云南省腾冲市第八中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份云南省腾冲市第八中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了 双曲线的渐近线方程为， 记等差数列的前n项和为， 若直线与平行，则实数的值为， 的展开式中的常数项为， 下列导数运算正确的是， 下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线的方程可知，即可直接写出其渐近线的方程.
【详解】由双曲线的方程可知，根据渐近线方程公式，得到渐近线方程为.
故选：D.
2. 记等差数列的前n项和为.若，，则（ ）
A. 49B. 63C. 70D. 126
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的项的“等和性”得到，再运用等差数列的前n项和公式计算即得.
【详解】因是等差数列，故，于是
故选：B
3. 若直线与平行，则实数的值为（ ）
A. 0B. 2C. 3D. 2或3
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线平行可得，运算求解并代入检验即可.
【详解】若直线与平行，
则，整理可得，解得或，
若，则与平行，符合题意；
若，则与重合，不合题意；
综上所述：.
故选：B.
4. 的展开式中的常数项为（ ）
A. B. 20C. D. 30
【答案】A
【解析】
【分析】首项写出展开式的通项，再令的指数为1，从而计算可得；
【详解】解：二项式展开式的通项为，
令，解得，所以
故选：A
【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本初等函数的导数即可得解.
详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
6. 已知圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两圆圆心距与半径和差得关系即可求解；
【详解】由题意可得：，
即：，
解得：，且，
所以的取值范围为，
故选：C
7. 2025年的寒假就要到了，甲、乙、丙、丁四个同学都计划去旅游，除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，延边打卡也火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个同学恰好选择三个城市旅游的方法种数共有（ ）
A. 1800B. 1080C. 720D. 360
【答案】C
【解析】
【分析】先求出恰有个同学所选的旅游地相同，再应用分步计数及排列、组合数求得结果.
【详解】第一步，先选恰有个同学所选的旅游地相同，有种；
第二步，从个旅游地中选出个排序，有种，
根据分步计数原理可得，方法有种.
故选：C
8. 已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知结合椭圆定义得出，再结合余弦定理得出，进而得出离心率.
【详解】
因为，又因为，所以，
因为，则，，
在中，，
所以，
所以，
所以，所以.
故选：D.
二､多选题本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 为等比数列的前三项，则的可能值为（ ）
A. 4B. 5C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列定义列式求解即得.
【详解】由为等比数列的前三项，得，所以或.
故选：AC
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 过、两点的直线方程为
B. 点关于直线的对称点为
C. 若直线过，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则的方程为
D. 直线的倾斜角为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用直线的两点式方程可判断A选项；利用点关于直线的对称性可判断B选项；利用直线的截距式方程可判断C选项；利用直线倾斜角与斜率的关系可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，过、两点的直线方程不能用表示，A错；
对于B选项，设点关于直线的对称点为，
由题意可知，直线与直线垂直，且线段的中点在直线上，
所以，，解得，
所以，点关于直线的对称点为，B对；
对于C选项，若直线过，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，
当直线过原点时，设直线的方程为，可得，解得，
此时，直线的方程为，即，
当直线不过原点时，设直线方程为，即，
所以，，解得，此时，直线的方程为，
综上所述，直线的方程为或，C错；
对于D选项，直线的斜率为，其倾斜角为，D对.
故选：BD.
11. 已知点是抛物线上一点，是抛物线的焦点，直线与抛物线相交于不同于的点，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可判断A选项；利用抛物线的焦半径公式可判断B选项；将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，结合抛物线的焦点弦长公式可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断D选项.
【详解】将点坐标代入抛物线的方程，可得，可得，A对；
所以，抛物线方程为，其准线方程为，故，B对；
易知点，直线的斜率为，直线的方程为，
联立，解得或，即点，
所以，，C对；
，故、不垂直，D错.
故选：ABC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 用数字0､2､5､7四个数可以组成__________个无重复数字的三位数．
【答案】18
【解析】
【分析】先根据三位数是否含0分为两类，利用排列数列式，再由分类加法计数原理计算即得.
