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（最新）备战中考数学一轮复习专项练习卷——《二次函数》（含答案）
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备战中考数学一轮复习专项练习卷——
《二次函数》
一．选择题
1．下列对于抛物线y＝﹣3x2+12x﹣3的描述错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x＝2
C．与y轴交于（0，﹣3） D．顶点是（﹣2，9）
2．抛物线y＝mx2+3mx+2（m＜0）经过点A（a，y1）、B（1，y2）两点，若y1＞y2，则实数a满足（ ）
A．﹣4＜a＜1 B．a＜﹣4或a＞1 C．﹣4＜a≤﹣ D．﹣≤a＜1
3．若点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x﹣3上的点，则m﹣n的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．﹣3
4．如图，抛物线y＝x2+x+3与直线y＝﹣x﹣交于A，B两点，点C为y轴上点，当△ABC周长最短时，周长的值为（ ）
A． +5 B． +3 C． +3 D． +5
5．在同一直角坐标系中，a≠0，函数y＝ax与y＝ax2的图象可能正确的有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．将抛物线y＝﹣2（x+3）2+2以原点为中心旋转180°得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x﹣3）2+2 B．y＝﹣2（x+3）2﹣2
C．y＝2（x﹣3）2﹣2 D．y＝2（x﹣3）2+2
7．在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象交x轴于点A、B（点A在点B的左侧）．若把点B向上平移m（m＞0）个单位长度得点B1，若点B1向左平移n（n＞0）个单位长度，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+2）个单位长度，将与该二次函数图象上的点B3重合．则n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA，求抛物线的解析式（ ）
A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x﹣4 D．y＝x2﹣2x﹣5
9．从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的函数关系式为h＝﹣（t﹣3）2+40，若后抛出的小球经过2.5秒比先抛出的小球高米，则抛出两个小球的间隔时间是（ ）
A．1秒 B．1.5秒 C．2秒 D．2.5秒
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）ac＞0；（2）方程ax2+bx+c＝0的两根之积小于0；（3）a+b+c＜0；（4）ac+b+1＜0，其中正确的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
⋅⋅⋅
0
1
3
4
5
⋅⋅⋅
y
⋅⋅⋅
﹣5
﹣
﹣
﹣5
﹣
⋅⋅⋅
根据表，下列判断正确的是（ ）
A．该抛物线开口向上
B．该抛物线的对称轴是直线x＝1
C．该抛物线一定经过点（﹣1，﹣）
D．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x1＜1，有下列结论：①c＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③a+b+c＜0；④b2﹣4ac＞0；⑤已知图象上点A（4，y1），B（1，y2），则y1＞y2．其中，正确结论的个数有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题
13．已知抛物线y＝ax2+bx+5的对称轴是x＝1，若关于x的方程ax2+bx﹣7＝0的一个根是4，那么该方程的另一个根是 ．
14．若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，m）、B（x1+x2，n）、C（x2，m），则n的值为 ．
15．如图，点A在直线y＝x上，如果把抛物线y＝x2沿OA方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为 ．
16．抛物线经过原点O，还经过A（2，m），B（4，m），若△AOB的面积为4，则抛物线的解析式为 ．
17．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m达到警戒水位时，水面CD的宽是10m．如果水位以0.25m/h的速度上涨，那么达到警戒水位后，再过 h水位达到桥拱最高点O．
18．一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，点（4，3）为该抛物线的顶点，则该抛物线所对应的函数式为 ．
19．如图，C，D是抛物线y＝（x+1）2﹣5上两点，抛物线的顶点为E，CD∥x轴，四边形ABCD为正方形，AB边经过点E，则正方形ABCD的边长为 ．
20．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：
①二次函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣4a；
②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；
③若y2＞y1，则x2＞4；
④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根为﹣1和
