二次函数综合题型专题-2022年初中数学中考备考测试题（一）

这是一份二次函数综合题型专题-2022年初中数学中考备考测试题（一），共24页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
二次函数综合题型专题（一）
一、解答题
1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+1图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度得到点B．
（1）直接写出点A与点B的坐标；
（2）求出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（3）若函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．

2．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为
（1）求抛物线的顶点坐标（用表示）；
（2）若点在第一象限，且，求抛物线的解析式；
（3）已知点，，若抛物线与线段有公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围
3．已知抛物线经过点． 点，为抛物线上两个不同的点，且满足，．
（1）用含的代数式表示；
（2）当时，求抛物线的对称轴及的值；
（3）当时，求的取值范围．
4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴为直线x =2．
（1）求b的值；
（2）在y轴上有一动点P（0，），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点 A（x1，y1），B（x2，y2），其中．
①当时，结合函数图象，求出n的值；
②把直线PB上方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0≤x≤5时，满足，求的取值范围．

5．在平面直角坐标系中，抛物线．
（1）若抛物线过点，求抛物线的对称轴；
（2）若为抛物线上两个不同的点．
①当时，，求a的值；
②若对于，都有，求a的取值范围．
6．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中．
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）①当时，求y的值；
②若，求x1的值（用含a的式子表示）；
（3）若对于，都有，求a的取值范围．
7．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B．

（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；
（3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.
8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴与x轴交于点A，将点A向左平移b个单位，再向上平移个单位，得到点B．
（1）求点B的坐标（用含b的式子表示）；
（2）当抛物线经过点，且时，求抛物线的表达式；
（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合图象，直接写出b的取值范围．

9．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），
（1）若抛物线的对称轴是直线x=1，求出点A和点B的坐标，并画出此时函数的图象；
（2）当已知点P（m，2），Q(－m，2m－1)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．
10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1交y轴于点P．
（1）过点P作与x轴平行的直线，交抛物线于点Q，PQ＝4，求的值；
（2）横纵坐标都是整数的点叫做整点．在（1）的条件下，记抛物线与x轴所围成的封闭区域（不含边界）为W．若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求a的取值范围．
11．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）．
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2）当﹣2＜x＜0时，若二次函数满足y随x的增大而减小，求a的取值范围；
（3）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，求a的取值范围．
12．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点，图形G上任意两点．
①当时，若，判断与的大小关系，并说明理由；
②若对于，都有，求m的取值范围．
13．在平面直角坐标系中，已知二次函数．
（1）当时，
①若，求该函数最小值；
②若，则此时对应的函数值的最小值是5，求的值；
（2）当时，若对于任意的满足且此时所对应的函数值的最小值是12，直接写出的值．
14．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）当时，y的最大值是5，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当时，y的最大值是m，最小值是n，且，求t的值．
15．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B．
（1）直接写出抛物线的对称轴；
（2）若，求抛物线所对应的函数解析式；
（3）已知点，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

1．（1）A（0，1），B（4，1）；（2）x＝m；（3）m≤0或m＞2．
（1）计算自变量为0的函数值得到A点坐标，然后利用点平移的规律确定B点坐标；
（2）利用抛物线的对称轴方程求解；
（3）当对称轴为y轴时，满足条件，此时m＝0；当m＜0时满足条件；若m＞0时，利用当x＝4，y＜1时抛物线与线段AB恰有一个公共点，然后求出此时m的范围．
【详解】
解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2mx+1＝1，则A点坐标为（0，1），
把A（0，1）右平移4个单位长度得到点B，则B点坐标为（4，1），
（2）抛物线的对称轴为直线x＝-＝m；
（3）当m＝0时，抛物线解析式为y＝x2+1，此抛物线与线段AB恰有一个公共点；
当m＜0时，抛物线与线段AB恰有一个公共点；
当m＞0时，当x＝4，y＜1，即16﹣8m+1＜1，解得m＞2，
所以m的范围为m≤0或m＞2．

2．（1）；（2）或写为：；（3），或.
（1）化抛物线为顶点式，即可写出顶点坐标；
（2）求出点AO，列方程求解即可；
（3）考虑点C在抛物线上时m的值，再结合图形，分情况进行讨论．
【详解】
（1）∵，
∴抛物线的顶点A坐标为.
（2）点在第一象限，
∴，
∵
∴
抛物线的表达式为，或写为：
（3）把代入，得
，
解得或3，
结合图象可得：
当时，抛物线与线段有公共点，
当时，抛物线与线段无公共点，
当时，抛物线与线段有公共点；
综上，当或时，抛物线与线段有公共点．