【详解】依题意，由数字0､2､5､7组成无重复数字的三位数可分为两类：
第一类：不含0，有个；第二类：包含0，有个，
由分类加法计数原理，可得所求三位数有个.
故答案为：18.
13. 数列是以2为首项，3为公差的等差数列，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用等差数列通项公式计算推理即得.
【详解】依题意，，
故得.
故答案为：.
14. 已知正方体的棱长为2，为侧面内（含边界）的一个动点，是线段的中点，若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据线面角得出的轨迹，结合边长得出角进而应用弧长公式求出侧面内的劣弧；
【详解】以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立坐标系 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
设 ，
当直线 与平面 所成的角为时，
，
所以 ，
则点 的轨迹是以 为球心，为半径的球，
为侧面 内的一个动点，
则点 的轨迹在侧面 内是以 为圆心，为半径的劣弧，
设轨迹分别交 于点 ， ，
可得 ，
则 ，则 ，
劣弧 的长为 ，
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 某校高二年级举行了“学宪法、讲宪法”知识竞赛，为了了解本次竞赛的学生答题情况，从中抽取了200名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中x的值，并估计该200名学生成绩的中位数和平均数；
（2）若在和的样本成绩对应的学生中按分层抽样的方法抽取7人进行访谈，再从这七人中随机抽取两人进行学习跟踪，求抽取的两人都来自组的概率.
【答案】（1）0.016，71，70.6
（2）
【解析】
【分析】（1）运用频率相加等于1即可求出x的值，并利用中点值以及占比计算出平均值，面积法得到中位数；
（2）使用排列组合公式结合古典概型，即可求解.
【小问1详解】
由图知，，
因为，所以学生成绩的中位数在内，
设200名学生成绩的中位数为m，因为，
解得，所以200名学生成绩的中位数是.
因为，
所以200名学生成绩的平均数为
【小问2详解】
由题意，在和的样本成绩对应的学生的人数为
现要按分层抽样抽取7人，则在和成绩分组中各抽取3人，4人；
则所以从这7名学生中随机抽取2人，2人成绩都在抽取的两人都来自组的概率为.
16. 已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为．
（1）求的方程和焦点坐标；
（2）设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求．
【答案】（1）方程为，左、右焦点坐标分别为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据双曲线虚轴长以及离心率联立方程组即可得出的方程；
（2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理以及弦长公式计算可得.
【小问1详解】
因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以，
又，
联立解得，，
所以的方程为，左、右焦点坐标分别为．
【小问2详解】
由（1）知，
根据题意易得过的直线斜率存在，
设的直线方程为，如下图所示：
联立，化简得，
所以，
因为中点横坐标为3，所以，
解得，所以，
则，
则．
17. 如图，在四棱锥中，平面，，，且．
（1）求直线与直线所成角的大小；
（2）求直线PD与平面PAC所成角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与直线所成角的大小.
（2）利用向量法来求得直线PD与平面PAC所成角的正弦值．
【小问1详解】
由于平面，平面，所以，
由于，所以两两相互垂直.
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，设直线与直线所成角为，
则，
由于，所以.
【小问2详解】
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线PD与平面PAC所成角为，
则.
18. 在中，内角所对的边分别为，，.已知.
（1）求角的大小；
（2）设，
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求的值.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理计算可得，即；
（2）（ⅰ）利用余弦定理代入计算可得；
（ⅱ）由余弦定理得推论计算可得，再根据同角三角函数基本关系以及三角恒等变换计算可得结果.
【小问1详解】
依题意根据由正弦定理可得；
又，所以可得，
即，所以，
可得，又，
解得.
【小问2详解】
（ⅰ）由以及，
利用余弦定理可得，
解得；
（ⅱ）由，可得；
又，因此可得；
可知，
；
所以.
19. 已知数列的前项和，设．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由结合对数运算即可求得答案；
（2）利用错位相减法求和即可.
【小问1详解】
∵
当时，
当时，
当时，符合上式，
∴
∴；
【小问2详解】
设
由（1）知
∴
∴
∴