湖南省永州市第一中学2025届高三下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

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1 已知集合 ， ，则 （ ）．
A. B.
C. D. 或
2 已知复数 和 ，满足 ，则 （ ）
A. B. 3 C. D. 1
3. 如图，在四面体 ABCD 中， ， ， ，则四面
体 ABCD 外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验
课程，每周一门，连续开设六周.则“课程‘乐’不排在第一周，课程‘御’不排在最后一周”的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数 ，则（ ）
A. 的图象关于直线 对称 B. 为 的一个周期
C. 的值域为 D. 在 上单调递增
6. 函数 ，若 ，不等式 恒成立，则实数 m
的取值范围是（ ）
A B.
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C. D.
7. 定义在 R 上的偶函数 满足 ，且在区间 上单调递减，已
知 是锐角三角形的两个内角，则 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D. 以上情况均有可能
8. 已知抛物线 为 轴负半轴上的动点， 为抛物线的切线， 分别为切点，则
的最小值为
A. B. C. D.
二、多选题
9. 甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同 号签.其中甲袋中有编号为 1，2，3 的三个号签；
乙袋中有编号为 1，2，3，4，5，6 的六个号签.现从甲、乙两袋中各抽取 1 个号签，从甲、乙两袋抽取号签
的过程互不影响.记事件 A：从甲袋中抽取号签 1；事件 B：从乙袋中抽取号签 5；事件 C：抽取的两个号签
和为 4；事件 D：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 事件 C 与 D 互斥 D. 事件 A 与事件 D 相互独立
10. （多选题）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了类似如图所示的图形，后人称为“三角垛”
（如图所示的是一个 4 层的“三角垛”.“三角垛”最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球……设
第 n 层有 个球，从上往下 n 层球的总数为 ，则下列所有说法中正确的有（ ）
A. B.
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C. D.
11. 在长方形 ABCD 中， ， ，点 E，F 分别 边 BC 和 CD 上两个动点（含端点），且
，设 ， ，则（ ）
A. ， B. 为定值
C. 的最小值 50 D. 的最大值为
三、填空题
12. 若二项式 展开式中含有常数项，则 的最小取值是________
13. 已知直线 l： 与椭圆 ： （ ）交于 A、B 两点，与圆 ：
交于 C、D 两点．若存在 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值
范围是______．
14. 关于 不等式 恰有一个整数解，则实数 的取值范围是__________．
四、解答题
15. 在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 D 是 BC 上一点，且 ，求 面积的最大值．
16. 如图 1，在长方形 ABCD 中，已知 ， ，E 为 CD 中点，F 为线段 EC 上（端点 E，C 除外）
的动点，过点 D 作 AF 的垂线分别交 AF，AB 于 O，K 两点．现将 折起，使得 （如图 2）．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求直线 DF 与平面 所成角的最大值．
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17. 新疆是我国杏产量最大的地区，杏的种植面积近 200 万亩.杏子品种丰富，如库车小白杏、托克逊杏、
木亚格杏等.新疆的杏子以其优良的品质和独特的风味而闻名，尤其是托克逊县，被誉为“中国早熟杏之乡”.
已知该地区某种植园成熟的托克逊杏（按个计算）的质量 （单位：克）服从正态分布 ，且
， .从该种植园成熟的托克逊杏中摘取了 10 个，它们的质量
（单位：克）分别为 101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，且这 10 个托克逊杏的平均质量恰
等于 克.
（1）求 的值；
（2）求 ；
（3）甲和乙都从该种植园成熟的托克逊杏中随机摘取 1 个，若摘取的托克逊杏的质量不大于 100 克，则不
赠送库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于 100 克且不大于 102 克，则赠送 1 个库车小白杏；若摘取
的托克逊杏的质量大于 102 克，则赠送 2 个库车小白杏.记甲和乙获赠库车小白杏的总个数为 ，求 的分
布列与数学期望.
18. 如图，已知点 和点 在双曲线 上，双曲线 的左顶
点为 ，过点 且不与 轴重合的直线 与双曲线 交于 ， 两点，直线 ， 与圆
分别交于 ， 两点.
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的值；
（3）证明：直线 过定点.
19. 已知函数 .
（Ⅰ）若 在 上单调递减，求 的取值范围；
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（Ⅱ）当 时，函数 有两个极值点 ，
证明： ．
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