云南省昭通市镇雄县赤水源中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份云南省昭通市镇雄县赤水源中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共16页。
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求函数定义域求集合，再应用集合的交运算求集合.
【详解】由，则.
故选：C
2. 已知复数的实部为2，且，则虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的计算公式，结合复数的定义，即可求解.
【详解】由条件可知，，则，
则，则，
所以的虚部为.
故选：B
3. 已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据参数是否等于零分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式，求解即可.
【详解】由题意，命题“，”是真命题，
当时，不等式，解得，不满足题意；
当时，，解得
综上所述，实数的取值范围是
故选：A.
4. 已知数列满足，且，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据递推公式直接代入运算求解.
【详解】因为，
令，可得；
令，可得；
令，可得；
令，可得；
故选：C.
5. 函数部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，再取特殊值.
【详解】因为，，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C项、D项，
，排除A项.
故选：B.
6. 已知，，，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数单调性及中间值比较大小
【详解】因为在上单调递增，故，
而单调递增，故，
，
所以.
故选：D
7. 已知直线与圆相交于两点，且，则实数（ ）
A. 或B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得圆的圆心、半径，结合得点到直线的距离为，由此即可列方程求解.
【详解】圆，即的半径为，圆心为，
因为，所以点到直线的距离为，
所以，解得或
故选：A.
8. 设双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线C的离心率为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】取M为的中点，为右焦点，根据条件得，由在上的投影向量的模为得，利用双曲线的定义可得结果.
【详解】取M为的中点，为右焦点，∵,
∴，∴，∵在上的投影为，∴,
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
故选：C
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线的离心率问题往往需根据题目条件建立关于的一个等量关系或不等关系，结合离心率定义得解.
二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数，下列选项正确的是（ ）
A. 当时，的定义域为B. 当时，
C. 当时，为偶函数D. 当时，函数的图象恒过定点
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用具体函数定义域的求法即可判断A；利用幂函数的单调性可判断B，利用函数奇偶性的定义可判断C，利用幂函数图象恒过定点的性质可判断D，从而得解.
【详解】对于A，当时，，此时的定义域为，故A错误；
对于B，当时，，则在单调递减，
所以，故B正确；
对于C，当时，，则，为偶函数，故C正确；
对于D，当时，，则函数的图象恒过定点，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知等差数列是递减数列，且，前n项和为，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. 当时，最小D. 当时，n的最小值为8
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式可得，从而判断A、B；由等差数列前n项和公式可判断C、D.
【详解】由，得，即，
由等差数列是递减数列，知，则，
而，
当或时，最大，
令，解得，即当时，n的最小值为8.
故选：ABD
11. 将函数图象上所有的点向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列关于说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为1
B. 在上为增函数
C. 对于任意都有
D. 若方程在上有且仅有4个根，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据图象变换得到的解析式，进而可判断A，B，C选项；对D，题意转化为在上有且仅有4个根，根据正弦函数的性质求解判断.
【详解】把函数图象上所有的点向左平移个单位，可得，
再把所得各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）得到函数，
对于A，周期，故A正确；
对于B，令，，即，，
所以函数的单调递增区间为，，故B错误；
对于C，
.故C正确；
对于D，根据题意方程即在上有且仅有4个根，
，
由正弦函数性质得，解得，故D错误.
故选：AC.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用二倍角公式以及弦切互化即可求解.
【详解】，
故答案为：
13. 设等比数列的前项和为，已知，则__________
【答案】8
【解析】
【分析】根据给定条件，求出等比数列公比，进而求出.
【详解】设等比数列为，由，
得，解得，
所以.
故答案：8
14. 已知过原点O的一条直线l与圆C：相切，且l与抛物线交于O，P两点，若，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据直线与圆相切可得，进而联立直线与抛物线方程，可得，即可根据两点间的距离公式求解.
【详解】由于圆心为，半径为，故直线一定有斜率，
设方程为，则，解得，
故直线方程为，
联立与可得或，
故，故，
故答案为：3

