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江苏省盐城市东台市第二教育联盟2022-2023学年下学期3月份月考九年级数学试卷
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这是一份江苏省盐城市东台市第二教育联盟2022-2023学年下学期3月份月考九年级数学试卷，共24页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省盐城市东台市第二教育联盟九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一．选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3x+2x2＝5x3 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣x3）2＝x6 D．3x2•4x3＝12x6
3．（3分）中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆，截止到今年初馆藏图书达3119万册，其中古籍善本约有2000000册．2000000用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.2×107 B．2×106 C．20×105 D．10×26
4．（3分）2010年3月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．32，31 B．31，32 C．31，31 D．32，35
5．（3分）如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝32°，∠C＝26°，则∠D的度数是（ ）
A．58° B．59° C．60° D．69°
6．（3分）某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面积是（ ）
A．8π B．60π C．15π D．4π
7．（3分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5π．分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，两弧分别交对角线BD于点E，F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π B．5π C．8π D．10π
8．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（1，2），将矩形ABCD向右平移t个单位，若平移后的矩形ABCD与函数y＝（x＞0）的图象有公共点，则t的取值范围是（ ）
A．0≤t≤4 B．1≤t≤4 C．1≤t≤5 D．2≤t≤5
二．填空题（每题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：2x2﹣2＝ ．
10．（3分）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，将点（1，﹣2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得的点的坐标是 ．
13．（3分）为了改善生态环境，计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AD•AB＝5，那么AC＝ ．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是 ．
16．（3分）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为 ．
三．解答题（共102分）
17．（6分）计算：（﹣1）2+|﹣|+（π﹣3）0﹣．
18．（6分）解方程：﹣＝0．
19．（8分）解不等式组并将其解集在数轴上表示：．
20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯：B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了统计图．
请结合图中的信息解决下列问题：
（1）在这次活动中，调查的居民共有 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中的a＝ ，D所在扇形的圆心角是 度．
21．（8分）某社区举行新冠疫情防控核酸检测大演练，卫生防疫部门在该社区设置了三个核酸检测点A、B、C，甲、乙两人任意选择一个检测点参加检测．求甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率．（用画树状图或列表的方法求解）
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F连接AF，CE．
（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：四边形AFCE是菱形．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝6，求图中阴影部分的面积．
24．（10分）为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）
25．（10分）小张是某工厂的一名工人，每天工作8小时，已知他生产6件甲产品和4件乙产品共需170分钟，生产10件甲产品和10件乙产品共需350分钟．
（1）小张每生产一件甲产品和一件乙产品分别需要多少分钟？
（2）工厂工人每日收入由底薪和计件工资组成，每日底薪为100元，按件计酬的方式为每生产一件甲产品得a元（2＜a＜3），每生产一件乙产品得2.5元．小张某日计划生产甲，乙两种产品共28件，请设计出日薪最高的生产方案．
26．（12分）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是 ；
（2）性质证明：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系 ．
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，联结CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
27．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D（0，3），连接AD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段AO上一点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q，交线段AD于点E，点F是直线AD上一点，连接FQ，FQ＝EQ，当△FEQ的周长最大时，求点Q的坐标和△FEQ周长的最大值；
（3）如图2，已知H（，0）．将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线AD交于点N，连接HN，当△AHN是等腰三角形时，求抛物线的平移距离d．
2022-2023学年江苏省盐城市东台市第二教育联盟九年级（下）月考数学试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3x+2x2＝5x3 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣x3）2＝x6 D．3x2•4x3＝12x6
【分析】根据完全平方公式，幂的乘方的性质，单项式的乘法法则，同底数幂的乘法的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、3x与2x2不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、应为（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项错误；