3．（1）；（2），；（3）且
（1）代入A点坐标即可整理出用a表示b的式子；
（2）根据，，可知对称轴为x=1，结合（1）可以求出a的值；
（3）将M、N的坐标代入抛物线解析式，运用，化简整理求出a的取值单位．
【详解】
（1）解：∵过，
∴．
∴．
（2）解：∵，，
∴对称轴为：直线．
即：．
∴．
（3）解：将点，代入得，
，
∴



∵，，
∴，．
∴．
∴且．
4．（1）2；（2）①；②
（1）利用二次函数的对称轴公式即可求出b值；
（2）①根据二次函数图象的轴对称性，即可得出答案；
②根据x、y的取值范围，即可得n的取值范围．
【详解】
（1）∵抛物线的对称轴为直线x =2，
∴b=2．
（2）①∴抛物线的表达式为．
∵A（x1，y），B（x2，y），
∴直线AB平行x轴．
∵，
∴AB=3．
∵对称轴为x =2，

∴AC=．
∴当时，．
②当y=n=-4时，0≤x≤5时，；
当y=n=-2时，0≤x≤5时，；
∴n的取值范围为．
5．（1）抛物线的对称轴；（2）①；②．
（1）抛物线过点，可得，解得：，抛物线为，利用抛物线的对称轴公式求即可，
（2）①又为抛物线上两个不同的点．可得，当时，，可得，，因式分解得，可得，可求，
②若对于，都有， 当时，抛物线开口向上，抛物线对称轴，抛物线对称轴为：，在对称轴左侧，在直线x=-2的右侧可满足，而在对称轴右侧，则有，都有，故不可能，当，在对称轴右侧，都有，抛物线对称轴在直线x=-2左侧，可抛物线对称轴为：，解得即可．
【详解】
解：（1）抛物线过点，
则，
解得：，
抛物线为，
抛物线的对称轴，
（2）①∵为抛物线上两个不同的点．
，
当时，，
，
，
因式分解得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
②若对于，都有，
，
，
∵，
∴，
∴，
，
当时，抛物线开口向上，抛物线对称轴，
抛物线对称轴为：，
在对称轴左侧，在直线x=-2的右侧可满足，而在对称轴右侧，则有，都有，
故不可能，
当，在对称轴右侧，都有，当抛物线对称轴在直线x=-2的左侧，即抛物线对称轴为：，
整理得，
解得，
∴．
6．（1）；（2）①；②；（3）
【详解】
（1）∵，
∴对称轴；
（2）①当时，；
②令，则，。
∴，
∴，，
又∵且，
∴；
（3）当时，恒成立；
当时，恒不成立；
当，时，
设关于对称轴的对称点为，
由抛物线的对称性可知在抛物线上，且，，，
又∵时，，
∴时，，
∵，，
∴时，，
而，
即时，成立，
∴，
∴，
当时，，由于，故当时，不存在；
综上所述：．
7．（1）A（3，2），B（－1，2）．（2），（1,-2）．（3）
（1）把y=2代入直线解析式即可求出A（3,2），根据对称的性质得出B（-1,2）；
（2）把A，B两点的坐标代入C1：y＝x2＋bx＋c即可求出二次函数的解析式和顶点坐标；
（3）把A，B的坐标分别代入C2：y＝ax2求出a的值即可得出结论．
【详解】
（1）当y＝2，则2＝x－1，x＝3，
∴A（3，2），
∵AB关于x＝1对称，
∴B（－1，2）．
（2）把（3，2）（－1，2）代入得：，解得，
所以函数解析式为,其顶点坐标为（1,-2）．
（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，
代入A（3，2）则9a＝2，
，
代入B（－1，2）则a＝2
∴．

8．（1）(0，3-b2)；（2）；（3）-1≤b≤1
（1）先求出点A坐标，再根据平移规律即可求出点B坐标；
（2）把（0，2）代入，结合b>0即可求出b，问题得解；
（3）把B坐标代入抛物线解析式，求出b，分b＞1，b=1，-1＜b＜1，b=-1，b＜-1，画出函数图象，即可求解．
【详解】
解：(1)由题意得抛物线的对称轴为，
∴点A坐标为（b，0），
∴点B坐标为（0，3-b2）
(2)把（0，2）代入中，
解得b=±1.
∵b>0，
∴b=1.
∴抛物线的表达式：；
(3)当抛物线过点B时，抛物线AB有一个公共点，
∴
∴，
如图：当b＞1时，抛物线与线段AB无交点；

