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    湖南省永州市第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(Word版附解析)
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    湖南省永州市第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(Word版附解析)

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    2.C【详解】的展开式的通项公式为,则的展开式中的系数为,故选:C
    3.A【详解】∵,∴,所以,又当时,,所以在点处的切线方程为:,即.故选:A.
    4.A【详解】,当时,,故当时,恒成立,排除BD,,
    令得:,此时单调递增,令得:,此时单调递减,其中,排除C,故当时,取得最大值,故A正确.故选:A
    5.B【详解】用数字0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的六位数的个数为.
    以1为十万位的没有重复数字的六位数的个数为,由于201345是以2为十万位的没有重复数字的六位数中最小的一个,所以没有重复数字且大于201345的六位数的个数为.故选:B
    6.C.【详解】先将五个人分为三组, 每组的人数分别为、、或、、,
    若三组的人数分别为、、,则教师夫妇必在三人的一组,
    则教师夫妇这组还需从剩余的三人中抽人,此时,不同的分组方法数为种;
    若三组人数分别为、、,则两人一组的有一组是教师夫妇,
    只需将剩余三人分为两组,且这两组的人数分别为、,此时,不同的分组方法种数为种.
    接下来,将所分的三组分配给三所不同的学校,因此,不同的安排方案种数为种.故选:C.
    7.D【详解】将《三国演义》《西游记》《水浒传》《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学,共有种基本事件,事件A包含的基本事件数为:,则,
    同理,事件AB包含的基本事件数为:,则,
    事件AC包含的基本事件数为:,则,
    因为,故A错误;因为,故B错误;
    因为,故C正确;因为,故C错误;故选:D
    8.A【详解】因为,所以,构造函数,
    则,所以函数在上单调递增,
    又,所以,即,所以,故选:A.
    9.ABC【详解
    ,因此在的展开式中没有常数项,A正确;
    的展开式的所有二项式系数的和为,B正确;
    的展开式的第3项和第4项二项式系数相等,并且最大,C正确;
    当时,的展开式的所有项的系数和为,D错误.故选:ABC
    10.BC【详解】对于A:从六位专家中选两位的不同选法共有种,故A错误;
    对于B:从前5天中任选一天排“呼吸类专家”,再排其他专家共有种,故B正确;
    对于C:将“护理”,“感染类专家”视为一个元素,不同的排法共有种,故B正确;
    对于D:先排疾控、药剂、呼吸,再用插空法排护理、感染、儿科类专家,共有种,故D错误;
    故选:BC
    11.ACD【详解】,令,
    得,故A正确
    ,,令得
    ,得,故在上为减函数,在上为增函数.当时,;当时,且,的大致图象如上图
    只有一个零点,故B错.
    记,则在上为减函数,对恒成立,对恒成立,.故C正确.
    ,,设,
    只有一个极值点, 只有一个解,即直线与的图象只有一个交点.,
    在上为增函数,令,得,
    当时,;当时,.
    在上为减函数,在上为增函数,
    ,时,,即,且时,,又时,,因此的大致图象如下(不含原点):直线与它只有一个交点,则.故D正确.故选:ACD.
    12.或0.4【详解】设第一次抽红球为事件,第一次抽蓝球为事件,第二次抽蓝球为事件,.故答案为:.
    13.【详解】
    被6整除,
    由能被6整除,可得能被6整除,则n的值可以为5.故答案为:5
    14.【详解】 由题意,原不等式可变形为,
    即,设,则当时,恒成立,
    因为,所以函数在上单调递减,在上单调递增,
    因为,,所以,,因为在上单调递增,
    所以要使,只需, 取对数,得,
    因为,所以.令,因为,
    所以在上单调递增,所以,所以,则.
    15.【详解】【小问1详解】当时,,得,
    当时,由得,,两式相减得:,
    所以数列是以为首项,为公比的等比数列,且. 7分
    【小问2详解】由(1)知,所以时,,
    因此,数列是以为首项,为公差的等差数列,所以. 13分
    16.【详解】解:(1)∵,
    令,可得,令,可得,
    ∴. 5分
    (2)①. 10分
    二项式系数最大的项为中间项,即第5项.所以.
    ②设第项系数的绝对值最大,则,所以,解得
    故系数绝对值最大的项是第6项和第7项. 15分
    17.【详解】(1)证明:∵平面ABC,∴,又∵,,
    ∴平面PBC,∴,又∵,,∴平面ACD. 5分
    (2)如图建系,不妨设,∴,,,
    ∴,,,,
    ,,,
    设平面CAD和平面ADE的一个法向量分别为,,
    ∴,
    设二面角的平面角为θ,,所成角为φ,
    ∴.
    ,故存在,. 15分
    18.【详解】(1)设椭圆的右焦点,由右焦点到直线的距离为,
    可得,解,又由椭圆的离心率为,可得,解得,则,
    所以椭圆的方程为. 4分
    (2)①若直线过椭圆的左顶点,则直线的方程是,
    联立方程组,解得或,
    所以,,此时. 9分
    ②猜测:.证明如下:
    设直线在轴上的截距为,所以直线的方程为,
    联立方程组,整理得,
    设.,则,,
    又由
    故,
    因为,,
    所以
    故. 17分
    19.【详解】(1)的定义域是,
    .令,则.
    当,即时,对恒成立,的增区间为,无减区间;当,即时,则解得,
    若,则由得或,
    得,此时函数的增区间为
    和,减区间为;
    同理可得当时,,此时的减区间为,增区间为.
    7分
    (2)若函数图象上存在两点使得,即,所以
    ① 当时,对任意的,且都成立;
    ②当时,有,设,则,
    记函数,则.
    所以当时,,所以函数在区间上单调递增.又因为,所以当时,,即方程在区间上无解,综上,存在实数,满足题意.
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