C、（﹣x3）2＝x3×2＝x6，正确；
D、应为3x2•4x3＝3×4×（x2•x3）＝12x5，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题比较简单，主要考查了幂的乘方的性质，单项式的乘法的法则，完全平方公式．
3．（3分）中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆，截止到今年初馆藏图书达3119万册，其中古籍善本约有2000000册．2000000用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.2×107 B．2×106 C．20×105 D．10×26
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将2000000用科学记数法表示为：2×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）2010年3月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．32，31 B．31，32 C．31，31 D．32，35
【分析】利用中位数及众数的定义确定答案即可．
【解答】解：∵数据31出现了3次，最多，
∴众数为31，
∵排序后位于中间位置的数是31，
∴中位数是31，
故选：C．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数、众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
5．（3分）如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝32°，∠C＝26°，则∠D的度数是（ ）
A．58° B．59° C．60° D．69°
【分析】利用平行线的性质与三角形内角和定理计算．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝32°，∠C＝26°，
∴∠DBC＝32°+26°＝58°，
∵DE∥BC，
∴∠D＝∠CBD＝58°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质和三角形内角和定理．
6．（3分）某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面积是（ ）
A．8π B．60π C．15π D．4π
【分析】根据几何体的三视图得这个几何体是圆锥，再根据圆锥的侧面是扇形即可求解．
【解答】解：观察图形可知：
圆锥母线长为：＝2，
所以圆锥侧面积为：πrl＝2×2×π＝4π．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的表面积，解决本题的关键是根据几何体的三视图得几何体，再根据几何体求其侧面积．
7．（3分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5π．分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，两弧分别交对角线BD于点E，F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π B．5π C．8π D．10π
【分析】阴影面积＝三角形面积﹣2个扇形的面积．
【解答】解：∵S△ABD＝5π×8÷2＝20π；S扇形BAE＝；S扇形DFG＝；
∴阴影面积＝20π﹣＝20π﹣16π＝4π．故选A．
【点评】本题主要是利用扇形面积和三角形面积公式计算阴影部分的面积解题关键是找到所求的量的等量关系．
8．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（1，2），将矩形ABCD向右平移t个单位，若平移后的矩形ABCD与函数y＝（x＞0）的图象有公共点，则t的取值范围是（ ）
A．0≤t≤4 B．1≤t≤4 C．1≤t≤5 D．2≤t≤5
【分析】先求得D的坐标，然后表示出平移后的点D′、B′的坐标分别为（1+t，5），（t，2），依据点D′、B′落在函数函数y＝（x＞0）的图象上时t的值，根据图象即可求得符合题意的t的取值．
【解答】解：∵矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（1，2），
∴D（1，5），
∴平移后，可设点D′、B′的坐标分别为（1+t，5），（t，2），
当点D′落在函数y＝（x＞0）的图象上时，则5（1+t）＝10，
解得t＝1，
当点B′落在函数y＝（x＞0）的图象上时，则2t＝10，
解得t＝5，
∴平移后的矩形ABCD与函数y＝（x＞0）的图象有公共点，则t的取值范围是1≤t≤5，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质的应用，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
二．填空题（每题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：2x2﹣2＝ 2（x+1）（x﹣1） ．
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1）．
故答案为：2（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
10．（3分）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 八 ．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得
（n﹣2）•180＝3×360，
解得n＝8．
则这个多边形的边数是八．
【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0即可求解．
【解答】解：在函数y＝中，有x﹣2≥0，解得x≥2，
故其自变量x的取值范围是x≥2．
故答案为x≥2．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．（3分）在平面直角坐标系中，将点（1，﹣2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得的点的坐标是 （3，1） ．
【分析】直接利用平移的性质得出平移后点的坐标即可．
【解答】解：∵将点（1，﹣2）先向右平移2个单位长度，
∴得到（3，﹣2），
∵向上平移3个单位长度，
∴所得点的坐标是：（3，1）．
故答案为：（3，1）．
【点评】此题主要考查了平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
13．（3分）为了改善生态环境，计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是 120棵 ．
【分析】设原计划每天种树x棵，由题意得等量关系：原计划所用天数﹣实际所用天数＝4，根据等量关系，列出方程，再解即可．
【解答】解：设原计划每天种树x棵，由题意得：
﹣＝4，
解得：x＝120，
经检验：x＝120是原分式方程的解，
故答案为：120棵．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AD•AB＝5，那么AC＝ ．
【分析】证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠BCA，
∵∠B＝∠B，
∴△ADC∽△ACB，
∴，即AD•AB＝AC•AC＝5，
解得：AC＝（负值舍去），
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是 x＜﹣1或x＞5 ．
