第四章 4.2三角函数基本关系及诱导公式-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)

(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　×　)

(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　)

(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(　√　)

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：＝tan α.

2．各角的终边与角α的终边的关系

3.六组诱导公式

题型一　同角三角函数关系式的应用

例1　(1)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)

A．－   B.

C．－   D.

(2)化简：(1＋tan2α)(1－sin2α)＝________.

答案　(1)B　(2)1

解析　(1)∵＜α＜，

∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α，

∴cos α－sin α＞0.

又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，

∴cos α－sin α＝.

(2)(1＋tan2α)(1－sin2α)＝(1＋)·cos2α

＝·cos2α＝1.

思维升华　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．

(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．

(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

　已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α等于(　　)

A．－1   B．－

C.   D．1

答案　A

解析　由

消去sin α得2cos2α＋2cos α＋1＝0，

即(cos α＋1)2＝0，

∴cos α＝－.

又α∈(0，π)，

∴α＝，

∴tan α＝tan＝－1.

题型二　诱导公式的应用

例2　(1)(2016·杭州模拟)已知f(x)＝，则f(－)＝________.

(2)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)

A．{1，－1,2，－2}   B．{－1,1}

C．{2，－2}   D．{1，－1,0,2，－2}

答案　(1)－1　(2)C

解析　(1)f(x)＝＝－tan2x，

f(－)＝－tan2(－)＝－tan2π＝－1.

(2)当k为偶数时，A＝＋＝2；

当k为奇数时，A＝－＝－2.

∴A的值构成的集合是{2，－2}．

思维升华　(1)诱导公式的两个应用

①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．

②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．

(2)含2π整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.

　(1)化简：＝________.

(2)(2016·南京模拟)已知角α终边上一点P(－4,3)，则

的值为________．

答案　(1)－1　(2)－

解析　(1)原式＝

＝＝

＝－＝－·＝－1.

(2)原式＝＝tan α，

根据三角函数的定义得tan α＝－.

题型三　同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用

例3　(1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0化简为

－2tan α＋3sin β＋5＝0，①

tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为

tan α－6sin β－1＝0.②

由①②消去sin β，解得tan α＝3.

又α为锐角，根据sin2α＋cos2α＝1，

解得sin α＝.

(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－.

①求sin x－cos x的值；

②求的值．

解　①由已知，得sin x＋cos x＝，

sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，

整理得2sin xcos x＝－.

∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.

由－π<x<0，知sin x<0，

又sin x＋cos x>0，

∴cos x>0，sin x－cos x<0，

故sin x－cos x＝－.

②＝

＝

＝＝－.

引申探究

本题(2)中若将条件“－π<x<0”改为“0<x<π”，求sin x－cos x的值．

解　若0<x<π，又2sin xcos x＝－，

∴sin x>0，cos x<0，

∴sin x－cos x>0，故sin x－cos x＝.

思维升华　(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．

(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．

　已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)等于(　　)

A.   B．－

C.   D．－

答案　D

解析　由已知sin＝，

得cos α＝，

∵α∈，

∴sin α＝，

∴sin(π＋α)＝－sin α＝－.

7．分类讨论思想在三角函数中的应用

典例　(1)已知sin α＝，则tan(α＋π)＋＝________.

(2)(2016·湛江模拟)已知k∈Z，化简：

＝________.

思想方法指导　(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．

(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k是奇数或偶数进行讨论．

解析　(1)∵sin α＝＞0，

∴α为第一或第二象限角．

tan(α＋π)＋＝tan α＋

＝＋＝.

①当α是第一象限角时，cos α＝＝，

原式＝＝.

②当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，

原式＝＝－.

综上①②知，原式＝或－.

(2)当k＝2n(n∈Z)时，

原式＝

＝

＝＝－1；

当k＝2n＋1(n∈Z)时，

原式＝

＝

＝＝－1.

综上，原式＝－1.

答案　(1)或－　(2)－1

1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．

2．同角三角函数基本关系式的常用变形：

(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；

(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；

(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.

1．(2016·宁波模拟)已知cos α＝，α∈(0，π)，则tan α的值等于(　　)

A.   B.

C．－   D．－

答案　B

解析　∵α∈(0，π)，

∴sin α＝＝ ＝，

由tan α＝，得tan α＝.

