湖南省永州市第一中学2025届高三下学期2月份月考数学试题（含答案解析）

这是一份湖南省永州市第一中学2025届高三下学期2月份月考数学试题（含答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合满足，则所有满足条件的集合的个数是（ ）
2. 设、、.下列命题中，假命题的个数为（ ）
①；
②若，则；
③
④若，则；
⑤.
3. 某校为调查高一年级某次考试的数学成绩情况，选取高一年级甲班和乙班进行调查.若甲班学生成绩的平均数为90，方差为3，乙班学生成绩的平均数为85，方差为5，且甲班与乙班的学生人数之比为2：3，则这25名学生成绩的平均数和方差分别为（ ）
4. 已知，设展开式的各项系数和为，，则与的大小关系是（ ）
5. 从6名教师中选4名开发A、B、C、D四门课程，要求每门课程有一名教师开发，每名教师只开发一门课程，且这6名中甲、乙两人不开发A课程，则不同的选择方案共有
6. 某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线的方程：，相关系数为，相关指数为；经过残差分析确定点为“离群点”（对应残差过大的点），把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程：，相关系数为，相关指数为.则以下结论中，不正确的是
7. 已知抛物线：和圆：，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，，，，则的最小值为（ ）
8. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
10. 如图是数学家 Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型 （称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球O₁，球O₂切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球O₁，球O₂的半径分别为4和1，球心距，则（ ）
11. 为加强学生体质健康，某中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知随机变量，若，则__________.
13. 已知中，点D在边上，，，，当取得最小值时，___________.
14. 在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量，记，.在研究的最大值时，小组同学发现：若为正整数，则时，，此时这两项概率均为最大值；若为非整数，当取的整数部分，则是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为____________的概率最大.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分)
15. 如图，在三棱锥中，，侧面底面，，为线段上一点，且满足.
（1）若为的中点，求证：；
（2）当最小时，求二面角的余弦值.
16. 已知函数，其中.
（1）若，求函数的定义域和极值；
（2）当时，试确定函数的零点个数，并证明.
17. 某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各100名进行调查，得到如下列联表：
(1)根据小概率值的独立性检验，判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
(2)现从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和均值．
附：，．
18. 设，数对按如下方式生成：，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若，则，否则；当硬币的反面朝上时，若，则，否则．抛掷次硬币后，记的概率为．
(1)写出的所有可能情况，并求；
(2)求；
19. 在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与动点到定直线的距离的比值为，记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程.
(2)若动直线l与曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点），求弦长的取值范围.
湖南省永州市第一中学2025届高三下学期2月份月考数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、计数原理与概率统计、等式与不等式、平面解析几何、函数与导数、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．7
B．8
C．15
D．16
A．1
B．2
C．3
D．4
A．87，10
B．85，10
C．87，10.2
D．85，10.2
A．
B．
C．n为奇数时，，n为偶数时，
D．
A．300种
B．240种
C．144种
D．96种
A．，
B．，
C．
D．
A．
B．2
C．3
D．
A．
B．
C．
D．
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图象的一条对称轴方程为
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
A．椭圆C的中心在直线O₁O₂上
B．
C．椭圆C上存在不同的四个点M ，使得
D．椭圆C的离心率为
A．第一次投篮的人是甲的概率为
B．已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为
C．第二次投篮的人是甲的概率为
D．设第次投篮的人是甲的概率为，则
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
6
适中
9
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
判断集合的子集（真子集）的个数
2
0.85
复数代数形式的乘法运算；求复数的模；共轭复数的概念及计算；复数的除法运算
3
0.85
计算几个数的平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差
4
0.85
二项展开式各项的系数和
5
0.65
元素（位置）有限制的排列问题；排列组合综合
6
0.65
相关系数的意义及辨析；相关指数的计算及分析
7
0.65
基本不等式求和的最小值；利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题；直线与抛物线交点相关问题；根据韦达定理求参数
8
0.4
用导数判断或证明已知函数的单调性；根据函数的单调性解不等式；函数对称性的应用
二、多选题
9
0.85
求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；求图象变化前（后）的解析式；三角恒等变换的化简问题；求sinx型三角函数的单调性
10
0.65
球的截面的性质及计算；多面体与球体内切外接问题；椭圆定义及辨析；求椭圆的焦点、焦距
11
0.65
计算条件概率；利用全概率公式求概率；互斥事件的概率加法公式；计算古典概型问题的概率
三、填空题
12
0.94
指定区间的概率
13
0.65
余弦定理解三角形；基本不等式求和的最小值
14
0.85
建立二项分布模型解决实际问题
四、解答题
15
0.65
证明线面垂直；面面垂直证线面垂直；面面角的向量求法
16
0.65
求已知函数的极值；利用导数研究函数的零点
17
0.65
独立性检验解决实际问题；写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值
18
0.4
由递推关系证明等比数列；计算古典概型问题的概率
19
0.15
轨迹问题——椭圆；求椭圆中的弦长
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
复数
2
3
计数原理与概率统计
3,4,5,6,11,12,14,17,18
4
等式与不等式
7,13
5
平面解析几何
7,10,19
6
函数与导数
8,16
7
三角函数与解三角形
9,13
8
空间向量与立体几何
10,15
9
数列
18