【分析】直接利用二次函数的对称性得出图象与x轴的另一个交点，进而得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣1，0），对称轴是直线x＝2，
∴图象与x轴的另一个交点为：（5，0），
故当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是﹣x＜﹣1或x＞5．
故答案为：x＜﹣1或x＞5．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，正确利用数形结合分析是解题关键．
16．（3分）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为 （﹣2）cm ．
【分析】如图，取AC的中点为O'，连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．
【解答】解：如图，取AC的中点为O'，连接BO′、BC．
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝4cm，AB＝5cm，
∴BC＝＝＝3cm，
在Rt△BCO′中，BO′＝＝＝cm，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2（cm），
故答案为：（）cm．
【点评】本题考查勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是以AC为直径的圆上运动，属于中考填空题中 压轴题．
三．解答题（共102分）
17．（6分）计算：（﹣1）2+|﹣|+（π﹣3）0﹣．
【分析】原式先计算乘方运算，再算加减运算即可得到结果．
【解答】解：（﹣1）2+|﹣|+（π﹣3）0﹣＝1++1﹣2＝．
【点评】此题考查了实数的运算，绝对值、零指数幂、熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）解方程：﹣＝0．
【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解：两边乘x（x﹣1），得
3x﹣2（x﹣1）＝0，
解得x＝﹣2，
经检验：x＝﹣2是原分式方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，利用等式的性质将分式方程转化成整式方程是解题关键，要检验方程的根．
19．（8分）解不等式组并将其解集在数轴上表示：．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x＜2，
由②得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜2．
．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯：B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了统计图．
请结合图中的信息解决下列问题：
（1）在这次活动中，调查的居民共有 200 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中的a＝ 25 ，D所在扇形的圆心角是 36 度．
【分析】（1）根据B的人数除以各自的百分比，求出调查的总人数即可；
（2）求出A与C的人数，补全条形统计图即可；
（3）求出A占的百分比，以及D占的圆心角即可．
【解答】解：（1）根据题意得：60÷30%＝200（人），
则调查的居民共有200人；
故答案为：200；
（2）根据题意得：200×15%＝30（人），300﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），
补全条件统计图，如图所示：
（3）根据题意得：50÷200×100%＝25%，20÷200×360°＝36°，
则扇形统计图中的a＝25，D所在扇形的圆心角是36度．
故答案为：25，36．
【点评】此题考查了条形统计图，以及扇形统计图，弄清题意是解本题的关键．
21．（8分）某社区举行新冠疫情防控核酸检测大演练，卫生防疫部门在该社区设置了三个核酸检测点A、B、C，甲、乙两人任意选择一个检测点参加检测．求甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率．（用画树状图或列表的方法求解）
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人不在同一检测点参加检测的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人不在同一检测点参加检测的结果有6种，
∴甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F连接AF，CE．
（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：四边形AFCE是菱形．
【分析】（1）根据矩形的性质得出AD∥BC，求出∠EAO＝∠FCO，根据全等三角形的判定推出△EOA≌△FOC即可；
（2）根据平行四边形的判定得出四边形AFCE是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AC的中点是O，
∴OA＝OC，
在△EOA和△FOC中，
，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴OE＝OF；
（2）∵OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定和平行四边形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝6，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OE、OD，根据切线的性质得到∠OAC＝90°，根据三角形中位线定理得到OE∥BC，证明△AOE≌△DOE，根据全等三角形的性质、切线的判定定理证明；
（2）根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切，
理由如下：连接OE、OD，如图，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，
∴OE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2，
在△AOE和△DOE中，
∴△AOE≌△DOE（SAS）
∴∠ODE＝∠OAE＝90°，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵DE、AE是⊙O的切线，
∴DE＝AE，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝AC＝3，
∠AOD＝2∠B＝2×50°＝100°，
∴图中阴影部分的面积＝2××2×3﹣＝6﹣π．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．
24．（10分）为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】作PD⊥AB于D，构造出Rt△APD与Rt△BPD，根据AB的长度．利用特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：作PD⊥AB于D．
设BD＝xm，则AD＝（x+200）m．
∵∠EAP＝60°，
∴∠PAB＝90°﹣60°＝30°．
在Rt△BPD中，
∵∠FBP＝45°，
∴∠PBD＝∠BPD＝45°，
∴PD＝DB＝x（m）．
在Rt△APD中，
∵∠PAB＝30°，
∴PD＝tan30°•AD，
即DB＝PD＝tan30°•AD，
可得：x＝（200+x），
解得：x≈273.2，
∴PD≈273（m）．
答：凉亭P到公路l的距离为273m．
