中考数学一轮复习考点精炼与综测：（12）二次函数（综合测试）

这是一份中考数学一轮复习考点精炼与综测：（12）二次函数（综合测试），共25页。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.将二次函数的图象向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度得到图象的二次函数解析式是( )
A.B.
C.D.
2.如图1,这是某公园一座抛物线型拱桥,按图2所示建立平面直角坐标系,得到函数,在正常水位时,水面宽为30米,当水位上升7米时,水面宽为( )
A.5米B.米C.10米D.米
3.二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A.B.C.D.
4.下列各选项为某同学得出的关于二次函数的性质的结论,其中不正确的是( )
A.开口向下
B.顶点坐标为
C.方程的解是,
D.当,函数值小于0
5.某抛物线型拱桥的示意图如图所示,水面,拱桥最高处点C到水面的距离为,在该抛物线上的点E,F处要安装两盏警示灯(点E,F关于y轴对称),警示灯F距水面的高度是,则这两盏灯的水平距离是( )
A.B.C.D.
6.我们定义一种新函数：形如(,且)的函数叫做“鹊桥”函数.小明同学画出了“鹊桥”函数的图象(如图),并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为,和；②图象具有对称性,对称轴是直线；③当或时,函数值y随x值的增大而增大；④当或时,函数的最小值是0；⑤当时,函数的最大值是4.其中正确的结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.小甬同学用计算机软件绘制函数的图象后,将其对称轴左侧的图象作关于x轴对称的图象,得到新的图象G(如图所示).若点,,,,,都在图象G上,这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1,则的值是( )
A.B.0C.D.1
8.已知抛物线和直线交于,两点,其中,且满足,则直线一定经过( )
A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限
9.将抛物线向左平移个单位长度后得到新抛物线,若新抛物线与直线有两个交点,,则t的取值范围为( )
A.B.C.D.
10.已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离相等,点M的坐标为,P是抛物线上一动点,则周长的最小值是( )
A.5B.9C.11D.13
11.对于一个函数,自变量x取c时,函数值y等于0,则称c为这个函数的零点.若关于x的二次函数有两个不相等的零点,,关于x的方程有两个不相等的非零实数根,,则下列关系式一定正确的是( )
A.B.C.D.
12.二次函数的部分图像如图所示,对称轴是直线.下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若,是抛物线上的两点,那么；④；⑤对于任意实数m,都有,其中错误结论的个数是( )
A.2B.3C.4D.5
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.如图,这是某市文化生态园中抛物线型拱桥及其示意图,已知抛物线型拱桥的函数表达式为,为了美化拱桥夜景,拟在该拱桥上距水面处安装夜景灯带,则夜景灯带的长是______m.
14.已知点,是抛物线上不同的两点,若点也在抛物线上,则m的值为______.
15.如图,矩形的边,分别在x轴和y轴上,其中顶点B的坐标为.若抛物线与矩形的边总有两个公共点,则k的取值范围是______.
16.如图,已知抛物线的对称轴为直线,过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为.若在y轴上存在一点P,使得最小,则点P的坐标为______.
17.如图,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形的边轴,顶点A的坐标为.若二次函数图象的顶点在正方形的边上运动,则c的取值范围为______.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）一次足球训练中,小东从球门正前方8米的A处射门,球射向球门的路线呈抛物线.以足球的初始位置所在的水平直线为x轴,球门所在的竖直方向为y轴,以O为原点建立如图所示平面直角坐标系.小东将射出后足球的行进高度y(米)与水平距离x(米)的相关数据记录如下：
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)若球门高为米,射门路线的形状、最大高度均保持不变,当小东带球向正后方移动m米时射门,恰好射中球门上沿,求m的值.
19.（8分）如图所示,已知二次函数的图象经过点A和点B.
(1)求该二次函数的表达式：
(2)写出该函数的对称轴以及顶点坐标；
(3)点与点Q均在该函数的图象上,(其中)且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值以及点Q到x轴的距离.
20.（8分）在平面直角坐标系xOy中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线.
（1）求m的值.
（2）若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象.当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和.
（3）设的图象与x轴的交点为，.若，求a的取值范围.
21.（10分）如图,抛物线与x轴交于,两点,与y轴交于点C,连接、,点P是第四象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m,过点P作轴,垂足为点M,交于点Q.
(1)求抛物线的解析式；
(2)运动过程中是否存在点P,使线段的值最大？若存在,请求出这个最大值并求出此时P点的坐标；若不存在,请说明理由；
(3)试探究在点P的过程中,是否存在这样的点Q,使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,请求出此时点Q的坐标；若不存在,请说明.
22.（12分）如图,某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练,水面边缘点E的坐标为,运动员(将运动员看成一点)在空中运动的路线是经过原点O的抛物线.在跳某个规定动作时,运动员在空中最高处A点的坐标为,正常情况下,运动员在距水面高度5米之前,必须完成规定的翻腾、打开动作,并调整好入水姿势,否则就会失误,运动员入水后,运动路线为另一条抛物线.
