2024-2025学年云南省西双版纳傣族自治州景洪市第三中学高二下学期开学考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年云南省西双版纳傣族自治州景洪市第三中学高二下学期开学考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=−2,3,1,b=0,−1,4，则2a+3b=( )
A. −4,6,14B. −4,0,6C. −4,3,6D. −4,3,14
2.已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1,AB+AD+CC1=( )
A. CAB. ACC. AC1D. C1A
3.已知直线的倾斜角为60 ∘，且过点P0,1，则直线的方程为( )
A. y= 33x−1B. y= 33x+1C. y= 3x−1D. y= 3x+1
4.已知直线l1:x+1−ky+1=0与l2:2y+3=0垂直，则k=( )
A. 0B. 1C. 2D. 12
5.双曲线x29−y23=1的渐近线方程是( )
A. y=±3xB. y=±13xC. y=± 3xD. y=± 33x
6.抛物线x2+8y=0的焦点到准线的距离为( )
A. 2B. 4C. 8D. 16
7.已知等比数列an，a1=1，a4=−8，则公比q等于( )
A. −12B. 12C. −2D. 2
8.在等差数列an中，a1+a3=6,a4=5，则公差d=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(−2,x,1)，b=(0,x−2,−1)，若a⋅b=2，则x的值为( )
A. 4B. 3C. 0D. −1
10.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中与向量AB相等的向量有( )
A. CDB. A1B1C. D1C1D. BC
11.已知曲线C:x2m+y2n=1，则下列正确的有( )
A. 若m=1,n=−1，则曲线C的离心率为 2
B. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
C. 若mn0，则C是圆，其半径为 m
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列an的前n项和Sn满足Sn=n2+nn∈N∗，则a4= ．
13.以C3,4为圆心， 3为半径的圆的标准方程是 ．
14.一种卫星接收天线(如下图左所示)曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处(如下图右所示).已知接收天线的口径(直径)为4米，深度为0.5米，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 米.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知空间三点A(−2,0,2),B(−1,1,2),C(−3,0,4)，设a=AB,b=AC.
(1)求a⋅b；
(2)若向量ka+b与ka−2b互相垂直，求实数k的值．
16.(本小题12分)
已知点A0,1,B2,1，线段AB是圆C的一条直径．
(1)求圆C的标准方程；
(2)点P是圆C上任意一点，求点P到直线x+y+1=0的最大距离．
17.(本小题12分)
已知数列an的通项公式为an=1nn+2n∈N∗．
(1)计算a3+a4的值；
(2)1120是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．
18.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90 ∘，D,E,F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=1，PA=2．
(1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；
(2)求点P到平面DEF的距离．
19.(本小题12分)
已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0长轴长为8，离心率为12．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)以C1的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为C2，求C2的方程及其渐近线方程．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.B
5.D
6.B
7.C
8.C
9.BD
10.BC
11.ACD
12.8
13.(x−3)2+(y−4)2=3
14.2
15.解：(1)由题意，a=AB=(1,1,0),b=AC=(−1,0,2)，则a⋅b=(1,1,0)⋅(−1,0,2)=−1；
(2)由(1)可得|a|= 2,|b|= 5,
因向量ka+b与ka−2b互相垂直，则得：(ka+b)⋅(ka−2b)=k2|a|2−ka⋅b−2|b|2=2k2+k−10=0，
解得，k=2或k=−52．

16.解：(1)因为A0,1,B2,1，线段AB是为圆C的直径，
所以圆心C为线段AB的中点，圆心坐标为C1,1，
所以圆C的半径r=AB2= 0−22+1−122=1，
所以圆C的标准方程为：x−12+y−12=1.
(2)圆心C1,1到直线x+y+1=0的距离d=1+1+1 12+12=3 2=3 22>r=1，
所以圆C与直线x+y+1=0相离
所以圆C上任意一点Px,y到直线x+y+1=0的距离的最大值为：d+r=3 22+1.

17.解：(1)数列an中，an=1nn+2，a3=13×5=115,a4=14×6=124，
所以a3+a4=115+124=13120．
(2)若1120为数列an中的项，则1nn+2=1120，
即nn+2=120，整理得n2+2n−120=0，而n∈N∗，解得n=10，
所以1120是数列an的第10项．

18.解：(1)依题意：以A为坐标原点，AB,AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
又D,E,F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=1，PA=2．
所以A0,0,0,B1,0,0,C0,1,0,P0,0,2,D12,0,0,E12,12,0,F0,12,1，
所以有：AP=0,0,2,DF=−12,12,1,DE=0,12,0，
设平面DEF的法向量为n=x,y,z，则有n⊥DF,n⊥DE.
所以n⋅DF=−12x+12y+z=0n⋅DE=12y=0⇒x=2zy=0，令z=1，有n=2,0,1，
设直线PA与平面DEF所成角为θ，则sinθ=n⋅APnAP=22× 5= 55．
所以直线PA与平面DEF所成角的正弦值为 55．
(2)因为DP=−12,0,2，由(1)有平面DEF的一个法向量为n=2,0,1，
所以点P到平面DEF的距离为：d=n⋅DPn=−1+2 5= 55．

19.解：(1)
由题意可知：2a=8e=ca=12，可得a=4c=2,
则b= a2−c2=2 3，所以椭圆C1的方程为x216+y212=1．
(2)设双曲线C2的实轴长为2a1，虚轴长为2b1，焦距为2c1，
由C2以C1的焦点为顶点，a1=2
以C1的短轴为虚轴，则b1=2 3
所以双曲线C2的方程为x24−y212=1，渐近线方程为y=± 3x．