【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答．
25．（10分）小张是某工厂的一名工人，每天工作8小时，已知他生产6件甲产品和4件乙产品共需170分钟，生产10件甲产品和10件乙产品共需350分钟．
（1）小张每生产一件甲产品和一件乙产品分别需要多少分钟？
（2）工厂工人每日收入由底薪和计件工资组成，每日底薪为100元，按件计酬的方式为每生产一件甲产品得a元（2＜a＜3），每生产一件乙产品得2.5元．小张某日计划生产甲，乙两种产品共28件，请设计出日薪最高的生产方案．
【分析】（1）根据题中条件分别列出生产甲产品和乙产品的时间总和为170分钟和350分钟构成二元一次方程组即可．
（2）先根据工作时间总分钟数小于等于480分钟，求出m的取值范围，表达出日薪w与a，m的函数关系，根据a的取值范围，讨论一次函数的最大值即可得到答案．
【解答】解：（1）设小张每生产一件甲产品用x分钟，生一件乙产品分别需要y分钟，
由题意得：，
解得：，
答：小张每生产一件甲产品用15分钟，生一件乙产品分别需要20分钟．
（2）设生产甲产品m件，则生产乙产品（28﹣m）件，日薪为w元，由题意得，
15m+20（28﹣m）≤8×60，解得，m≥16，且m≤28，故，16≤m≤28．
∴w＝am+2.5（28﹣m）+100，
∴w＝（a﹣2.5）m+170，且16≤m≤28，
①当2＜a＜2.5时，a﹣2.5＜0，w随m增大而减小，所以当m＝16时，w有最大值为（130+16a）元．
②a＝2.5时，a﹣2.5＝0，此时w的最大值就为170元．
③2.5＜a＜3时，a﹣2.5＞0，w随m增大而增大，所以m＝28时，w有最大值为（100+28a）元．
【点评】本题考查了，二元一次方程组的应用中的方案问题，确定出m的取值范围，表达出日薪的函数关系式进行讨论是解决本题的关键．
26．（12分）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是 菱形，正方形 ；
（2）性质证明：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系 AD2+BC2＝AB2+CD2 ．
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，联结CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【分析】（1）由平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质即可得出结论；
（2）利用勾股定理即可得出结论；
（3）先判断CE⊥BG，得出四边形CGEB是垂美四边形，借助（2）的结论求解即可．
【解答】解：（1）在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，对角线垂直的是菱形和正方形，
故答案为：菱形，正方形；
（2）∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
如图1，设AC和BD的交点为E，
∴∠AEB＝∠AED＝∠CEB＝∠CED＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝BE2+EC2+EA2+ED2，AB2+CD2＝AE2+BE2+ED2+EC2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2，
故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）如图2，设AB与CE相交于点M，连接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，
即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝3，CG＝＝4，BE＝＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，
∴GE＝．
【点评】本题主要考查四边形的综合知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．
27．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D（0，3），连接AD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段AO上一点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q，交线段AD于点E，点F是直线AD上一点，连接FQ，FQ＝EQ，当△FEQ的周长最大时，求点Q的坐标和△FEQ周长的最大值；
（3）如图2，已知H（，0）．将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线AD交于点N，连接HN，当△AHN是等腰三角形时，求抛物线的平移距离d．
【分析】（1）将A（﹣4，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+4，用待定系数法求解即可；
（2）过点Q作QM⊥EF于点M，由等腰三角形的性质可得EF＝2EM；由勾股定理得AD＝5；根据cos∠QEM＝cos∠ADO得出等式，将△FEQ的周长用QE表示出来，设Q（m，﹣m2﹣m+4），求得直线AD的解析式，进而写出QE关于m的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得QE的最大值，则可得△FEQ周长的最大值及点Q的坐标；
（3）平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4±d，设xN＝n，则yN＝﹣n2﹣n+4±d，由点N在直线AD上，可得关于n的等式，将d用含n的式子表示出来，即d＝|n2+n﹣1|，再分三种情况：①AN＝AH；②AN＝NH；③AH＝NH，分别得出关于n的方程，解得n的值，再代入d＝|n2+n﹣1|，计算即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；
（2）如图1，过点Q作QM⊥EF于点M，则∠QME＝90°，
∵FQ＝EQ，QM⊥EF，
∴EF＝2EM，
∵A（﹣4，0），D（0，3），
∴OA＝4，OD＝3，
在Rt△AOD中，由勾股定理得AD＝5．
∵PQ⊥x轴，
∴PQ∥OC，
∴∠QEM＝∠ADO，
∴cos∠QEM＝cos∠ADO，
∴＝＝，
∴EM＝QE，EF＝QE，
∴C△FEQ＝QE+EF+FQ＝QE，
∴当QE最大时，△FEQ的周长最大．
设Q（m，﹣m2﹣m+4），其中﹣4≤m≤0．
∵A（﹣4，0），D（0，3），
∴直线AD的解析式为y＝x+3，
∴E（m，m+3），
∴QE＝﹣m2﹣m+4﹣（m+3）
＝﹣m2﹣m+1
＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝﹣时，QE有最大值，最大值为，
∴△FEQ周长的最大为×＝8.1，此时点Q的坐标为（﹣，）；
（3）由题知：平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4±d．
设xN＝n，则yN＝﹣n2﹣n+4±d．
又∵直线AD的解析式为y＝x+3，点N在AD上，
∴yN＝n+3，
∴﹣n2﹣n+4±d＝n+3，
∴d＝|n2+n﹣1|，
∵H（，0），A（﹣4，0），
∴AH＝﹣（﹣4）＝．
当△AHN是等腰三角形时，
①若AN＝AH，则（n+4）2+＝，
解得n1＝﹣9（舍去），n2＝1，
∴d＝|×12+×1﹣1|＝；
②若AN＝NH，则n+4＝﹣n，
解得n＝﹣，
∴d＝|×（﹣）2+×（﹣）﹣1|＝；
③若AH＝NH，则+＝，
解得n1＝﹣4（舍去），n2＝4，
∴d＝|×42+×4﹣1|＝14．
