6-1-3-5-7-9=5，
∴这组新数据为1，3，5，5，7，9
故这组新数据的中位数为：=5，
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是中位数、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
7. 如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较、有理数加(减)法、有理数的乘法法则，掌握相关的方法和法则是解题的关键．根据数轴判断出，再由有理数加法、减法、乘法法则、绝对值的意义逐一判断即可．
【详解】解：由数轴知：，
∴，，，，
故选：B．
8. 如图，在中，，，．动点从点开始以的速度沿边向点运动；动点从点开始以的速度沿边向点运动．如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为秒．①当时，的面积为；②有两个不同的值，都使的面积为；③面积的最大值为；其中，正确结论的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意和三角形的面积公式列出函数关系进而判断①②，根据二次函数的性质，即可判断③．
【详解】解：由题意得：，，
，，
，，
当时，，故①正确；
当的面积为时，，解得：或，即有两个不同的值，都使的面积为，故②正确；
，，
当时，面积有最大值，其最大值为，故③错误；
故选：．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
9. 计算：=_______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据算术平方根的概念求解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【详解】解：原式==4．
故答案为4．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
10. 等腰三角形的一个角是，则它的顶角是___________________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
分两种情况讨论：①当角为顶角；②当为底角，根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：①当角为顶角时，顶角度数为；
②当为底角时，顶角：，
故答案为：或．
11. 把多项式分解因式的结果是______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，掌握平方差公式是解题关键．先提公因式，根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，由根的判别式得，即可求解；掌握根的判别式：“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有无的实数根．”是解题的关键．
【详解】解：一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，
，
k的取值范围是且，
故答案为：且．
13. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据增长率问题列出函数解析式即可．
【详解】解：某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价百分率是，则关于的函数表达式为：
，
即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
14. 如图，菱形中，，，于点，且与交于，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解本题的关键．先根据菱形的性质得，再利用勾股定理计算出，然后根据菱形的面积公式得到，再解关于的方程即可．
【详解】解：四边形是菱形，，，
，
∴在中，，
，，
，
．
故答案为．
15. 如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点100米，点处俯角为，楼顶点处的俯角为，已知点与大楼的距离为80米（点，，，在同一平面内），则大楼的高度____米．（结果精确到0.1米，参考数据：．
【答案】69.3
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的判定与性质，过作于，过作于，而，则四边形是矩形，先解，求出，，得到的长度，再解，得到的长即可解决问题，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键．
【详解】解：如图所示：
过作于，过作于，而，
则四边形是矩形，
，，
由题意可得：米，，，米，
（米，（米，
（米，
（米，
（米，
大楼的高度约为69.3米．
故答案为：69.3．
16. 如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，线段的中点为点C，过点C作轴于点D．直线过原点O和点C．若直线上存在点，满足，则的值为__________．

【答案】或
【解析】
【分析】根据题意，得，直线：；根据一次函数性质，得；根据勾股定理，得；连接，根据等腰三角形三线合一性质，得；根据勾股定理逆定理，得；结合圆的性质，得点A、B、D、P共圆，直线和交于点F，点F为圆心；根据圆周角、圆心角、等腰三角形的性质，得；分或两种情况，根据圆周角、二次根式的性质计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，得，即
∵直线过原点O和线段的中点C
∴直线：
∵在直线上
∴
∴
连接
∴，线段的中点为点C
∴
过点C作x轴的垂线，垂足为点D
∴
∴，
，
∴
∴
∴点A、B、D、P共圆，直线和交于点F，点F为圆心
∴
∵
∴
∵，且
∴
∴
∴
∴或
当时，和位于直线两侧，即
∴不符合题意
∴，且
∴，
∴
∴，此时，
∴；
根据对称性可知，点P关于点C的对称点，
∴．

故答案为：或．
【点睛】本题考查了圆、等腰三角形、反比例函数、一次函数、三角函数、勾股定理、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握圆心角、圆周角、等腰三角形三线合一、三角函数、勾股定理的性质，从而完成求解．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键．
分别化简计算零指数指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再进行加减运算．
【详解】解：原式
．
18. 解方程:
【答案】－1
【解析】
【分析】根据分式方程的求解进行去分母，即可求解.
【详解】解：原方程可化
方程两边同乘（2x-1）得：x=2x-1+2 解得x=－1
检验：将x=－1代入（2x-1）
得 2×（- 1）－10
∴x=－1是原方程的解
【点睛】此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是熟知分式方程的解法.