其中正确结论的是 （填序号）．
三．解答题
21．已知抛物线G：y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k，其中k为常数．
（1）求证：无论k为何值，抛物线G总与x轴有两个交点；
（2）若抛物线G的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的对等值．若函数y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k有两相异的对等值x1，x2，且x1＜2＜x2，求k的最大整数值．
22．周师傅家的猕猴桃成熟上市后，她记录了10天的销售数量和销售单价，其中销售单价y（元/千克）与时间第x天（x为整数）的数量关系为y＝﹣x+16，日销售量p（千克）与时间第x天（x为整数）的部分对应值如表所示：
时间第x天
1
3
5
7
10
日销量p（千克）
320
360
400
440
500
（1）从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画p随x的变化规律，请直接写出p与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）在这10天中，哪一天销售额达到最大？最大销售额是多少元？
（3）周师傅决定每销售1千克桃就捐款a（a＞1）元，且希望每天的销售额不低于1500元以维持各项开支，求a的最大值．
23．已知抛物线y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m（m＞0.5）的最低点的纵坐标为﹣4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D为抛物线上的一点，BD平分四边形ABCD的面积，求点D的坐标；
（3）如图2，平移抛物线y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m，使其顶点为坐标原点，直线y＝﹣2上有一动点P，过点P作两条直线，分别与抛物线有唯一的公共点E、F（直线PE、PF不与y轴平行），求证：直线EF恒过某一定点．
24．某品牌钢笔的进价为20元/支，经销商小周在销售中发现，每月销售量y（支）与销售单价x（元）之间满足一次函数y＝﹣10x+500的关系，在销售中销售单价不低于进价，而每支钢笔的利润不高于进价的60%．
（1）设小周每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）当销售单价定为每支多少元时，每月可获得最大利润？并求出每月的最大利润．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，2），直线y＝x﹣1与y轴交于点C，与x轴交于点D，点P是线段CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF垂直x轴于点F，交直线CD于点E，
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，当线段PE的长取最大值时，解答以下问题．
①求此时m的值．
②设Q是平面直角坐标系内一点，是否存在以P、Q、C、D为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：y＝﹣3x2+12x﹣3
＝﹣3（x﹣2）2+9，
A、a＝﹣3＜0，故抛物线开口向下，不合题意；
B、对称轴是x＝2，不合题意；
C、当x＝0时，y＝﹣3，则与y轴交于（0，﹣3），不合题意；
D、顶点是（2，9），符合题意；
故选：D．
2．解：抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣1.5，
而点B（1，y2）关于直线x＝﹣1.5的对称点的坐标为（﹣4，y2），
∵m＜0，
∴抛物线开口向下，且y1＞y2，
∴﹣4＜a＜1．
故选：A．
3．解：∵点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x﹣3上的点，
∴n＝﹣2m2+2m﹣3，
∴m﹣n＝m﹣（﹣2m2+2m﹣3）＝2m2﹣m+3＝2（m﹣）2+，
∴m﹣n的最小值是，
故选：C．
4．解：y＝x2+x+3与 y＝﹣x﹣联立解得：，，
∴A（﹣7，3），B（﹣1，0），
设点B关于y轴的对称点为D，则D（1，0），直线AD的关系式为y＝kx+b，
把A（﹣7，3），D（1，0）代入得：
，解得，k＝﹣，b＝，
∴直线AD的关系式为y＝﹣x+，
当x＝0时，y＝，
∴点C（0，），
由勾股定理得：AB＝＝3，AD＝＝，
∴△ABC周长最小值＝AB+BC+AC＝AB+AD＝+3，
故选：B．
5．解：当a＞0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而增大，函数y＝ax2开口向上，故①正确，④错误；
当a＜0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而减小，函数y＝ax2开口向下，故③不正确，②正确；
∴两函数图象可能是①②，
故选：C．
6．解：∵抛物线y＝﹣2（x+3）2+2的顶点为（﹣3，2），绕原点旋转180°后，变为（3，﹣2）且开口相反，
故得到的抛物线解析式为y＝2（x﹣3）2﹣2，
故选：C．
7．解：（1）y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得，x1＝3，x2＝﹣1，
∴B（3，0），
由题意得，B1（3，m），B2（3﹣n，m），B3（1﹣n，m），
函数图象的对称轴为直线x＝＝1，
∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，
∴＝1，
∴n＝1，
故选：A．
8．解：在抛物线y＝ax2+bx﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，点C（0，﹣3）