综上，抛物线的平移距离d的值为或或14．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、一次函数和二次函数的性质及一元二次方程的应用等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
2022-2023学年江苏省盐城市东台市第二教育联盟九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一．选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3x+2x2＝5x3 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣x3）2＝x6 D．3x2•4x3＝12x6
3．（3分）中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆，截止到今年初馆藏图书达3119万册，其中古籍善本约有2000000册．2000000用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.2×107 B．2×106 C．20×105 D．10×26
4．（3分）2010年3月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．32，31 B．31，32 C．31，31 D．32，35
5．（3分）如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝32°，∠C＝26°，则∠D的度数是（ ）
A．58° B．59° C．60° D．69°
6．（3分）某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面积是（ ）
A．8π B．60π C．15π D．4π
7．（3分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5π．分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，两弧分别交对角线BD于点E，F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π B．5π C．8π D．10π
8．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（1，2），将矩形ABCD向右平移t个单位，若平移后的矩形ABCD与函数y＝（x＞0）的图象有公共点，则t的取值范围是（ ）
A．0≤t≤4 B．1≤t≤4 C．1≤t≤5 D．2≤t≤5
二．填空题（每题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：2x2﹣2＝ ．
10．（3分）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，将点（1，﹣2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得的点的坐标是 ．
13．（3分）为了改善生态环境，计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AD•AB＝5，那么AC＝ ．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是 ．
16．（3分）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为 ．
三．解答题（共102分）
17．（6分）计算：（﹣1）2+|﹣|+（π﹣3）0﹣．
18．（6分）解方程：﹣＝0．
19．（8分）解不等式组并将其解集在数轴上表示：．
20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯：B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了统计图．
请结合图中的信息解决下列问题：
（1）在这次活动中，调查的居民共有 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中的a＝ ，D所在扇形的圆心角是 度．
21．（8分）某社区举行新冠疫情防控核酸检测大演练，卫生防疫部门在该社区设置了三个核酸检测点A、B、C，甲、乙两人任意选择一个检测点参加检测．求甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率．（用画树状图或列表的方法求解）
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F连接AF，CE．
（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：四边形AFCE是菱形．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝6，求图中阴影部分的面积．
24．（10分）为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）
25．（10分）小张是某工厂的一名工人，每天工作8小时，已知他生产6件甲产品和4件乙产品共需170分钟，生产10件甲产品和10件乙产品共需350分钟．
（1）小张每生产一件甲产品和一件乙产品分别需要多少分钟？
（2）工厂工人每日收入由底薪和计件工资组成，每日底薪为100元，按件计酬的方式为每生产一件甲产品得a元（2＜a＜3），每生产一件乙产品得2.5元．小张某日计划生产甲，乙两种产品共28件，请设计出日薪最高的生产方案．
26．（12分）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是 ；
（2）性质证明：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系 ．
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，联结CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
27．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D（0，3），连接AD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段AO上一点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q，交线段AD于点E，点F是直线AD上一点，连接FQ，FQ＝EQ，当△FEQ的周长最大时，求点Q的坐标和△FEQ周长的最大值；
（3）如图2，已知H（，0）．将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线AD交于点N，连接HN，当△AHN是等腰三角形时，求抛物线的平移距离d．
2022-2023学年江苏省盐城市东台市第二教育联盟九年级（下）月考数学试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3x+2x2＝5x3 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣x3）2＝x6 D．3x2•4x3＝12x6
【分析】根据完全平方公式，幂的乘方的性质，单项式的乘法法则，同底数幂的乘法的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、3x与2x2不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、应为（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项错误；
C、（﹣x3）2＝x3×2＝x6，正确；
D、应为3x2•4x3＝3×4×（x2•x3）＝12x5，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题比较简单，主要考查了幂的乘方的性质，单项式的乘法的法则，完全平方公式．