当b=1时，抛物线与线段AB有一个交点；

当-1＜b＜1时，抛物线与线段AB有一个交点；

当b=-1时，抛物线与线段AB有一个交点；

当b＜-1时，抛物线与线段AB无交点．

∴若抛物线与线段AB恰有一个公共点，则-1≤b≤1．
9．（1）点A坐标为(－1，0)，点B坐标为(3，0)，图像见解析；（2）m≤－2 或m≥1
（1）根据抛物线的对称轴是直线x=1可得＝1，求出m=2，得，求出与x轴的交点坐标，根据点A在点B左侧即可求得点A，点B的坐标；
（2）根据点Q在点D上方或与点D重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点得，结合图象求解即可．
【详解】
（1）∵抛物线的对称轴为：x＝＝＝1
∴m＝2                                                                         
∴抛物线为：
将y＝0代入，得
解得：＝－1，＝3，
∵点A在点B左侧
                      
∴点A坐标为(－1，0)，点B坐标为(3，0)，
（2）m≤－2 或m≥1                       
将代入，得
∴抛物线过定点C（m，3）
∵点P（m，2）
∴点P在点C下方，如图，

将代入，得，则
∴点Q在点D上方或与点D重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点
∴
整理得
设，画图象如图：

当y=0时，，解得，，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（1，0）
∴当或时，
所以，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，m的取值范围是或．
10．（1）-4或4；（2）＜a≤或﹣1≤a＜﹣．
（1）根据题意先求出点Q坐标，代入解析式进行计算即可求解；
（2）根据题意分两种情况讨论，利用特殊点进行分析计算即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1交y轴于点P，
∴点P（0，﹣1），
∵PQ＝4，PQ∥x轴，
∴点Q（4，﹣1），（﹣4，﹣1）
当点Q为（4，﹣1），
∴﹣1＝16a+4b﹣1，
∴，
当点Q（﹣4，﹣1）
∴﹣1＝16a﹣4b﹣1，
∴＝4；
（2）当a＞0时，

当抛物线过点（2，﹣2）时，a＝，
当抛物线过点（1，﹣2）时，a＝，
∴＜a≤；
当a＜0时，

当抛物线过点（2，2）时，a＝﹣，
当抛物线过点（2，3）时，a＝﹣1，
∴﹣1≤a＜﹣，
综上所述：＜a≤或﹣1≤a＜﹣．
11．（1）b＝2a﹣3；（2）≤a＜0或0＜a≤；（3）0＜a＜4或．
（1）把点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分别代入y＝ax2+bx+c，即可求解；
（2）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足≤﹣2；当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足≥0，即可求解；
（3）①当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点，则抛物线上的点（1，3a﹣7）在D点的下方，即可求解；②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解．
【详解】
解：（1）把点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分别代入y＝ax2+bx+c中，得
c＝﹣4，4a﹣2b+c＝2．
∴b＝2a﹣3；
（2）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足≤﹣2，
解得≤a＜0．
当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足≥0，
解得 0＜a≤．
∴a的取值范围是≤a＜0或0＜a≤；
（3）设直线AB的表达式为：y＝mx+n，则，解得：，
故直线AB表达式为y＝﹣3x﹣4，把C（m，5）代入得m＝﹣3．
∴C（﹣3，5），由平移得D（1，5）．
①当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点（如图1），
y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a﹣3）﹣4，当x＝1时，y＝3a﹣7，
则抛物线上的点（1，3a﹣7）在D点的下方，

∴a+2a﹣3﹣4＜5．
解得a＜4．
∴0＜a＜4；
②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，
则抛物线与线段只有一个公共点（如图2），

∴．
即．
解得（舍去）或．
综上，a的取值范围是0＜a＜4或．
12．（1）直线；（2）①；见解析；②
（1）直接利用对称轴公式即可求出．
（2）①当时，二次函数解析式是，对称轴为y轴．由此可得图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小，即可求出．②通过计算可知，点为抛物线上关于对称轴对称的两点，
分类讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：Ⅰ当y轴在点P左侧时（含点P），作出图形，即可得出经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，此时，不符题意；Ⅱ当y轴在点Q右侧时（含点Q），作出图形，即可得出点M，N分别和点P，Q重合，此时，不符题意；Ⅲ当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），作出图形，即可得出经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，此时，符合题意．即有，即．
【详解】
（1）抛物线的对称轴为直线；
（2）①当时，二次函数解析式是，对称轴为y轴；
∴图形G如图．