19. 如图，点在线段上，，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）由，，可得，利用“”即可得证；
（2）根据全等三角形的性质得到，，即可求解．
【小问1详解】
证明：，，
，
，，
；
【小问2详解】
，
，，
．
20. 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数．
【答案】(1)见解析；(2)∠ADO=36°
【解析】
【分析】(1)先判断四边形ABCD是平行四边形，继而根据已知条件推导出AC=BD，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形即可；
(2)设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠OCD=∠ODC=3x．，在△ODC中，利用三角形内角和定理求出x的值，继而求得∠ODC的度数，由此即可求得答案．
【详解】(1)∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB是△AOD的外角，
∴∠AOB＝∠OAD＋∠ADO．
∴∠OAD＝∠ADO．
∴AO＝OD．
又∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD，
∴AC＝BD．
∴四边形ABCD是矩形．
(2)设∠AOB=4x，∠ODC=3x，
则∠ODC=∠OCD=3x，
在△ODC中，∠DOC+∠OCD+∠CDO=180°
∴4x+3x+3x=180°，
解得x=18°，
∴∠ODC=3×18°=54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADO=∠ADC－∠ODC=90°－54°=36°．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握和灵活运用相关知识．
21. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面的高度；（结果保留根号）
（2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】（1）
（2）高度是增加了，增加了约
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
（1）过点C作于点F，过点B作于点M，则四边形为矩形，可得，．求出，解直角三角形求出的长，即可得解；
（2）过点C作，过点E作于点H，分别求出从变化到的过程中的值，即可得解．
【小问1详解】
解：过点C作于点F，过点B作于点M，
∴．
由题意得，，
∴四边形为矩形，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
答：支点C离桌面的高度为．
【小问2详解】
解：过点C作，过点E作于点H，
∴．
∵，，
∴．
当时，；
当时，；
∴
∴当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度是增加了，增加了约．
22. 已知一个布袋里装有3个红球、2个白球，这些球除颜色外其余都相同，把它们充分搅匀.
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是______事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是____事件；（填：必然、随机、不可能）
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是_____；
（3）甲、乙两名同学设计了一个游戏，规则如下：从布袋中任取2个球，若两球同色，则甲获胜；若两球异色，则乙获胜.你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．
【答案】（1）必然，不可能；（2）；（3）这个游戏不公平．说明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据“三类事件”的概念即可判别；
（2）利用概率的公式可求；
（3）列表，分别求出“两球同色”和“两球异色”的概率，然后进行比较即可判断游戏是否公平．
【详解】（1）∵袋子中放有3个红球，2个白球，
∴当从袋子中随机抽取1个球时，抽取的结果不是红球，就是白球．
∴事件“从中任意抽取1个球，不红球就是白球”是必然事件；
∵袋子中没有黑球，
∴事件“从中任意抽取1个球是黑球”是不可能事件．
故答案为：必然；不可能
（2）从中任意抽取1球，共有5种等可能的结果，其中是红球的有3种结果，
∴P（一红）=．
故答案为：
（3）列表如下：
由表格可知，共有20种等可能结果，，其中“两球同色”有8种结果，“两球异色”有12种结果．
∴P（两球同色）=，P（两球异色）=．
∴P（两球同色）P（两球异色）．
∴这个游戏不公平．
【点睛】本题考查了三类事件的概念、列举法求概率、游戏的公平性等知识点，熟知列举法求概率是解题的关键．
23. 近年来，我国新能源汽车销量及保有量快速提升，充电基础设施布局也日渐完善．截至年底，我国新能源汽车保有量达万辆．如图是我国年公共充电桩数量情况统计图和年全国部分省公共充电桩数量统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）年上海市公共充电桩数量约占该年全国公共充电桩数量的 ％（精确到）；
（2）年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比值约为多少？（结果精确到）
（3）小明说：年全国公共充电桩数量超过前年的总和，所以年全国公共充电桩数量的增长率比年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不同意，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了折线统计图、近似数的计算，正确读懂统计图是解题关键．
（1）用年上海市公共充电桩数量除以该年全国公共充电桩数量即可求解；
（2）根据统计图数据可得年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比；
（3）分别求出年和年的全国公共充电桩数量的增长率，再比较即可求解．
【小问1详解】
解：年上海市公共充电桩数量约占该年全国公共充电桩数量的：．
故答案为：2．
【小问2详解】
解：年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比为万：万．
【小问3详解】
解：不同意，理由如下：
年的全国公共充电桩数量的增长率为：，
年的全国公共充电桩数量的增长率为：，
年全国公共充电桩数量的增长率比年高．
24. 如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点， 于点．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）过点作于点，若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）是的切线，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用角平分线的性质和直角三角形的两个锐角互余进行代换，得出，即可求解；
（2）利用直角三角形内所对的边为斜边的一半可得、，证明得，再利用勾股定理求出，结合三角函数求得，利用扇形面积公式和三角形面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：是的切线，理由如下：
如图所示，连接．
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
【小问2详解】
解：，
，
是的平分线，且，
，．
．
在和中，
，
．
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，扇形的面积公式等，熟练掌握相关知识的联系与运用是解题关键．
25. 为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送电脑下乡，国家决定实行政府补贴．规定每购买一台电脑，政府补贴若干元，经调查某商场销售电脑台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台电脑的收益p（元）会相应降低且满足：．