3．（3分）中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆，截止到今年初馆藏图书达3119万册，其中古籍善本约有2000000册．2000000用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.2×107 B．2×106 C．20×105 D．10×26
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将2000000用科学记数法表示为：2×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）2010年3月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．32，31 B．31，32 C．31，31 D．32，35
【分析】利用中位数及众数的定义确定答案即可．
【解答】解：∵数据31出现了3次，最多，
∴众数为31，
∵排序后位于中间位置的数是31，
∴中位数是31，
故选：C．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数、众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
5．（3分）如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝32°，∠C＝26°，则∠D的度数是（ ）
A．58° B．59° C．60° D．69°
【分析】利用平行线的性质与三角形内角和定理计算．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝32°，∠C＝26°，
∴∠DBC＝32°+26°＝58°，
∵DE∥BC，
∴∠D＝∠CBD＝58°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质和三角形内角和定理．
6．（3分）某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面积是（ ）
A．8π B．60π C．15π D．4π
【分析】根据几何体的三视图得这个几何体是圆锥，再根据圆锥的侧面是扇形即可求解．
【解答】解：观察图形可知：
圆锥母线长为：＝2，
所以圆锥侧面积为：πrl＝2×2×π＝4π．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的表面积，解决本题的关键是根据几何体的三视图得几何体，再根据几何体求其侧面积．
7．（3分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5π．分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，两弧分别交对角线BD于点E，F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π B．5π C．8π D．10π
【分析】阴影面积＝三角形面积﹣2个扇形的面积．
【解答】解：∵S△ABD＝5π×8÷2＝20π；S扇形BAE＝；S扇形DFG＝；
∴阴影面积＝20π﹣＝20π﹣16π＝4π．故选A．
【点评】本题主要是利用扇形面积和三角形面积公式计算阴影部分的面积解题关键是找到所求的量的等量关系．
8．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（1，2），将矩形ABCD向右平移t个单位，若平移后的矩形ABCD与函数y＝（x＞0）的图象有公共点，则t的取值范围是（ ）
A．0≤t≤4 B．1≤t≤4 C．1≤t≤5 D．2≤t≤5
【分析】先求得D的坐标，然后表示出平移后的点D′、B′的坐标分别为（1+t，5），（t，2），依据点D′、B′落在函数函数y＝（x＞0）的图象上时t的值，根据图象即可求得符合题意的t的取值．
【解答】解：∵矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（1，2），
∴D（1，5），
∴平移后，可设点D′、B′的坐标分别为（1+t，5），（t，2），
当点D′落在函数y＝（x＞0）的图象上时，则5（1+t）＝10，
解得t＝1，
当点B′落在函数y＝（x＞0）的图象上时，则2t＝10，
解得t＝5，
∴平移后的矩形ABCD与函数y＝（x＞0）的图象有公共点，则t的取值范围是1≤t≤5，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质的应用，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
二．填空题（每题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：2x2﹣2＝ 2（x+1）（x﹣1） ．
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1）．
故答案为：2（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
10．（3分）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 八 ．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得
（n﹣2）•180＝3×360，
解得n＝8．
则这个多边形的边数是八．
【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0即可求解．
【解答】解：在函数y＝中，有x﹣2≥0，解得x≥2，
故其自变量x的取值范围是x≥2．
故答案为x≥2．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．（3分）在平面直角坐标系中，将点（1，﹣2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得的点的坐标是 （3，1） ．
【分析】直接利用平移的性质得出平移后点的坐标即可．
【解答】解：∵将点（1，﹣2）先向右平移2个单位长度，
∴得到（3，﹣2），
∵向上平移3个单位长度，
∴所得点的坐标是：（3，1）．
故答案为：（3，1）．
【点评】此题主要考查了平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
13．（3分）为了改善生态环境，计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是 120棵 ．
【分析】设原计划每天种树x棵，由题意得等量关系：原计划所用天数﹣实际所用天数＝4，根据等量关系，列出方程，再解即可．
【解答】解：设原计划每天种树x棵，由题意得：
﹣＝4，
解得：x＝120，
经检验：x＝120是原分式方程的解，
故答案为：120棵．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AD•AB＝5，那么AC＝ ．
【分析】证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠BCA，
∵∠B＝∠B，
∴△ADC∽△ACB，
∴，即AD•AB＝AC•AC＝5，
解得：AC＝（负值舍去），
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是 x＜﹣1或x＞5 ．
【分析】直接利用二次函数的对称性得出图象与x轴的另一个交点，进而得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣1，0），对称轴是直线x＝2，
∴图象与x轴的另一个交点为：（5，0），
