中考数学一轮复习备考专题12：二次函数（综合测试）

这是一份中考数学一轮复习备考专题12：二次函数（综合测试），共28页。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是( )
A.B.
C.D.
2.若抛物线的对称轴是直线,且经过点,则使函数值成立的x的取值范围是( )
A.B.或
C.D.或
3.已知抛物线过点,,,则,,的大小关系是( )
A.B.
C.D.
4.如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图.示意图中曲线可近似看作一条抛物线，四边形为矩形且支架，，，均垂直于地面.已知米，米，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为，则抛物线的表达式为( )
A.B.
C.D.
5.如图,已知函数图像与x轴只有三个交点,分别是,,.
①当时,或；②当时,y有最小值,没有最大值；③当时,y随x的增大而增大；④若点在函数图象上,则m的值只有3个.上述四个结论中正确的有( )
A.①②B.①②④C.①③④D.②③④
6.小梦同学观察下表数列的前五个数时，发现是n的二次函数.设，下列说法正确的是( )
A.S有最大值为1B.当时，
C.S有最小值为D.当时，
7.如图所示,二次函数的图象与x轴负半轴相交于A、B两点,是二次函数图象上一点,且为等边三角形,则a的值为( )
A.B.C.D.
8.关于抛物线与(,),下列说法中正确的是( )
A.两条抛物线交于点B.抛物线和关于x轴对称
C.两条抛物线的顶点关于原点对称D.抛物线向左平移m个单位得到
9.如图,抛物线过,两点,且顶点在第四象限.设,则M的取值范围是( ).
A.B.
C.D.
10.如图，经过的直线与抛物线交于B，C两点，且，则直线的解析式是( )
A.B.C.D.
11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点为A点,且与x轴的正半轴交于点B,P点为该抛物线对称轴上一点,则的最小值为( ).
A.B.C.3D.2
12.如图,抛物线与交于点,且分别与y轴交于点D、E.过点B作x轴的平行线,交抛物线于点A、C,则以下结论：
①无论x取何值,总是负数；
②可由向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到；
③当时,随着x的增大,的值先增大后减小；
④四边形为正方形.
其中正确的是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.如图,已知抛物线与直线交于,两点,则关于x的不等式的解集是______.
14.将抛物线先绕点旋转，再向上平移4个单位长度，得到的新抛物线的顶点恰好落在原抛物线上，则___________.
15.有一条抛物线,三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线；乙说：与x轴的两个交点的距离为6；丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9,则这条抛物线解析式的顶点式是______.
16.规定：两个函数,的图象关于y轴对称,则称这两个函数互为“Y函数”.例如：函数与的图象关于y轴对称,则这两个函数互为“Y函数”.若函数(k为常数)的“Y函数”图象与x轴只有一个交点,则其“Y函数”的解析式为______.
17.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点B,抛物线顶点为P.若直线交直线于点C,且,则a的值为______.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）如图,二次函数的图像与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是这个二次函数图像在第二象限内的一线,过点P作y轴的垂线与线段AB交于点C,求线段PC长度的最大值.
19.（8分）在“母亲节”期间,某校部分团员参加社会公益活动,准备以6元/个的价格购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查,这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示.
(1)直接写出y与x之间的函数关系；
(2)按照上述市场调查的销售规律,求销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之和的函数关系式；
(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元,要想获得最大的利润,试确定这种许愿瓶的销售单价,并求出此时的最大利润.
20.（8分）如图,直线与x轴、y轴分别交于B、C两点,抛物线经过B、C两点,与x轴的另一交点为点A,顶点为点D.
(1)求B,C两点的坐标.
(2)求抛物线的解析式,点A,点D的坐标,及抛物线的对称轴；
(3)设直线与抛物线两交点的横坐标分别为,,是否存在k值使得,若存在,求k的值；若不存在,说明理由.
21.（10分）如图,在平面直角坐标系中,抛物线交x轴于A,B两点,交y轴于点C,且,点P是第三象限内抛物线上的一动点.
(1)求此抛物线的表达式；
(2)若,求点P的坐标；
(3)连接,求面积的最大值及此时点P的坐标.
22.（12分）如图,是一个长方形广告牌的示意图,,,设计师在广告牌上设计了三条抛物线(部分)作为构图轮廓,点D,E分别是,的中点,抛物线①经过点O和A,顶点为D,由抛物线②向右平移得抛物线③.以为单位长度,点O为坐标原点,所在直线为x轴建立平面直角坐标系,抛物线②的解析式为.