∴OC＝3，
∵OB＝OC＝3OA，
∴OB＝3，OA＝1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
把A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3得：
a﹣b﹣3＝0，9a+3b﹣3＝0，
解得：a＝1，b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
故选：A．
9．解：2.5秒时，后球的高度为：
h2＝﹣（2.5﹣3）2+40＝，
则此时，前球的高度为h1＝﹣＝，
令﹣（t﹣3）2+40＝，整理得（t﹣3）2＝1，
∴t1＝4，t2＝2（舍），
△t＝4﹣2.5＝1.5．
故选：B．
10．解：由函数图象知，抛物线的开口向下，与y轴的交点为（0，1），
∴a＜0，c＝1，
则ac＜0，故（1）错误；
由函数图象知抛物线与x轴的两个交点一个在y轴的左侧、另一个在0～1之间，
∴方程ax2+bx+c＝0的两根之积小于0，故（2）正确；
在抛物线上，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
故（3）正确；
∵c＝1，
∴ac+b+1＝a+b+c＜0，
故（4）正确；
综上，正确的结论有（2）、（3）、（4），
故选：C．
11．解：由表格中点（0，﹣5），（4，﹣5），
可知函数的对称轴为x＝2，
设函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+c，
将点（0，﹣5），（1，﹣）代入，
得到a＝﹣，c＝﹣3，
∴函数解析式y＝﹣（x﹣2）2﹣3；
∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分是上升的；
故选：C．
12．解：由图象可知，当x＝0时，y＜0，
∴c＜0，
∴①不正确；
∵对称轴为x＝﹣1，0＜x1＜1，
∴﹣3＜x2＜﹣2，
∴②正确；
当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴③不正确；
∵函数与x轴有两个交点，
∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，
∴④正确；
由点A（4，y1），B（1，y2）可知，点A、B在对称轴的右侧，
∴y随x值的增大而增大，
∴y1＞y2，
故⑤正确；
故选：C．
二．填空题（共8小题）
13．解：∵抛物线y＝ax2+bx+5的对称轴是x＝1，
即﹣＝1，
∴抛物线y＝ax2+bx﹣7的对称轴是x＝1，
∵关于x的方程ax2+bx﹣7＝0的一个根是4，
即抛物线y＝ax2+bx﹣7与x轴的一个交点坐标为（4，0），
∴抛物线y＝ax2+bx﹣7与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0），
即关于x的方程ax2+bx﹣7＝0的另一个根为﹣2．
故答案为﹣2．
14．解：∵A（x1，m）、C（x2，m）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上，
∴＝﹣1，
∴x1+x2＝﹣2，
∵B（x1+x2，n）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上，
∴n＝2（﹣2+1）2+3＝5，
故答案为5．
15．解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，
∵点A在直线y＝x上，OA＝5，
∴OB＝4，AB＝3，
∴点A的坐标为（4，3），
∴平移后的抛物线解析式是y＝（x﹣4）2+3．
故答案为y＝（x﹣4）2+3．
16．解：∵抛物线经过A（2，m），B（4，m），
∴对称轴是：x＝3，AB＝2，
∵△AOB的面积为4，
∴AB•|m|＝4，
m＝±4，
当m＝4时，则A（2，4），B（4，4），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，
把（0，0）和（2，4）代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+，即y＝﹣x2+3x；
当m＝﹣4时，则A（2，﹣4），B（4，﹣4），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，
把（0，0）和（2，﹣4）代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2﹣＝x2﹣3x；
综上所述，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x或y＝x2﹣3x，
故答案为y＝﹣x2+3x或y＝x2﹣3x．
17．解：解：设抛物线解析式为y＝ax2，
因为抛物线关于y轴对称，AB＝20，所以点B的横坐标为10，
设点B（10，n），点D（5，n+3），
由题意：，
解得，
∴y＝﹣x2，
当x＝5时，y＝﹣1，
故t＝＝5（h），
答：再过5小时水位达到桥拱最高点O．
故答案为：5．
18．解：根据题意，得
设抛物线对应的函数式为y＝a（x﹣4）2+3
把点（0，）代入得：
16a+3＝
解得a＝﹣，
∴抛物线对应的函数式为y＝﹣（x﹣4）2+3
19．解：设AB＝CD＝AD＝BC＝a，
∵抛物线y＝（x+1）2﹣5，
∴顶点E（﹣1，﹣5），对称轴为直线x＝﹣1，
∴C的横坐标为﹣1，D的横坐标为﹣1﹣，
∵点C在抛物线y＝（x+1）2﹣5上，
∴C点纵坐标为（﹣1+1）2﹣5＝﹣5，
∵E点坐标为（﹣1，﹣5），
∴B点纵坐标为﹣5，
∵BC＝a，
∴﹣5﹣a＝﹣5，
解得：a1＝，a2＝0（不合题意，舍去），
故答案为：．
20．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0），