故当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是﹣x＜﹣1或x＞5．
故答案为：x＜﹣1或x＞5．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，正确利用数形结合分析是解题关键．
16．（3分）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为 （﹣2）cm ．
【分析】如图，取AC的中点为O'，连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．
【解答】解：如图，取AC的中点为O'，连接BO′、BC．
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝4cm，AB＝5cm，
∴BC＝＝＝3cm，
在Rt△BCO′中，BO′＝＝＝cm，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2（cm），
故答案为：（）cm．
【点评】本题考查勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是以AC为直径的圆上运动，属于中考填空题中 压轴题．
三．解答题（共102分）
17．（6分）计算：（﹣1）2+|﹣|+（π﹣3）0﹣．
【分析】原式先计算乘方运算，再算加减运算即可得到结果．
【解答】解：（﹣1）2+|﹣|+（π﹣3）0﹣＝1++1﹣2＝．
【点评】此题考查了实数的运算，绝对值、零指数幂、熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）解方程：﹣＝0．
【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解：两边乘x（x﹣1），得
3x﹣2（x﹣1）＝0，
解得x＝﹣2，
经检验：x＝﹣2是原分式方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，利用等式的性质将分式方程转化成整式方程是解题关键，要检验方程的根．
19．（8分）解不等式组并将其解集在数轴上表示：．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x＜2，
由②得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜2．
．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯：B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了统计图．
请结合图中的信息解决下列问题：
（1）在这次活动中，调查的居民共有 200 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中的a＝ 25 ，D所在扇形的圆心角是 36 度．
【分析】（1）根据B的人数除以各自的百分比，求出调查的总人数即可；
（2）求出A与C的人数，补全条形统计图即可；
（3）求出A占的百分比，以及D占的圆心角即可．
【解答】解：（1）根据题意得：60÷30%＝200（人），
则调查的居民共有200人；
故答案为：200；
（2）根据题意得：200×15%＝30（人），300﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），
补全条件统计图，如图所示：
（3）根据题意得：50÷200×100%＝25%，20÷200×360°＝36°，
则扇形统计图中的a＝25，D所在扇形的圆心角是36度．
故答案为：25，36．
【点评】此题考查了条形统计图，以及扇形统计图，弄清题意是解本题的关键．
21．（8分）某社区举行新冠疫情防控核酸检测大演练，卫生防疫部门在该社区设置了三个核酸检测点A、B、C，甲、乙两人任意选择一个检测点参加检测．求甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率．（用画树状图或列表的方法求解）
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人不在同一检测点参加检测的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人不在同一检测点参加检测的结果有6种，
∴甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F连接AF，CE．
（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：四边形AFCE是菱形．
【分析】（1）根据矩形的性质得出AD∥BC，求出∠EAO＝∠FCO，根据全等三角形的判定推出△EOA≌△FOC即可；
（2）根据平行四边形的判定得出四边形AFCE是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AC的中点是O，
∴OA＝OC，
在△EOA和△FOC中，
，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴OE＝OF；
（2）∵OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定和平行四边形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝6，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OE、OD，根据切线的性质得到∠OAC＝90°，根据三角形中位线定理得到OE∥BC，证明△AOE≌△DOE，根据全等三角形的性质、切线的判定定理证明；
（2）根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切，
理由如下：连接OE、OD，如图，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，
∴OE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2，
在△AOE和△DOE中，
∴△AOE≌△DOE（SAS）
∴∠ODE＝∠OAE＝90°，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵DE、AE是⊙O的切线，
∴DE＝AE，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝AC＝3，
∠AOD＝2∠B＝2×50°＝100°，
∴图中阴影部分的面积＝2××2×3﹣＝6﹣π．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．
24．（10分）为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】作PD⊥AB于D，构造出Rt△APD与Rt△BPD，根据AB的长度．利用特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：作PD⊥AB于D．
设BD＝xm，则AD＝（x+200）m．
∵∠EAP＝60°，
∴∠PAB＝90°﹣60°＝30°．
在Rt△BPD中，
∵∠FBP＝45°，
∴∠PBD＝∠BPD＝45°，
∴PD＝DB＝x（m）．
在Rt△APD中，
∵∠PAB＝30°，
∴PD＝tan30°•AD，
即DB＝PD＝tan30°•AD，
可得：x＝（200+x），
解得：x≈273.2，
∴PD≈273（m）．
答：凉亭P到公路l的距离为273m．
【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答．
25．（10分）小张是某工厂的一名工人，每天工作8小时，已知他生产6件甲产品和4件乙产品共需170分钟，生产10件甲产品和10件乙产品共需350分钟．