（1）在政府补贴政策实施后，求出该商场销售电脑台数y与政府补贴款额x之间的函数关系式；
（2）在政府未出台补贴措施之前，该商场销售电脑的总收益额为多少元？
（3）要使该商场销售电脑的总收益最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益的最大值．
【答案】（1）
（2）元
（3）元，元
【解析】
【分析】（1）依题意设，待定系数法求解即可；
（2）当时，，当时，，根据，计算求解即可；
（3）设总收益为W元，则，由，可知当时，W有最大值，计算求解即可．
【小问1详解】
解：依题意设，
将，代入得，，
解得，
∴．
【小问2详解】
解：当时，，
当时，，
∴；
答：在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为元．
【小问3详解】
解：设总收益为W元，则，
∵，
∴当时，W有最大值．
答：政府应将每台补贴款额定为元时，可获得最大利润元．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一次函数解析式，一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA=6，斜边OB=10，点P为线段AB上一动点．
（1）请直接写出点B的坐标；
（2）若动点P满足∠POB=45°，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A'，当PA'⊥OB时，求此时点P的坐标；
（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF=2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．
【答案】（1）（8，6）
（2）（，6）
（3）（，6）
（4）OG的最小值为4，线段FP扫过的面积为
【解析】
【分析】（1）由勾股定理即可求解；
（2）连接OP，过点P作PQ⊥OB于点Q，因为∠POB=45°，所以PQ=OQ，设PQ=OQ=x，则BQ=10-x，根据tanB的值，即可求得x的值，再利用勾股定理，即可求解；
（3）令PA'交OB于点D，由点E为线段OB的中点，可得，，利用折叠的性质、正切函数、勾股定理，即可求解；
（4）当以点F为圆心，OF的长为半径画圆，与AB的交点即为点P，再将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，此时OG最小，利用三角函数、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，即可求解．
【小问1详解】
解：在Rt△OAB中，，
∴点B的坐标为（8，6）；
【小问2详解】
解：连接OP，过点P作PQ⊥OB于点Q，如图，
∵∠POB=45°，
∴∠OPQ=45°，
∴∠POB=∠OPQ，
∴PQ=OQ，
设PQ=OQ=x，则BQ=10-x，
在Rt△OAB中，，
在Rt△BPQ中，，
解得，
∴，
在Rt△POQ中，，
在Rt△AOP中，，
∴点P的坐标为（，6）；
【小问3详解】
解：令PA'交OB于点D，如图，
∵点E为线段OB的中点，
∴，，
∵，
设，则，
∴，
∴，
由折叠的性质，可得，，
∴，
在Rt△中，，即，
解得，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为（，6）；
【小问4详解】
解：以点F为圆心，OF的长为半径画圆，与AB的交点即为点P，再将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，此时OG最小，如图，
由题可知，，
中，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴OG的最小值为4，
∴线段FP扫过的面积=．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角函数、直角三角形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式．
27. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点M是第四象限内抛物线上一点，轴交于点N，，求的最大值；
（3）如图2，在y轴上取一点，抛物线沿方向平移个单位得新抛物线，新抛物线与x轴交于点E，F，交y轴于点D，点P在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点H，直线与直线所成夹角为，直接写出点H的横坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或6或或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）当时，，即，待定系数法求直线的解析式为，如图1，过B点作轴交于点E，则 ，证明四边形是平行四边形，则，由 ，即，可求，则，设，则，，由，可知当时，有最大值，然后作答即可；
（3）由题意知，，则，由抛物线沿方向平移个单位，可知抛物线沿x轴负半轴平移2个单位，沿y轴正方向平移2个单位，则平移后的函数解析式为，当时，，可求或，则，当时，，即；待定系数法求直线的解析式为；设，当轴时，直线与直线所成夹角为，如图2，由对称与平行的性质可得，，则，，由，可求或（舍去），则，直线的解析式为，，可求或；当于时，直线与直线所成夹角为，如图3，则，，由勾股定理得，，由，即，可得，由，可得，则，，可求或（舍去），则，直线的解析式为，当，计算求解即可．
【小问1详解】
解：将A，B代入得，，
解得，，
∴；
【小问2详解】
解：当时，，即，
设直线的解析式为，
将B代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
如图1，过B点作轴交于点E，则 ，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴ ，即，
解得，，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
∴的最大值为；
【小问3详解】
解：由题意知，，
∴，
∵抛物线沿方向平移个单位，
∴抛物线沿x轴负半轴平移2个单位，沿y轴正方向平移2个单位，
∵，
∴平移后的函数解析式为，
当时，，
解得，或，
∴，
当时，，即；
设直线解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为；
设，
当轴时，直线与直线所成夹角为，如图2，
由对称与平行的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
∴直线的解析式为，
当，
解得，或；
当于时，直线与直线所成夹角为，如图3，

∴，，
由勾股定理得，，
∴，即，
解得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
∴直线的解析式为，
当，
解得，或；
综上所述，H点坐标为或6或或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，平行四边形的判定与性质，等边对等边，正切，正弦，勾股定理，对称的性质，二次函数图象的平移等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，平行四边形的判定与性质，等边对等边，正切，正弦，勾股定理，对称的性质，二次函数图象的平移是解题的关键．
红1
红2
红3
白1
白2
红1
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红1红2
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红1白1
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红2
红2红1
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红2红3
红2白1
红2白2
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红3红2
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