湖南省永州市永华高级中学2025届高三下学期3月月考数学试卷（含答案）

这是一份湖南省永州市永华高级中学2025届高三下学期3月月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4}，则A∩∁UB=( )
A. {3}B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}
2.二项展开式 x+13x15中，有理项的个数是
A. 3B. 4C. 5D. 6
3.设甲：sinα+csβ=0，乙：sin2α+sin2β=1，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4.复数z=a+bia,b∈R且a,b≠0.若|1z−1|=2，则( )的值与a、b的值无关．
A. z+13B. z+12C. z−12D. z−14
5.设A，B为双曲线x2−y29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A. 1,1B. −1,2C. 1,4D. −1,−3
6.若函数f(x)=alnx+bx+cx2(a≠0)既有极大值也有极小值，则错误的是( )
A. bc>0B. ab>0C. b2+8ac>0D. ac0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知PF2=2，直线PF1的斜率为 24，则双曲线的离心率为( )
A. 2B. 2C. 3D. 3
8.已知数列an的各项均为实数，Sn为其前n项和，若对任意k>2022，都有Sk>Sk+1，则下列说法正确的是( )
A. a1,a3,a5,⋯,a2n−1为等差数列，a2,a4,a6,⋯,a2n为等比数列
B. a1,a3,a5,⋯,a2n−1为等比数列，a2,a4,a6,⋯,a2n为等差数列
C. a1,a2,a3,⋯,a2022为等差数列，a2022,a2023,a2024,⋯,an为等比数列
D. a1,a2,a3,⋯,a2022为等比数列，a2022,a2023,a2024,⋯,an为等差数列
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120 ∘，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P−AC−O为45 ∘，则( )．
A. 该圆锥的体积为πB. 该圆锥的侧面积为4 3π
C. AC=2 2D. ▵PAC的面积为2
10.在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出下列命题，其中正确的命题为( )．
A. 若A>B>C，则sinA>sinB>sinC；
B. 若a=40，b=20，B=25 ∘，则满足条件的▵ABC有两个；
C. 若01；
D. 设Px3,fx3x31；
(3)证明：561375，
∴P(X=150)=12，P(X=300)=98300=49150，P(X=600)=1375，
则X的分布列为：
则E(X)=150×12+300×49150+600×1375=277(元)．

17.(1)如图，∵A1C⊥底面ABC，BC⊂面ABC，

∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC1A1，又BC⊂平面BCC1B1，
∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1
过A1作A1O⊥CC1交CC1于O，又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1，A1O⊂平面ACC1A1，
∴A1O⊥平面BCC1B1
∵A1到平面BCC1B1的距离为1，∴A1O=1，
在Rt▵A1CC1中，A1C⊥A1C1，CC1=AA1=2，
设CO=x，则C1O=2−x，
∵▵A1OC，△A1OC1，△A1CC1为直角三角形，且CC1=2，
CO2+A1O2=A1C2，A1O2+OC12=C1A12，A1C2+A1C12=C1C2，
∴1+x2+1+2−x2=4，解得x=1，∴AC=A1C=A1C1= 2，
(2)∵AC=A1C1，BC⊥A1C，BC⊥AC，
∴Rt▵ACB≌Rt▵A1CB∴BA=BA1，过B作BD⊥AA1，交AA1于D，则D为AA1中点，

由直线AA1与BB1距离为2，所以BD=2
∵A1D=1，BD=2，∴A1B=AB= 5，在Rt▵ABC，∴BC= AB2−AC2= 3，
延长AC，使AC=CM，连接C1M，
由CM//A1C1，CM=A1C1知四边形A1CMC1为平行四边形，
∴C1M//A1C，∴C1M⊥平面ABC，又AM⊂平面ABC，∴C1M⊥AM
则在Rt▵AC1M中，AM=2AC，C1M=A1C，∴AC1= 2AC2+A1C2，
在Rt▵AB1C1中，AB1= AC 12+B1C 12，B1C1=BC= 3，
∴AB1= 2 22+ 22+ 32= 13，又A到平面BCC1B1距离也为1，
所以AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为1 13= 1313．

18.解：(1)由题意得yx+2·yx−2=−12，
整理得曲线C的方程：x24+y22=1(y≠0)，
∴曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆；
(2)
(i)设P(x0,y0)，则Q(−x0,−y0)，
E(x0,0)，G(xG,yG)，
∴直线QE的方程为：y=y02x0(x−x0)，
与x24+y22=1联立消去y，
得(2x02+y02)x2−2x0y02x+x02y02−8x02=0，
∴−x0xG=x02y02−8x022x02+y02，
∴xG=(8−y02)x02x02+y02，
∴yG=y02x0(xG−x0)=y0(4−x02−y02)2x02+y02，
∴kPG=yG−y0xG−x0
=y0(4−x02−y02)2x02+y02−y0x0(8−y02)2x02+y02−x0
=4y0−y0x02−y03−2y0x02−y038x0−x0y02−2x03−x0y02
=y0(4−3x02−2y02)2x0(4−y02−x02)，
把x02+2y02=4代入上式，
得kPG=y0(4−3x02−4+x02)2x0(4−y02−4+2y02)=−y0×2x022x0y02=−x0y0，
∴kPQ·kPG=y0x0·(−x0y0)=−1，
∴PQ⊥PG，故△PQG为直角三角形；
(ii)S△PQG=12|PE|·(xG−xQ)
=12y0(xG+x0)
=12y0[(8−y02)x02x02+y02+x0]
=12y0x0×8−y02+2x02+y022x02+y02
=y0x0(4+x02)2x02+y02
=y0x0(x02+2y02+x02)2x02+y02
=2y0x0(x02+y02)2x02+y02
=8y0x0(x02+y02)(2x02+y02)(x02+2y02)
=8(y0x03+x0y03)2x04+2y04+5x02y02
=8(x0y0+y0x0)2(x0y0+y0x0)2+1
令t=x0y0+y0x0，则t≥2，
S△PQG=8t2t2+1=82t+1t
利用“对勾”函数f(t)=2t+1t在[2,+∞)的单调性可知，
f(t)≥4+12=92(t=2时取等号)，
∴S△PQG≤892=169(此时x0=y0=2 33)，
故△PQG面积的最大值为169．
19.解：(1)
f(x)=ln(x+1)x+ln(x+1)2，则f′(x)=1x(x+1)+12(x+1)−ln(x+1)x2，
所以f′(2)=13−ln34，故x=2处的切线斜率为13−ln34；
(2)要证x>0时fx=1x+12lnx+1>1，即证lnx+1>2xx+2，
令g(x)=lnx+1−2xx+2且x⩾0，则g′(x)=1x+1−4(x+2)2=x2(x+1)(x+2)2⩾0，
所以g(x)在(0,+∞)上递增，g(x)>g(0)=0，即lnx+1>2xx+2．
所以x>0时fx>1．
(3)设ℎ(n)=lnn!−n+12lnn+n，n∈N∗，
则ℎ(n+1)−ℎ(n)=1+(n+12)lnn−(n+12)lnn+1=1−(n+12)ln(1+1n)，
由(2)知：x=1n∈(0,1]，则f(1n)=(n+12)ln(1+1n)>1，
所以ℎ(n+1)−ℎ(n)56，
令φ(x)=lnx−(x+5)(x−1)4x+2且x>0，则φ′(x)=(x−1)2(1−x)x(2x+1)2，
当01时φ′(x)