∴抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∵y＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴当x＝1时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确；
当x＝4时，y＝a•5•1＝5a，
∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②错误；
∵点C（4，5a）关于直线x＝1的对称点为（﹣2，5a），
∴当y2＞y1，则x2＞4或x＜﹣2，所以③错误；
∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，
整理得3x2+2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝，所以④正确．
故答案为①④．
三．解答题（共5小题）
21．解：（1）∵△＝（k﹣5）2 ﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+21＝（k﹣3）2+12＞0，
∴无论k为何值，抛物线G总与x轴有两个交点；
（2）∵y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，
又a＝1＞0，△＝（k﹣5）2﹣4（1﹣k）＝（k﹣3）2+12，
∴抛物线与x轴有两个交点，
设抛物线与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，
∴x1+x2＝5﹣k＞0，x1x2＝1﹣k≥0，
解得k≤1，
∴k的取值范围为k≤1；
（3）依题意，得：x2+（k﹣5）x+1﹣k＝x，
∴x2+（k﹣6）x+1﹣k＝0，
∵△＝（k﹣4）2+16＞0，
∴k为任意实数，
又x1+x2＝6﹣k，x1x2＝1﹣k，
∵（x1﹣2）（x2﹣2）＜0，
∴x1x2﹣2（x1+x2）+4＜0，
∴1﹣k﹣2（6﹣k）+4＜0，
∴k＜7，
∴综上，k的最大整数值为6．
22．解：（1）由表格规律可知：p与x的函数关系是一次函数，设其解析式为p＝kx+b，
把（1，320）和（3，360）代入可得：，解得：
∴p＝20x+300（1≤x≤10，且x为整数）；
（2）设销售额为W元，则W＝py＝（20x+300）（﹣x+16）
＝﹣20x2+20x+4800＝﹣20（x﹣0.5）2+4805，
∵x是整数，1≤x≤10，
∴当x＝1时，W有最大值为4800．
综上，在这10天中，第1天销售额达最大，最大销售额为4800元．
（3）销售额为W＝p（y﹣a）＝（20x+300）（﹣x+16﹣a）＝﹣20x2+20（1﹣a）x+4800﹣300a，
对称轴为x＝，
∵a＞1，
∴＜0，又抛物线的开口向下，
∴在1≤x≤10范围内W随x的增大而减小，
故在x＝10时取得最小值＝﹣20×102+20（1﹣a）×10+4800﹣300a＝3000﹣500a，
令3000﹣500a≥1500，
解得a≤3．
故a的最大值为3．
23．解：（1）∵y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m＝（x+m﹣0.5）2﹣m2﹣m﹣0.25，
∴顶点坐标为（0.5﹣m，﹣m2﹣m﹣0.25）
∵最低点的纵坐标为﹣4，
∴﹣m2﹣m﹣0.25＝﹣4，即4m2+4m﹣15＝0，
∴m＝1.5或﹣2.5，
∵m＞0.5，∴m＝1.5．
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．
如图1，连AC交BD于E，过A作AM⊥BD于M，过C作CN⊥BD于N，
∵BD平分四边形ABCD的面积，
∴S△ABD＝S△CBD，
∴BD×AM＝BD×CN，
∴AM＝CN，且∠AEM＝∠CMN，∠AME＝∠CNE＝90°
∴△AEM≌△CEN（AAS），
∴AE＝CE，
∴E（﹣1.5，﹣1.5），且B（1，0），
∴直线BE的解析式为y＝0.6x﹣0.6．
∴0.6x﹣0.6＝x2+2x﹣3，
解得x1＝﹣，x2＝1，
∴D（﹣，﹣）．
（3）由题意可得平移后解析式为y＝x2，
设E（t，t2），F（n，n2），
设直线PE为y＝k1（x﹣t）+t2，
由题意可得 x2﹣k1x+k1t﹣t2＝0，
∴△＝k12﹣4（k1t﹣t2）＝（k1﹣2t）2＝0，
∴k1＝2t．
∴直线PE为y＝2t（x﹣t）+t2，即y＝2tx﹣t2．
令y＝﹣2，得xP＝，
同理，设直线PF为y＝k2（x﹣n）+n2，
∴xP＝，
∴＝，
∵t≠n，
∴tn＝﹣2．
设直线EF的解析式为y＝kx+b，得x2﹣kx﹣b＝0，
∴xE•xF＝﹣b，即tn＝﹣b，
∴b＝2．
∴直线EF为y＝kx+2，过定点（0，2）．
24．解：（1）根据题意，得
w＝（x﹣20）•y
＝（x﹣20）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+700x﹣10000．
x的取值范围是20≤x≤32．
（2）∵w＝﹣10x2+700x﹣10000
＝﹣10（x﹣35）2+2250
∵﹣10＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当20≤x≤32时，w随x的增大而增大，
∴当x＝32时，w最大为2160
答：当销售单价定为每支32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润为2160元．
25．解：（1）将A（﹣1，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，，
解得：b＝1，c＝2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）①∵直线y＝x﹣1与y轴交于点C，与x轴交于点D，
∴点C的坐标为（0，﹣1），点D的坐标为（2，0），
∴0＜m＜2，
