湖南省永州市永华高级中学2024_2025学年高一下学期3月份月考 数学试题（含解析）

这是一份湖南省永州市永华高级中学2024_2025学年高一下学期3月份月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．或
C．D．或
3．已知，那么函数的最小值是（ ）
A．5B．6C．4D．8
4．不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．函数f(x)=的零点所在的一个区间是
A．（-2，-1）B．（-1,0）C．（0,1）D．（1,2）
6．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．角的终边与单位圆的交点坐标为，将的终边绕原点顺时针旋转，得到角，则（ ）
A．B． C． D．0
8．已知函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是（ ）
A．1B．3C．5D．7
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列函数中，是周期函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ）
A．B．
C．D．
11．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）
A．B＝60°，c＝4，b＝5，有两解
B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解
C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解
D．B＝60°，c＝4，b＝2，无解
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知幂函数的图象过点，则 .
13．化简：= .
14．若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，若，求实数a的值.
16．已知函数.
（1）求的值；
（2）将函数的图像向左平移后得到函数，若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17．已知向量，，其中，且.
（1）求和的值;
（2）若，且，求角.
18．在中，角，，所对的边分别为，，，满足.
（1）求的大小；
（2）若，求面积的最大值.
19．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售单价（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售单价为元/千克时，每日可售出该商品千克.
（1）求的值；
（2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】∵，∴，
又，所以，
故选C.
2．【答案】C
【详解】解不等式，得或，
结合四个选项，D是其充要条件，AB是其既不充分也不必要条件，C选项是其充分不必要条件.
故选：C.
3．【答案】B
【解析】根据基本不等式可求得最小值．
【详解】∵，∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值是6．
故选：B．
4．【答案】B
【解析】将转化为，利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】由可得，
解得，
所以不等式的解集为.
故选B
5．【答案】B
【详解】试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B．
考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．
点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．
6．【答案】D
【分析】根据对数函数的特征确定函数的定义域，再利用函数的单调性得出结果.
【详解】由得或，
所以的定义域为，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以.
故选D.
7．【答案】A
【分析】
先求的正余弦三角函数，再求的正余弦三角函数，然后根据余弦的两角和与差的公式计算即可得到答案.
【详解】
由角的终边经过点，得，
因为角的终边是由角的终边顺时针旋转得到的，
所以
，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的定义以及两角和与差的正余弦公式的应用，属于中档题.
8．【答案】D
【分析】
由题意，是函数的最大值，可得.由，可得.对进行赋值，结合函数的单调性，即得答案.
【详解】
由题意，是函数的最大值，，即．
，．
当时，，在上单调递增，不符合题意；
当时，，符合题意.
的最小值为7.
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的单调性，属于基础题.
9．【答案】ABC
【详解】对于A，，的最小正周期为；
对于B，，的最小正周期为；
对于C，，的最小正周期为；
对于D，∵，∴函数图象关于轴对称，不具有奇偶性，故错误.
故选ABC
10．【答案】ACD
【详解】对于A：因为零向量和任意向量平行，故A中向量不可作基底；
对于B：因为，故B中两个向量不共线，可以作为基底；
对于C：因为，所以C中两个向量共线，故C中向量不可作基底；
对于D：因为，所以D中两个向量共线，故D中向量不可作基底.
故选ACD.
11．【答案】ABC
【详解】对于，因为为锐角且，所以三角形有唯一解，故错误；
对于，因为为锐角且，所以三角形有两解，故错误；
对于，因为为锐角且 ，所以三角形无解，故错误；
对于，因为为锐角且，所以三角形无解，故正确.
故选ABC.
12．【答案】
【详解】因为函数是幂函数，所以，所以
因为幂函数的图象过点，
所以，所以，
所以，
13．【答案】
【详解】，
，
14．【答案】（﹣∞，﹣2]
【详解】设，
若函数的值域为，，
则等价于，是值域的子集，
，
设，则，
则，
，
当对称轴，即时，不满足条件．
当，即时，则判别式△，
即，则，
即实数的取值范围是，.
15．【答案】1或4
【详解】由已知可得，
因为，则或或或，
当时，，无解，
当时，则，解得，
当时，则，无解，
当时，则，解得，
综上，实数a的值为1或4.
16．【答案】(1)； (2)
【分析】
（1）利用二倍角公式和辅助角公式将化简为，代入即可求得结果；（2）根据三角函数左右平移原则可得解析式，利用的范围求出的范围，结合正弦函数的图象可得的值域；由不等式恒成立可得、与最小值和最大值之间的关系，解不等式组求得结果.
【详解】
（1）
（2）
当时，
即
又恒成立 ，解得：
实数的取值范围为：
【点睛】
本题考查三角函数值的求解、正弦型函数在区间内的值域的求解；涉及到利用二倍角和辅助角公式化简三角函数式、三角函数的平移变换等知识；解决本题中恒成立问题的关键是找到不等式上下限与三角函数最值之间的关系，从而构造不等式组求得结果.
17．【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）利用平面向量垂直的坐标表示得到，再结合同角三角函数的基本关系求出，最后利用二倍角公式求解即可；
（2）先求出，进而得到，得到，再利用两角差的正弦公式求解即可.
【详解】
（1）∵，∴，即.
代入，得，
又，则，.
则.
.
(2)∵，，∴.
又，∴.
∴=
=.
由，得.
【点睛】
关键点睛：利用凑角得到是解决本题的关键.
18．【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）．
，
，
，
，
．
（2），
，
，当时取得等号，
面积的最大值.
19．【答案】（1）（2）当时，函数取得最大值，且最大值等于440.
【详解】（1）因为.且时，.
所以解得. .
（2）由（1）可知，该商品每日的销售量.
所以商场每日销售该商品所获得的利润：

因为为二次函数，且开口向上，对称轴为.
所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于440.
所以当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元.