（1）小张每生产一件甲产品和一件乙产品分别需要多少分钟？
（2）工厂工人每日收入由底薪和计件工资组成，每日底薪为100元，按件计酬的方式为每生产一件甲产品得a元（2＜a＜3），每生产一件乙产品得2.5元．小张某日计划生产甲，乙两种产品共28件，请设计出日薪最高的生产方案．
【分析】（1）根据题中条件分别列出生产甲产品和乙产品的时间总和为170分钟和350分钟构成二元一次方程组即可．
（2）先根据工作时间总分钟数小于等于480分钟，求出m的取值范围，表达出日薪w与a，m的函数关系，根据a的取值范围，讨论一次函数的最大值即可得到答案．
【解答】解：（1）设小张每生产一件甲产品用x分钟，生一件乙产品分别需要y分钟，
由题意得：，
解得：，
答：小张每生产一件甲产品用15分钟，生一件乙产品分别需要20分钟．
（2）设生产甲产品m件，则生产乙产品（28﹣m）件，日薪为w元，由题意得，
15m+20（28﹣m）≤8×60，解得，m≥16，且m≤28，故，16≤m≤28．
∴w＝am+2.5（28﹣m）+100，
∴w＝（a﹣2.5）m+170，且16≤m≤28，
①当2＜a＜2.5时，a﹣2.5＜0，w随m增大而减小，所以当m＝16时，w有最大值为（130+16a）元．
②a＝2.5时，a﹣2.5＝0，此时w的最大值就为170元．
③2.5＜a＜3时，a﹣2.5＞0，w随m增大而增大，所以m＝28时，w有最大值为（100+28a）元．
【点评】本题考查了，二元一次方程组的应用中的方案问题，确定出m的取值范围，表达出日薪的函数关系式进行讨论是解决本题的关键．
26．（12分）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是 菱形，正方形 ；
（2）性质证明：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系 AD2+BC2＝AB2+CD2 ．
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，联结CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【分析】（1）由平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质即可得出结论；
（2）利用勾股定理即可得出结论；
（3）先判断CE⊥BG，得出四边形CGEB是垂美四边形，借助（2）的结论求解即可．
【解答】解：（1）在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，对角线垂直的是菱形和正方形，
故答案为：菱形，正方形；
（2）∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
如图1，设AC和BD的交点为E，
∴∠AEB＝∠AED＝∠CEB＝∠CED＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝BE2+EC2+EA2+ED2，AB2+CD2＝AE2+BE2+ED2+EC2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2，
故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）如图2，设AB与CE相交于点M，连接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，
即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝3，CG＝＝4，BE＝＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，
∴GE＝．
【点评】本题主要考查四边形的综合知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．
27．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D（0，3），连接AD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段AO上一点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q，交线段AD于点E，点F是直线AD上一点，连接FQ，FQ＝EQ，当△FEQ的周长最大时，求点Q的坐标和△FEQ周长的最大值；
（3）如图2，已知H（，0）．将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线AD交于点N，连接HN，当△AHN是等腰三角形时，求抛物线的平移距离d．
【分析】（1）将A（﹣4，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+4，用待定系数法求解即可；
（2）过点Q作QM⊥EF于点M，由等腰三角形的性质可得EF＝2EM；由勾股定理得AD＝5；根据cos∠QEM＝cos∠ADO得出等式，将△FEQ的周长用QE表示出来，设Q（m，﹣m2﹣m+4），求得直线AD的解析式，进而写出QE关于m的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得QE的最大值，则可得△FEQ周长的最大值及点Q的坐标；
（3）平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4±d，设xN＝n，则yN＝﹣n2﹣n+4±d，由点N在直线AD上，可得关于n的等式，将d用含n的式子表示出来，即d＝|n2+n﹣1|，再分三种情况：①AN＝AH；②AN＝NH；③AH＝NH，分别得出关于n的方程，解得n的值，再代入d＝|n2+n﹣1|，计算即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；
（2）如图1，过点Q作QM⊥EF于点M，则∠QME＝90°，
∵FQ＝EQ，QM⊥EF，
∴EF＝2EM，
∵A（﹣4，0），D（0，3），
∴OA＝4，OD＝3，
在Rt△AOD中，由勾股定理得AD＝5．
∵PQ⊥x轴，
∴PQ∥OC，
∴∠QEM＝∠ADO，
∴cos∠QEM＝cos∠ADO，
∴＝＝，
∴EM＝QE，EF＝QE，
∴C△FEQ＝QE+EF+FQ＝QE，
∴当QE最大时，△FEQ的周长最大．
设Q（m，﹣m2﹣m+4），其中﹣4≤m≤0．
∵A（﹣4，0），D（0，3），
∴直线AD的解析式为y＝x+3，
∴E（m，m+3），
∴QE＝﹣m2﹣m+4﹣（m+3）
＝﹣m2﹣m+1
＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝﹣时，QE有最大值，最大值为，
∴△FEQ周长的最大为×＝8.1，此时点Q的坐标为（﹣，）；
（3）由题知：平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4±d．
设xN＝n，则yN＝﹣n2﹣n+4±d．
又∵直线AD的解析式为y＝x+3，点N在AD上，
∴yN＝n+3，
∴﹣n2﹣n+4±d＝n+3，
∴d＝|n2+n﹣1|，
∵H（，0），A（﹣4，0），
∴AH＝﹣（﹣4）＝．
当△AHN是等腰三角形时，
①若AN＝AH，则（n+4）2+＝，
解得n1＝﹣9（舍去），n2＝1，
∴d＝|×12+×1﹣1|＝；
②若AN＝NH，则n+4＝﹣n，
解得n＝﹣，
∴d＝|×（﹣）2+×（﹣）﹣1|＝；
③若AH＝NH，则+＝，
解得n1＝﹣4（舍去），n2＝4，
∴d＝|×42+×4﹣1|＝14．
综上，抛物线的平移距离d的值为或或14．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、一次函数和二次函数的性质及一元二次方程的应用等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
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