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为（m，﹣m2+m+2），点E的坐标为（m， m﹣1），
∴PE＝﹣m2+m+2﹣（m﹣1）＝﹣m2+m+3＝﹣（m﹣）2+；
∵﹣1＜0，0＜＜2，
∴当m＝时，PE最长；
②由①可知，点P的坐标为（，）．
以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况（如图所示）：
如图1，当四边形PQCD为平行四边形时，
∵点D向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点P，
∴将点C向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点Q，
∵C（0，﹣1），
∴Q1（﹣，）；
如图2，当四边形PCQD为平行四边形时，
∵点P向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点C，
∴将点D向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点Q，
∵D（2，0），
∴Q2（，﹣）；
如图3，当四边形PCDQ为平行四边形时，
∵点C向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点D，
∴将点P向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点Q，
∵P（，），
∴Q3（，）；
综上所述，存在以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（﹣，），（，﹣），（，）．
《二次函数》
一．选择题
1．下列对于抛物线y＝﹣3x2+12x﹣3的描述错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x＝2
C．与y轴交于（0，﹣3） D．顶点是（﹣2，9）
2．抛物线y＝mx2+3mx+2（m＜0）经过点A（a，y1）、B（1，y2）两点，若y1＞y2，则实数a满足（ ）
A．﹣4＜a＜1 B．a＜﹣4或a＞1 C．﹣4＜a≤﹣ D．﹣≤a＜1
3．若点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x﹣3上的点，则m﹣n的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．﹣3
4．如图，抛物线y＝x2+x+3与直线y＝﹣x﹣交于A，B两点，点C为y轴上点，当△ABC周长最短时，周长的值为（ ）
A． +5 B． +3 C． +3 D． +5
5．在同一直角坐标系中，a≠0，函数y＝ax与y＝ax2的图象可能正确的有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．将抛物线y＝﹣2（x+3）2+2以原点为中心旋转180°得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x﹣3）2+2 B．y＝﹣2（x+3）2﹣2
C．y＝2（x﹣3）2﹣2 D．y＝2（x﹣3）2+2
7．在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象交x轴于点A、B（点A在点B的左侧）．若把点B向上平移m（m＞0）个单位长度得点B1，若点B1向左平移n（n＞0）个单位长度，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+2）个单位长度，将与该二次函数图象上的点B3重合．则n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA，求抛物线的解析式（ ）
A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x﹣4 D．y＝x2﹣2x﹣5
9．从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的函数关系式为h＝﹣（t﹣3）2+40，若后抛出的小球经过2.5秒比先抛出的小球高米，则抛出两个小球的间隔时间是（ ）
A．1秒 B．1.5秒 C．2秒 D．2.5秒
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）ac＞0；（2）方程ax2+bx+c＝0的两根之积小于0；（3）a+b+c＜0；（4）ac+b+1＜0，其中正确的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
⋅⋅⋅
0
1
3
4
5
⋅⋅⋅
y
⋅⋅⋅
﹣5
﹣
﹣
﹣5
﹣
⋅⋅⋅
根据表，下列判断正确的是（ ）
A．该抛物线开口向上
B．该抛物线的对称轴是直线x＝1
C．该抛物线一定经过点（﹣1，﹣）
D．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x1＜1，有下列结论：①c＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③a+b+c＜0；④b2﹣4ac＞0；⑤已知图象上点A（4，y1），B（1，y2），则y1＞y2．其中，正确结论的个数有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题
13．已知抛物线y＝ax2+bx+5的对称轴是x＝1，若关于x的方程ax2+bx﹣7＝0的一个根是4，那么该方程的另一个根是 ．
14．若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，m）、B（x1+x2，n）、C（x2，m），则n的值为 ．
15．如图，点A在直线y＝x上，如果把抛物线y＝x2沿OA方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为 ．