(1)求抛物线①的解析式,并直接写出抛物线③的解析式；
(2)设计师在广告牌上三条抛物线围成的区域设计一些竖直的灯条,利用灯条的亮与不亮两种状态产生动感效果.灯条的上端点在抛物线①上,下端点在抛物线②或③上.从某时刻开始,只有两根灯条亮着,分别用和代表它们.从O处开始,以的速度向右移动,到E处停止.从A处开始,以的速度向左移动,到O处停止.在这一过程中,求：
的最大值；
的时长.
23.（13分）在平面直角坐标系中,抛物线(b为常数)与x轴交于点和点B,与y轴交于点C.点Q是抛物线上一点,其横坐标为m.
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)当点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍时,求点Q的坐标；
(3)抛物线上任意两点,,,求m的取值范围；
(4)点Q与点B之间的部分(不包括Q、B两点)记为图象G.点,点,连接,线段与图象G只有一个公共点时,直接写出m的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：∵每次降价的百分率都是x，
∴两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是.
故选：B.
2.答案：D
解析：∵抛物线的对称轴是直线,且经过点,
∴抛物线与x轴的另一个交点为,
∵,
∴使函数值成立的x的取值范围是或.
故选：D.
3.答案：B
解析：由二次函数,得它的对称轴为直线,开口向上,
∴图象上的点离对称轴越远则y的值越大,
∵,,,
∴,
∴,
故选：B.
4.答案：A
解析：米，米，
米，米，
设抛物线解析式为
将，代入得
，
解得，
.
故选：A.
5.答案：B
解析：由函数图象知,当时,或,故①正确；
当时,图象有最低点,没有最高点,
∴y有最小值,没有最大值,故②正确；
当时,y随x的增大而减小,故③不正确；
∵函数的图象与原函数的图象只有三个交点,
∴点在函数图象上,则m的值只有3个,故④正确
故选：B
6.答案：D
解析：设二次函数的表达式为：，
将、、代入上式得：，解得：，
则抛物线的表达式为：；
则，
当时，，
故选D.
7.答案：B
解析：过点Q作,垂足为D,
∵为等边三角形,
∴,,,
∴Q为二次函数的顶点,
∵,
∴,
∴,
,
,
将Q,A,B代入解析式得
解得：
故选：B.
8.答案：D
解析：令,则,,
∴两条抛物线交于点,故选项A错误；
∵,,
∴抛物线的对称轴为直线,顶点坐标为,抛物线的对称轴为直线,顶点坐标为,
∴抛物线和关于y轴对称,故选项B错误；
两条抛物线的顶点关于y轴对称,故选项C错误；
抛物线向左平移m个单位得到,故D选项正确；
故选：D.
9.答案：B
解析：∵二次函数的图像过点,,
∴,,
∴,
∵顶点在第四象限,
∴,,
∵,
∴,,
∴,即：,
∴,
∴,
∵,
∴.
故选：B
10.答案：D
解析：设直线的解析式为，
把代入得，
，
直线的解析式为，
联立得，
整理得，
由根与系数的关系得，，
，
，即，
，，
整理得，
解得或（舍去），
，
直线的解析式是，
故选：D.
11.答案：C
解析：连接AO、AB,PB,作于H,于C,如图所示,
当时,,解得,,则,
,则,
∴,
而,
∴,
∴为等边三角形,
∴,
∴,
∵AP垂直平分OB,
∴,
∴,
当H、P、B共线时,PB+PH的值最小,最小值为BC的长,
而,
∴的最小值为3,故C正确.
故选：C.
12.答案：C
解析：①,
,
无论x取何值,总是负数;
故①正确;
②..抛物线与交于点,
当时,,
即,
解得：；
,
可由向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到;故②正确；
③
随着x的增大,的值减小;故③错误;
④设与交于点F,
当时,
解得:或,
点,当时,,
解得:或,
当·,
,,
当时,,,
,,
四边形为平行四边形
,
四边形为矩形,
,
四边形为正方形
故④正确.
故选:C.
13.答案：
解析：由图象可知,当时,抛物线位于直线上方,
∴不等式的解集是：,
故答案为：.
14.答案：5
解析：，抛物线的顶点坐标为，将抛物线绕点旋转后的抛物线的顶点坐标为，再向上平移4个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为.此顶点恰好落在原抛物线上，，解得.
15.答案：,
解析：∵对称轴是直线,与x轴的两个交点距离为6,
∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为,,
设顶点坐标为,
∵顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9,
∴,
∴或,
∴顶点坐标为或,
设函数解析式为或；
把点代入得；
把点代入得；
∴满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为或.
故答案为：,.