2．已知tan(α－π)＝，且α∈(，)，则sin(α＋)等于(　　)

A.   B．－

C.   D．－

答案　B

解析　由tan(α－π)＝，得tan α＝，∴α∈(π，)，

由及α∈(π，)，

得cos α＝－，

而sin(α＋)＝cos α＝－.

3．若角α的终边落在第三象限，则＋

的值为(　　)

A．3   B．－3

C．1   D．－1

答案　B

解析　由角α的终边落在第三象限，

得sin α＜0，cos α＜0，

故原式＝＋＝＋＝－1－2

＝－3.

4．若sin(π－α)＝－2sin(＋α)，则sin α·cos α的值等于(　　)

A．－   B．－

C.或－   D.

答案　A

解析　由sin(π－α)＝－2sin(＋α)，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，sin α·cos α＝＝＝－.

5．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为(　　)

A．－1   B．1

C．3   D．－3

答案　D

解析　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)

＝asin α＋bcos β＝3，

∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)

＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)

＝－asin α－bcos β

＝－3.

 *6.(2016·揭阳模拟)若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　)

A．1＋   B．1－

C．1±   D．－1－

答案　B

解析　由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，

又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，

∴＝1＋，

解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，

∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.

7．已知α为钝角，sin(＋α)＝，则sin(－α)＝_____________________________.

答案　－

解析　因为α为钝角，所以cos(＋α)＝－，

所以sin(－α)＝cos[－(－α)]＝cos(＋α)＝－.

8．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)＝________.

答案　－

解析　f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－.

9．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则＝________.

答案　2

解析　由题意可得tan θ＝2，

原式＝＝＝2.

10．(2016·宁波模拟)已知α为第二象限角，则

cos α＋sin α ＝________.

答案　0

解析　原式＝cos α ＋sin α

＝cos α＋sin α，

因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，

所以cos α＋sin α＝－1＋1＝0，即原式等于0.

11．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：

(1)；

(2)sin2α＋sin 2α.

解　由已知得sin α＝2cos α.

(1)原式＝＝－.

(2)原式＝

＝＝.

12．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.

(1)求sin Acos A的值；

(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；

(3)求tan A的值．

解　(1)∵(sin A＋cos A)2＝，

∴1＋2sin Acos A＝，

∴sin Acos A＝－.

(2)∵sin Acos A<0，

又0<A<π，∴cos A<0，

∴A为钝角，

∴△ABC为钝角三角形．

(3)(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝.

又sin A－cos A>0，

∴sin A－cos A＝，

∴sin A＝，cos A＝－，

故tan A＝－.

 *13.已知f(x)＝(n∈Z)．

(1)化简f(x)的表达式；

(2)求f()＋f()的值．

解　(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，

f(x)＝

＝＝

＝sin2x；

当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，

f(x)＝

＝

＝＝＝sin2x，

综上得f(x)＝sin2x.

(2)由(1)得f()＋f()

＝sin2＋sin2

＝sin2＋sin2(－)

＝sin2＋cos2＝1.

1．(2015·福建)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　D

解析　∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴cos α＝，

∴tan α＝＝－，故选D.

2．(2016·临安中学模拟)计算：sin π＋cos π等于(　　)

A．－1   B．1

C．0   D.－

答案　A

解析　∵sin π＝sin(π＋π)＝－sin ＝－，

cos π＝cos(2π＋)＝cos ＝－，

∴sin π＋cos π＝－1.

3．(2016·绍兴柯桥区二模)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α等于(　　)

A．－   B．－

C.   D.

答案　A

解析　由sin α＋cos α＝，得2sin αcos α＝－，

∴(sin α－cos α)2＝，

又α∈(0，π)，sin α>0，cos α<0，

∴sin α－cos α＝，

∴sin α＝，cos α＝－，故tan α＝－.

4．已知函数f(x)＝则f(f(2 018))＝________.

答案　－1

解析　∵f(f(2 018))＝f(2 018－18)＝f(2 000)，

∴f(2 000)＝2cos＝2cos π＝－1.