16．抛物线经过原点O，还经过A（2，m），B（4，m），若△AOB的面积为4，则抛物线的解析式为 ．
17．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m达到警戒水位时，水面CD的宽是10m．如果水位以0.25m/h的速度上涨，那么达到警戒水位后，再过 h水位达到桥拱最高点O．
18．一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，点（4，3）为该抛物线的顶点，则该抛物线所对应的函数式为 ．
19．如图，C，D是抛物线y＝（x+1）2﹣5上两点，抛物线的顶点为E，CD∥x轴，四边形ABCD为正方形，AB边经过点E，则正方形ABCD的边长为 ．
20．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：
①二次函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣4a；
②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；
③若y2＞y1，则x2＞4；
④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根为﹣1和
其中正确结论的是 （填序号）．
三．解答题
21．已知抛物线G：y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k，其中k为常数．
（1）求证：无论k为何值，抛物线G总与x轴有两个交点；
（2）若抛物线G的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的对等值．若函数y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k有两相异的对等值x1，x2，且x1＜2＜x2，求k的最大整数值．
22．周师傅家的猕猴桃成熟上市后，她记录了10天的销售数量和销售单价，其中销售单价y（元/千克）与时间第x天（x为整数）的数量关系为y＝﹣x+16，日销售量p（千克）与时间第x天（x为整数）的部分对应值如表所示：
时间第x天
1
3
5
7
10
日销量p（千克）
320
360
400
440
500
（1）从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画p随x的变化规律，请直接写出p与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）在这10天中，哪一天销售额达到最大？最大销售额是多少元？
（3）周师傅决定每销售1千克桃就捐款a（a＞1）元，且希望每天的销售额不低于1500元以维持各项开支，求a的最大值．
23．已知抛物线y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m（m＞0.5）的最低点的纵坐标为﹣4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D为抛物线上的一点，BD平分四边形ABCD的面积，求点D的坐标；
（3）如图2，平移抛物线y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m，使其顶点为坐标原点，直线y＝﹣2上有一动点P，过点P作两条直线，分别与抛物线有唯一的公共点E、F（直线PE、PF不与y轴平行），求证：直线EF恒过某一定点．
24．某品牌钢笔的进价为20元/支，经销商小周在销售中发现，每月销售量y（支）与销售单价x（元）之间满足一次函数y＝﹣10x+500的关系，在销售中销售单价不低于进价，而每支钢笔的利润不高于进价的60%．
（1）设小周每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）当销售单价定为每支多少元时，每月可获得最大利润？并求出每月的最大利润．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，2），直线y＝x﹣1与y轴交于点C，与x轴交于点D，点P是线段CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF垂直x轴于点F，交直线CD于点E，
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，当线段PE的长取最大值时，解答以下问题．
①求此时m的值．
②设Q是平面直角坐标系内一点，是否存在以P、Q、C、D为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：y＝﹣3x2+12x﹣3
＝﹣3（x﹣2）2+9，
A、a＝﹣3＜0，故抛物线开口向下，不合题意；
B、对称轴是x＝2，不合题意；
C、当x＝0时，y＝﹣3，则与y轴交于（0，﹣3），不合题意；
D、顶点是（2，9），符合题意；
故选：D．
2．解：抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣1.5，
而点B（1，y2）关于直线x＝﹣1.5的对称点的坐标为（﹣4，y2），
∵m＜0，
∴抛物线开口向下，且y1＞y2，
∴﹣4＜a＜1．
故选：A．
3．解：∵点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x﹣3上的点，
∴n＝﹣2m2+2m﹣3，
∴m﹣n＝m﹣（﹣2m2+2m﹣3）＝2m2﹣m+3＝2（m﹣）2+，
∴m﹣n的最小值是，
故选：C．
4．解：y＝x2+x+3与 y＝﹣x﹣联立解得：，，
∴A（﹣7，3），B（﹣1，0），
设点B关于y轴的对称点为D，则D（1，0），直线AD的关系式为y＝kx+b，
把A（﹣7，3），D（1，0）代入得：
，解得，k＝﹣，b＝，
∴直线AD的关系式为y＝﹣x+，