∴图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小；
∵，
∴．
②通过计算可知，为抛物线上关于对称轴对称的两点，
下面讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：
Ⅰ如图，当y轴在点P左侧时（含点P），

经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，，不符题意；
Ⅱ如图，当y轴在点Q右侧时（含点Q），

点M，N分别和点P，Q重合，，不符题意；
Ⅲ如图，当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），

经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，，符合题意．
此时有，即．
综上所述，m的取值范围为．
13．（1）①3；②5；（2）或者
（1）①确定函数的解析式，根据解析式的特点求其最小值即可；②判断对称轴与自变量的取值范围大小关系，根据位置关系，利用函数的增减性计算即可；
（2）分b≥0和b＜0两种情形求解即可．
【详解】
解：（1）①当b=-2，c=4时，二次函数变形为：

，
当时函数的最小值为3；
②∵抛物线为．
此时抛物线开口向上，对称轴为．
∴当时，随增大而增大．
∵1＜，
∴取值范围位于对称轴的右侧，
∴当时，，
∴．
∴．
（2）当b≥0时，
∵二次函数的对称轴为x=，
∴＜，
∴取值范围位于对称轴的右侧，
∴当x=b时，函数有最小值，
∴，
解得b=2或b=-3（舍去）；
当b＜0时，
∵二次函数的对称轴为x=，
当对称轴位于取值范围内时，，
∴x=时，函数有最小值，
∴，此时无解；
当对称轴不位于取值范围内时，，
∴位于对称轴的左侧，
∵随增大而减小，
∴x=b+2时，函数有最小值，
∴，
整理，得；
解得b=或b=（舍去）；
∴或者．
14．（1）顶点坐标为；（2）；（3）或
（1）根据对称轴可得a与b间的关系b=-2a，把这个关系式代入函数解析式中，配方即可得顶点坐标；
（2）首先，由于抛物线的顶点在所给自变量的范围内，若a为负，则在所给自变量范围内，函数的最大值是相互矛盾的，故可排除a为负的情况，所以a为正．再由于x轴上-2与1的距离大小3与1的距离，根据抛物线的性质，函数在x=-2处取得最大值，从而可求得a的值．
（3）分三种情况讨论：即分别考虑顶点的横坐标是在范围内、在这个范围的左边、在这个范围的右边三种情况；对每种情况分别求出最大值和最小值，然后可求得t的值．
【详解】
解：（1）∵对称轴是直线，
∴．
∴．
∴．
∴顶点坐标为．
（2）若a0．
∴抛物线的顶点为图象的最低点．
∵1-（-2）>3-1
∴当时，．
代入解析式，得
．
（3）①当时，此时0≤t≤1，
∴，函数的最大值在t+1或t处取得，即或
∴m的最大值为．
此时．
不符合题意，舍去．
②当，即时，
．
∵，
∴．
③当时，
同理可得．
综上所述，或．
15．（1）；（2）或；（3）或
(1)根据对称轴公式求解即可；
(2)根据AB两点坐标，求出对称轴，即可求出a；
(3)确定点P在AB上，结合图象，根据抛物线与线段恰有一个公共点，确定P点与B点的位置即可．
【详解】
解：(1)根据对称轴公式可得，；
（2）∵抛物线与y轴的交点为A，
∴点A的坐标为．
∵过A所作x轴的平行线与抛物线的交点为B，，
∴点B的坐标为或．∴抛物线的对称轴为直线或．
∴或．
∴抛物线所对应的函数解析式为或．
（3）∵过A所作x轴的平行线与抛物线的交点为B，
∴点B的纵坐标为1.
∴点B的横坐标是关于x的方程的解．
解得．
∴点B的坐标为．又∵点P的坐标为，
∴点P在直线上．
①如图4，当时，．

∴在右侧，且的y轴上的上方，在抛物线的对称轴右侧．
∵抛物线与线段恰有一个公共点，
∴结合图象可得，点P，点B的横坐标，满足．
∴，解得．
②如图5，当时，，

∴在左侧，且的y轴上的下方，在抛物线的对称轴右侧．
∵抛物线与线段恰有一个公共点，
∴结合图象可得，点P，点A的横坐标满足，
∴，解得．
综上所述，或．