16.答案：或
解析：函数(k为常数)的“Y函数”图象与x轴只有一个交点,
函数(k为常数)的图象与x轴也只有一个交点,
当k=0时,函数解析为,它的“Y函数”解析式为,它们的图象与x轴只有一个交点,
当时,此函数是二次函数,
它们的图象与x轴都只有一个交点,
它们的顶点分别在x轴上,
,得,
故,解得,
故原函数的解析式为,
故它的“Y函数”解析式为,
故答案为：或.
17.答案：或
解析：令,则,
∴,
∵过点A作x轴的平行线交抛物线于点B,
∴点B纵坐标为,
当时,,
解得：,,
∴,
∴,
∵,
当点C在线段上时,
∴,,
∴,
当点C在线段延长线上时,
∴,,
∴,
∵,
∴,
设直线解析式为,
把代入,得,
解得：,
∴,
把代入,得,
解得：,
把代入,得,
解得：,
综上,a的值为或.
故答案为：或.
18.答案：(1)
(2)
解析：(1)将点代入中,得,
解得,
∴；
(2)当时得,
∴,
设直线AB的解析式为,
,解得,
∴直线AB的解析式为,
设点P的坐标为,由题意可知点C的纵坐标是,代入,则可得点C的坐标为,
因为C在P的右侧,
∴,
因为点P是这个二次函数图像在第二象限内的一点,所以,
∴当时,PC长度的最大值是.
19.答案：(1)
(2)
(3)要想获得最大的利润,则这种许愿瓶的销售单价为元,最大利润为元
解析：(1)设y与x之间的函数关系为,由题意,得
,
解得：,
故y与x之间的函数关系式为：；
(2)由题意,得
,
解得：,由题意,得
,
；
(3)∵,
∴图象对称轴为,
∵,
∴抛物线开口向下,当时,w随x增大而减小,
∴当时,.
20.答案：(1),
(2),,,
(3)5或
解析：(1)直线与x轴、y轴分别交于B、C两点,
,.
(2)将,代入抛物线可得：
,
解得：,
抛物线解析式为,
当时,,
,
解得或,
,
,
,对称轴.
(3)k值存在,
依题得：,
,
,,
代入可得,
,
解得或5.
21.答案：(1)
(2)
(3)面积的最大值是8；点P的坐标为
解析：(1)在抛物线中,
令,则,
∴点C的坐标为,
∴,
∵,
∴,,
∴点A为,点B为,
则把点A、B代入解析式,得
,解得：,
∴；
(2)由题意,∵,点C为,
∴点P的纵坐标为,
令,则,
解得：,,
∴点P的坐标为；
(3)设直线AC的解析式为,则
把点A、C代入,得
,解得：,
∴直线AC的解析式为；
过点P作轴,交AC于点D,如图：
设点P为,则点D为,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴当时,取最大值8；
∴,
∴点P的坐标为.
22.答案：(1),
(2)
解析：(1)长方形中,,为单位长度,点D,E分别是,的中点,
,,,
设抛物线①的解析式为,
把代入,得,
解得,
故抛物线①的解析式为,
抛物线②的解析式为,抛物线②向右平移得抛物线③,
抛物线③的解析式为；
(2)设灯条移动了秒,则点M,N的横坐标为,点P,Q的横坐标为,
,
当时,,
当时,,
,
当时,随t的增大而增大,当时,随t的增大而减小,
当,即灯条运动了时,取最大值,最大值为；
当时,,,
,
当时,,,
当时,,
解得,
即运动时间时,,
的时长为.
23.答案：(1)
(2)或
(3)
(4)或
解析：(1)把代入,得
,
解得：,
∴抛物线对应的函数表达式为.
(2)令,则,
∴,
∴点C到x轴距离为3,
设点,
当点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍时,
,
∴或,
把代入,得
,即,
∵,
∴方程无解；
把代入,得
,即,
解得：,,
∴点Q的坐标或.
(3)∵,
∴抛物线的对称轴为直线,
又,
∴抛物线开口向下,在时y随x增大而减小,
∵抛物线上任意两点,,,
当点M、N在对称轴右侧时,
∴,
解得：,
当点M在对称轴左侧,点N在对称轴右侧时,
∴点M到对称轴的距离比点N到对称轴的距离小,
∴
解得：,
综上,当时,抛物线上任意两点,,.
(4)如图,设直线与抛物线交于点G、H,
把代入,得,
解得：,,
∴,,
当点F与点G重合时,如图：
此时,
解得：
当点E与点G重合时,与点Q也重合,如图,
此时,
∴满足条件,；
当点F与点H重合时,如图：
此时,解得：,
当点E与点H重合时,此时与点Q也重合,如图：
此时,
∴满足条件：
综上所述：线段与图象G只有一个公共点时,或.
n
1
2
3
4
5
…
n
数列
0
1
1
…