当x＝0时，y＝，
∴点C（0，），
由勾股定理得：AB＝＝3，AD＝＝，
∴△ABC周长最小值＝AB+BC+AC＝AB+AD＝+3，
故选：B．
5．解：当a＞0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而增大，函数y＝ax2开口向上，故①正确，④错误；
当a＜0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而减小，函数y＝ax2开口向下，故③不正确，②正确；
∴两函数图象可能是①②，
故选：C．
6．解：∵抛物线y＝﹣2（x+3）2+2的顶点为（﹣3，2），绕原点旋转180°后，变为（3，﹣2）且开口相反，
故得到的抛物线解析式为y＝2（x﹣3）2﹣2，
故选：C．
7．解：（1）y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得，x1＝3，x2＝﹣1，
∴B（3，0），
由题意得，B1（3，m），B2（3﹣n，m），B3（1﹣n，m），
函数图象的对称轴为直线x＝＝1，
∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，
∴＝1，
∴n＝1，
故选：A．
8．解：在抛物线y＝ax2+bx﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，点C（0，﹣3）
∴OC＝3，
∵OB＝OC＝3OA，
∴OB＝3，OA＝1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
把A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3得：
a﹣b﹣3＝0，9a+3b﹣3＝0，
解得：a＝1，b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
故选：A．
9．解：2.5秒时，后球的高度为：
h2＝﹣（2.5﹣3）2+40＝，
则此时，前球的高度为h1＝﹣＝，
令﹣（t﹣3）2+40＝，整理得（t﹣3）2＝1，
∴t1＝4，t2＝2（舍），
△t＝4﹣2.5＝1.5．
故选：B．
10．解：由函数图象知，抛物线的开口向下，与y轴的交点为（0，1），
∴a＜0，c＝1，
则ac＜0，故（1）错误；
由函数图象知抛物线与x轴的两个交点一个在y轴的左侧、另一个在0～1之间，
∴方程ax2+bx+c＝0的两根之积小于0，故（2）正确；
在抛物线上，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
故（3）正确；
∵c＝1，
∴ac+b+1＝a+b+c＜0，
故（4）正确；
综上，正确的结论有（2）、（3）、（4），
故选：C．
11．解：由表格中点（0，﹣5），（4，﹣5），
可知函数的对称轴为x＝2，
设函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+c，
将点（0，﹣5），（1，﹣）代入，
得到a＝﹣，c＝﹣3，
∴函数解析式y＝﹣（x﹣2）2﹣3；
∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分是上升的；
故选：C．
12．解：由图象可知，当x＝0时，y＜0，
∴c＜0，
∴①不正确；
∵对称轴为x＝﹣1，0＜x1＜1，
∴﹣3＜x2＜﹣2，
∴②正确；
当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴③不正确；
∵函数与x轴有两个交点，
∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，
∴④正确；
由点A（4，y1），B（1，y2）可知，点A、B在对称轴的右侧，
∴y随x值的增大而增大，
∴y1＞y2，
故⑤正确；
故选：C．
二．填空题（共8小题）
13．解：∵抛物线y＝ax2+bx+5的对称轴是x＝1，
即﹣＝1，
∴抛物线y＝ax2+bx﹣7的对称轴是x＝1，
∵关于x的方程ax2+bx﹣7＝0的一个根是4，
即抛物线y＝ax2+bx﹣7与x轴的一个交点坐标为（4，0），
∴抛物线y＝ax2+bx﹣7与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0），
即关于x的方程ax2+bx﹣7＝0的另一个根为﹣2．
故答案为﹣2．
14．解：∵A（x1，m）、C（x2，m）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上，
∴＝﹣1，
∴x1+x2＝﹣2，
∵B（x1+x2，n）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上，
∴n＝2（﹣2+1）2+3＝5，
故答案为5．
15．解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，
∵点A在直线y＝x上，OA＝5，
∴OB＝4，AB＝3，
∴点A的坐标为（4，3），
∴平移后的抛物线解析式是y＝（x﹣4）2+3．
故答案为y＝（x﹣4）2+3．
16．解：∵抛物线经过A（2，m），B（4，m），
∴对称轴是：x＝3，AB＝2，
∵△AOB的面积为4，
∴AB•|m|＝4，
m＝±4，
当m＝4时，则A（2，4），B（4，4），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，
把（0，0）和（2，4）代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+，即y＝﹣x2+3x；
当m＝﹣4时，则A（2，﹣4），B（4，﹣4），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，