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式,并求出入水处点B的坐标.
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时,恰好距点E的水平距离为4米,问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由.
(3)在该运动员入水点的正前方有M,N两点,且,,该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为,若该运动员出水点D在MN之间(包括M,N两点),则k的取值范围是______.
23.（13分）如图1,已知抛物线与x轴交于点,,与y轴交于点C,连接.
(1)求a,b的值及直线的解析式；
(2)如图1,点P是抛物线上位于直线上方的一点,连接交于点E,过P作轴于点F,交于点G,
(ⅰ)若,求点P的坐标,
(ⅱ)连接,,记的面积为,的面积为,求的最大值；
(3)如图2,将抛物线位于x轴下方面的部分不变,位于x轴上方面的部分关于x轴对称,得到新的图形,将直线向下平移n个单位,得到直线l,若直线l与新的图形有四个不同交点,请直接写出n的取值范围.
答案以及解析
1.答案：C
解析：将二次函数的图象先向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度得到的函数解析式是,即.
故选：C.
2.答案：D
解析：∵米,
∴当时,.
当水位上升7米时,,
把代入得,,
解得,
此时水面宽米.
故选：D.
3.答案：B
解析：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，
对称轴在y轴右侧，且与y轴交于负半轴，
，，，，
一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，
四个选项中只有B选项符合题意，
故选B.
4.答案：D
解析：A.∵,∴抛物线开口向下,故原选项正确,不合题意；
B.∵,∴抛物线的顶点坐标为,故原选项正确,不合题意；
C.解方程得,,故原选项正确,不合题意；
D.由题意得,抛物线开口向下,与x轴交点坐标为,,∴当时,函数值大于0,故原选项错误,符合题意.
故选：D.
5.答案：A
解析：设该抛物线的解析式为,
由题意可得,点A的坐标为,
将代入得,,
解得,
∴抛物线的解析式为,
当时,,
解得,,
∴,,
∴这两盏灯的水平距离是：(米),
故选：A.
6.答案：D
解析：①,和都满足,故①正确；
②从函数图象可得图象具有对称性,对称轴为直线,故②正确；
③根据函数图象可得,当或时,函数值y随x值的增大而增大,故③正确；
④当或时,函数的最小值是0,故④正确；
⑤由图象可得,当时,不是函数的最大值,故⑤错误；
综上所述,正确的有①②③④,共4个,
故选：D.
7.答案：C
解析：由图象可得,函数图象关于点中心对称,
∵这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1,
∴,
∴,,……,
∴,
∵,,
∴当时,,当时,,
∴,
故选：C.
8.答案：B
解析：∵抛物线和直线交于,两点,
∴,即,
∴,,
∵,且满足,
∴,,
∴,
当,时,,即,
∴直线经过第一、二、三象限；
当,时,,即,
∴直线经过第二、三、四象限,
综上,直线一定经过第二、三象限,
故选：B.
9.答案：D
解析：由题意,
抛物线的对称轴是直线,
向左平移个单位长度后得到新抛物线的对称轴是直线,
直线与新抛物线有两个交点,,
,,
,
,
又∵,则抛物线开口向下,
抛物线上的点离对称轴越近函数值越大,
的离新抛物线的对称轴比Q离新抛物线的对称轴远,
的中点在对称轴的左侧,
,
,
又∵,
.
故选：D.
10.答案：C
解析：如图所示过点P作轴于点E,
∵抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离相等,
∴,
∴的周长,
∴要使周长最小,则最小,即最小,
∴当P、M、E三点共线时,的值最小,最小为ME,
∵M坐标为,
∴,
∴
∵,
∴
∴周长的最小值,
故选C.
11.答案：A
解析：∵,是的两个不相等的零点
即,是的两个不相等的实数根
∴
∵
解得,
∵方程有两个不相等的非零实数根
∴
∵
解得,
∴
∴
∵,
∴
∴
∴
而由题意知
解得
当时,,；
当时,,；
当时,无意义；
当时,,
∴取值范围不确定,
故选A.
,.
12.答案：A
解析：∵抛物线开口向上,对称轴为直线,与y轴交于负半轴,
∴,,,
∴；故①错误；
由图可知,抛物线与x轴的一个交点的横坐标的取值范围为：,
∵抛物线关于直线对称,
∴抛物线与x轴的一个交点的横坐标的取值范围为：,
∴方程()必有一个根大于2且小于3；故②正确；
∵,
∴抛物线上的点离对称轴的距离越远,函数值越大,
∵,是抛物线上的两点,且,
∴；故③错误；
∵,,
∴,
由图像知：,,
∴；故④正确；
∵,对称轴为直线,
∴当时,函数值最小为：,
∴对于任意实数m,都有,
即：,
∴；故⑤正确；
综上：错误的有2个.
