云南省西双版纳傣族自治州景洪市第三中学2024-2025学年高二下学期开学考 数学试题（含解析）

这是一份云南省西双版纳傣族自治州景洪市第三中学2024-2025学年高二下学期开学考 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答题前请在答题卡上写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：D
2. 已知平行六面体（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的加法运算，结合平行六面体计算即得.
【详解】在平行六面体中，==.
故选：C
3. 已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
又直线过点，所以直线的方程为.
故选：D
4. 已知直线与垂直，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用一般式方程下两直线垂直的公式代入求解即可得到结果.
【详解】若直线与垂直，
则，解得.
故选：B.
5. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据双曲线的方程和几何性质可得答案．
【详解】∵双曲线
∴双曲线渐近线为
即
故选：D
6. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】先把抛物线转化为标准方程进而得出焦点坐标及准线，最后求出距离.
【详解】抛物线转化为，则焦点为，准线为，焦点到准线的距离为4.
故选：B.
7. 已知等比数列，，，则公比等于（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式计算可得.
【详解】因为，，所以，解得.
故选：C
8. 在等差数列中，，则公差（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】应用等差数列通项公式基本量运算即可求解.
【详解】因为等差数列，所以
所以.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 已知向量，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的坐标公式计算即可.
【详解】因为向量，，，
所以，解得或.
故选：BD.
10. 在平行六面体中与向量相等的向量有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】直接利用相等向量的定义,结合平行六面体的几何特征即可求解．
【详解】如图，
在平行六面体中，与相等的向量有3个，
分别是，，．
故选：BC．
11. 已知曲线，则下列正确的有（ ）
A. 若，则曲线的离心率为
B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上
C. 若，则为双曲线，其渐近线方程为
D. 若，则是圆，其半径为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据圆、椭圆、双曲线的标准方程和几何性质即可逐项判断.
【详解】对于选项A：若，则C为双曲线，，故A正确；
对于选项B：若，则是椭圆，其焦点在x轴上，故B错误；
对于选项C：若，则为双曲线，其渐近线方程为，即，故C正确；
对于选项D：若，则是圆,半径为，故D正确.
故选：ACD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知数列的前n项和满足，则______.
【答案】8
【解析】
【分析】根据给定条件，利用第n项与前n项和的关系求得答案.
【详解】数列中，由，得
故答案为：8
13. 以为圆心，为半径的圆的标准方程是_______.
【答案】
【解析】
【分析】直接根据已知写出圆的标准方程得解.
【详解】由题得圆的标准方程为.
故答案为：.
14. 一种卫星接收天线（如下图左所示）曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如下图右所示）.已知接收天线的口径（直径）为4米，深度为0.5米，则该抛物线的焦点到顶点的距离为_____米.
【答案】2
【解析】
【分析】由题意建系，设抛物线的方程为，由抛物线经过的点求出的值，则易得焦点到顶点的距离.
【详解】
如图建系，设抛物线的方程为，由题意抛物线过点，
代入解得，故拋物线的焦点到顶点的距离为米.
故答案为：2.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知空间三点，设
（1）求；
（2）若向量与互相垂直，求实数k的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先求出的坐标，再利用向量数量积的坐标公式计算即得；
（2）先求出和，再利用向量垂直充要条件列出方程，代入化简计算即得k值.
【小问1详解】
由题意，，则；
【小问2详解】
由（1）可得
因向量与互相垂直，则得：，
解得，或.
16. 已知点，线段是圆的一条直径.
（1）求圆的标准方程；
（2）点是圆上任意一点，求点到直线的最大距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】由直径的两个端点，求出圆心和半径即可；
先判断直线与圆的位置关系，再通过位置关系，求出圆上任意一点到直线距离的最大.
【小问1详解】
因为，线段是为圆的直径，
所以圆心为线段的中点，圆心坐标为，
所以圆的半径，
所以圆的标准方程为：
【小问2详解】
圆心到直线的距离，
所以圆与直线相离
所以圆上任意一点到直线的距离的最大值为：
17. 已知数列的通项公式为．
（1）计算的值；
（2）是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．
【答案】（1）
（2）是数列的第10项．
【解析】
【分析】（1）利用给定的递推公式，代值计算即可.
（2）利用方程的正整数解即可得解.
【小问1详解】
数列中，，，
所以.
【小问2详解】
若为数列中的项，则，
即，整理得，而，解得，
所以是数列的第10项.
18. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值；
（2）利用向量法可求出点到平面的距离．
【小问1详解】
依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
又分别是棱，，的中点，，．
所以,
所以有：，
设平面的法向量为，则有
所以，令，有，
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【小问2详解】
因为，由（1）有平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为：.
19. 已知椭圆（）长轴长为8，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）以的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为，求的方程及其渐近线方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意列式求，即可得方程；
（2）设，再根据题意得到，进而可得双曲线方程和渐近线方程.
小问1详解】
由题意可知：，可得，
则，所以椭圆方程为.
【小问2详解】
椭圆的焦点为，且短轴长为．
以为左，右顶点的双曲线的方程设为．
依题意得，所以双曲线方程为．
其渐近线方程为．