四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 设三角形的内角的对边分别为且.
（1）求角的大小；
（2）若边上的高为，求三角形的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形内角和的关系以及二倍角的余弦公式，并由辅助角计算可得结果；还可以根据二倍角的正弦公式求出正切值计算；
（2）由三角形面积公式代入计算可得，求出周长.
【小问1详解】
因为为三角形的内角，所以，
因为，所以可化为，
即，即，又易知，
解得，即.
【小问2详解】
由三角形面积公式得，
代入得：，所以，
故为正三角形，，周长等于
16. 随着生活水平的提高，人们对零食的需求也在增加，特别是对于青少年消费者，零食已经成为他们日常消费的一部分，人们消费观念的转变促使零食集合店迅速扩张，截至2023年年底，中国零食集合店已突破2万家．某传媒公司为了了解青少年消费者对甲、乙两家零食集合店的满意程度，随机统计了10名青少年消费者对这两家零食集合店的打分（满分10分），结果如下：
（1）求这10名青少年消费者对甲、乙两家零食集合店打分的平均数及方差；
（2）该传媒公司计划从这10名青少年消费者中给甲或乙零食集合店打分不超过5分的消费者中随机选取2人，谈谈如何提高青少年消费者对零食集合店的满意度，求选取的2人中至少有1人给甲零食集合店打分不超过5分的概率．
【答案】（1）7；7；2.6；4；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由平均数及方差公式，代入数据计算可得；
（2）先求出所有可能的情况种数，再求出选取的2人中至少有1人给甲零食集合店打分不超过5分的事件种数，由古典概型公式即可求得.
【小问1详解】
，
，
，
．
【小问2详解】
这10名青少年消费者中给甲或乙零食集合店打分不超过5分的消费者的编号分别为01，03，04，05，06，10，共有6人，
从中随机选取2人，所有可能的情况有，，共15种，
设事件为“选取的2人中至少有1人给甲零食集合店打分不超过5分”，则事件包含的情况有，共9种，
所以所求概率．
17. 已知公差不为0的等差数列和等比数列中，，，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若为数列的前n项和，求使成立的n的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列等比数列求解公差与公比，求解通项公式；
（2）裂项相消法求和，利用，求出范围.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
由题意可得即
又因为，所以，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，
所以.
因为，所以，又，所以.
所以满足题意的的取值范围为.
18. 已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：

（1）证明：平面平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）若点是的中点，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）取的中点为，根据长度以及位置关系证明出平面，由此可证明平面平面；
（2）根据平面结合棱锥的体积公式可求结果；
（3）分别求解出平面和平面的一个法向量，根据法向量夹角的余弦值求解出结果.
【小问1详解】
取的中点为，连接，，

由题意得，，
因为在中，，为的中点，所以，
因为在中，，，，，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
因为平面，是边长为的等腰直角三角形，
故三棱锥的体积为：.
【小问3详解】
因为，，，
所以可以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，所以，故，
令，得，，即，
设平面的法向量为，则，所以，故，
令，得，，即，
所以，
所以由图可知，二面角的余弦值为.
19. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的最大值，并求此时直线的方程；
（3）求的最小值．
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根据离心率和焦点三角形周长性质求解；
（2）设直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理求，根据基本不等式求最值；
（3），由向量数量积的坐标运算结合韦达定理求最值.
【小问1详解】
由题得，
∴，
所以椭圆的方程为
【小问2详解】
因为，
所以设直线的方程为，
由消去得，
所以，
∴．
令，则．
当且仅当，即时等号成立，此时直线方程为：．
【小问3详解】
因为，
，
由题意
，
∵，∴，
∴当时，取得最小值．
【点睛】关键点点睛：直线方程与曲线方程联立方程组，利用韦达定理求表示面积和向量数量积，再求最值.
消费者编号
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
甲
6
10
7
9
6
5
6
8
8
5
乙
5
9
5
4
5
7
10
9
8
8