故选：A.
13.答案：
解析：由题意得
,
解得：,,
.
故答案为：.
14.答案：4
解析：,是抛物线上不同的两点,
∴点,关于抛物线的对称轴对称,
,
,
点,即在抛物线上,
.
故答案为：4.
15.答案：
解析：抛物线的对称轴是y轴,
当抛物线经过点C时,抛物线与矩形只有一个交点,
点B的坐标为,
点C的坐标是,
把点代入,可得：,
当抛物线经过点A时,抛物线与矩形只有一个交点,
点B的坐标为,
点A的坐标是,
把点代入,可得：,
解得：,
只有抛物线经过或之间时,抛物线与矩形有两个交点,
的取值范围为.
故答案为：.
16.答案：
解析：如图,
作N点关于y轴的对称点,
连接交y轴于P点,
将N点坐标代入抛物线,并联立对称轴,得
,
解得,
,
.
N点关于y轴的对称点,
设的解析式为,
将M、代入函数解析式,得
,
解得,
的解析式为,
当时,,即.
故选：B.
17.答案：
解析：∵轴,,A点的坐标为
∴则B点的坐标为,
同理可得,
①顶点在A时,c取最小值.
∵,
∴,
把A点代入解析式得,
∴.
②顶点在C时,c取最大值.
∵,
∴,
把代入解析式得,
∴.
综上,c的取值范围是.
故答案为：
18.答案：(1)
(2)1
解析：(1)由表格数据可知抛物线的顶点坐标为,
设抛物线为,
把点代入得,
解得,
∴抛物线的函数关系式为；
(2)移动后的抛物线为,
当时,,代入可解得：
或(舍去)
∴m的值为1.
19.答案：(1)
(2),
(3)6,6
解析：(1)由图可知,点,在函数图象上,
∴,解得：,
∴；
(2)∵,
∴对称轴为直线,顶点坐标为；
(3)将点代入,得：,
解得：或(不合题意,舍去)；
∴,
∵P,Q关于对称轴对称,
∴点Q到x轴的距离为6.
20.答案：（1）
（2）11
（3）
解析：（1）方法一：由题意得，二次函数的图象与y轴的交点坐标为.
又点在函数图象上，
.
方法二：点在二次函数的图象上，
，，
抛物线的对称轴为直线，
.
（2）将，分别代入，
得解得
，
平移后新的二次函数的解析式为，其对称轴为直线.
，
当时，函数取最小值，最小值为，
当时，函数取最大值，最大值为，
当时，新的二次函数的最大值与最小值的和为.
（3）的图象与x轴的交点为，，
，.
，
.
，
，
，解得.
21.答案：(1)
(2)存在,最大值为4,P点的坐标为
(3)存在,Q点坐标为或
解析：(1)把,代入得,,
解得,
抛物线的解析式为；
(2)存在,
抛物线与y轴交于点C,
,
设直线的解析式为,
,
解得,
直线的解析式为,
点P的横坐标为m,过点P作轴,
,,
,
当时,线段的值最大,这个最大值为4,
此时P点的坐标为；
(3)由(2)直线的解析式为,
设,
当时,,
解得,(舍去)；
∴,
当时,,
解得：(舍去),(舍去)；
当时,,
解得,
∴.
综上所述,满足条件的Q点坐标为或.
22.答案：(1)；
(2)不会失误,见解析
(3)
解析：(1)设抛物线的解析式为,
将代入解析式,得,
空中运动时对应抛物线的解析式为,
令,则,
解得(舍去),,
的坐标为；
(2)当距点E水平距离为4米时,对应的横坐标为.
将代入中,得.
,
该运动员此次跳水不会失误；
(3)由题意知,当抛物线经过点M时,k最大.
∵,
∴.
∵,
∴,
此时抛物线解析式为,
将点代入得,
解得,
由题意知,当经过点N时,k最小.
同理可求得,
∴.
23.答案：(1),
(2)(ⅰ)；(ⅱ)
(3)
解析：(1)依题可得：
解得：
∴,
令,得,即
设直线的解析式为,将,代入得：
解得：
直线的解析式为
(2)设,则,
(i),
是等腰直角三角形
,
,
是等腰直角三角形,
,解得,(舍)
点P的坐标为
(ii)如图,
过A作轴,交于点H,则,则,
∴
,
当时,有最大值为；
(3)依题意,
新的图形的顶点坐标为
则新的抛物线解析式为
设平移后的直线解析式为
当经过点A时,有3个交点,即
解得：,
当与只有一个交点,
则
消去y得,
即
∴
解得：
结合函数图象可得：.
水平距离x/米
0
1
2
3
4
…
竖直高度y/米
3
…