把（0，0）和（2，﹣4）代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2﹣＝x2﹣3x；
综上所述，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x或y＝x2﹣3x，
故答案为y＝﹣x2+3x或y＝x2﹣3x．
17．解：解：设抛物线解析式为y＝ax2，
因为抛物线关于y轴对称，AB＝20，所以点B的横坐标为10，
设点B（10，n），点D（5，n+3），
由题意：，
解得，
∴y＝﹣x2，
当x＝5时，y＝﹣1，
故t＝＝5（h），
答：再过5小时水位达到桥拱最高点O．
故答案为：5．
18．解：根据题意，得
设抛物线对应的函数式为y＝a（x﹣4）2+3
把点（0，）代入得：
16a+3＝
解得a＝﹣，
∴抛物线对应的函数式为y＝﹣（x﹣4）2+3
19．解：设AB＝CD＝AD＝BC＝a，
∵抛物线y＝（x+1）2﹣5，
∴顶点E（﹣1，﹣5），对称轴为直线x＝﹣1，
∴C的横坐标为﹣1，D的横坐标为﹣1﹣，
∵点C在抛物线y＝（x+1）2﹣5上，
∴C点纵坐标为（﹣1+1）2﹣5＝﹣5，
∵E点坐标为（﹣1，﹣5），
∴B点纵坐标为﹣5，
∵BC＝a，
∴﹣5﹣a＝﹣5，
解得：a1＝，a2＝0（不合题意，舍去），
故答案为：．
20．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0），
∴抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∵y＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴当x＝1时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确；
当x＝4时，y＝a•5•1＝5a，
∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②错误；
∵点C（4，5a）关于直线x＝1的对称点为（﹣2，5a），
∴当y2＞y1，则x2＞4或x＜﹣2，所以③错误；
∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，
整理得3x2+2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝，所以④正确．
故答案为①④．
三．解答题（共5小题）
21．解：（1）∵△＝（k﹣5）2 ﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+21＝（k﹣3）2+12＞0，
∴无论k为何值，抛物线G总与x轴有两个交点；
（2）∵y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，
又a＝1＞0，△＝（k﹣5）2﹣4（1﹣k）＝（k﹣3）2+12，
∴抛物线与x轴有两个交点，
设抛物线与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，
∴x1+x2＝5﹣k＞0，x1x2＝1﹣k≥0，
解得k≤1，
∴k的取值范围为k≤1；
（3）依题意，得：x2+（k﹣5）x+1﹣k＝x，
∴x2+（k﹣6）x+1﹣k＝0，
∵△＝（k﹣4）2+16＞0，
∴k为任意实数，
又x1+x2＝6﹣k，x1x2＝1﹣k，
∵（x1﹣2）（x2﹣2）＜0，
∴x1x2﹣2（x1+x2）+4＜0，
∴1﹣k﹣2（6﹣k）+4＜0，
∴k＜7，
∴综上，k的最大整数值为6．
22．解：（1）由表格规律可知：p与x的函数关系是一次函数，设其解析式为p＝kx+b，
把（1，320）和（3，360）代入可得：，解得：
∴p＝20x+300（1≤x≤10，且x为整数）；
（2）设销售额为W元，则W＝py＝（20x+300）（﹣x+16）
＝﹣20x2+20x+4800＝﹣20（x﹣0.5）2+4805，
∵x是整数，1≤x≤10，
∴当x＝1时，W有最大值为4800．
综上，在这10天中，第1天销售额达最大，最大销售额为4800元．
（3）销售额为W＝p（y﹣a）＝（20x+300）（﹣x+16﹣a）＝﹣20x2+20（1﹣a）x+4800﹣300a，
对称轴为x＝，
∵a＞1，
∴＜0，又抛物线的开口向下，
∴在1≤x≤10范围内W随x的增大而减小，
故在x＝10时取得最小值＝﹣20×102+20（1﹣a）×10+4800﹣300a＝3000﹣500a，
令3000﹣500a≥1500，
解得a≤3．
故a的最大值为3．
23．解：（1）∵y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m＝（x+m﹣0.5）2﹣m2﹣m﹣0.25，
∴顶点坐标为（0.5﹣m，﹣m2﹣m﹣0.25）
∵最低点的纵坐标为﹣4，
∴﹣m2﹣m﹣0.25＝﹣4，即4m2+4m﹣15＝0，
∴m＝1.5或﹣2.5，
∵m＞0.5，∴m＝1.5．
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．
如图1，连AC交BD于E，过A作AM⊥BD于M，过C作CN⊥BD于N，
∵BD平分四边形ABCD的面积，
∴S△ABD＝S△CBD，
∴BD×AM＝BD×CN，
∴AM＝CN，且∠AEM＝∠CMN，∠AME＝∠CNE＝90°
∴△AEM≌△CEN（AAS），
∴AE＝CE，
∴E（﹣1.5，﹣1.5），且B（1，0），
∴直线BE的解析式为y＝0.6x﹣0.6．
∴0.6x﹣0.6＝x2+2x﹣3，
解得x1＝﹣，x2＝1，
∴D（﹣，﹣）．
（3）由题意可得平移后解析式为y＝x2，
设E（t，t2），F（n，n2），
设直线PE为y＝k1（x﹣t）+t2，
由题意可得 x2﹣k1x+k1t﹣t2＝0，
∴△＝k12﹣4（k1t﹣t2）＝（k1﹣2t）2＝0，
∴k1＝2t．
∴直线PE为y＝2t（x﹣t）+t2，即y＝2tx﹣t2．
令y＝﹣2，得xP＝，
同理，设直线PF为y＝k2（x﹣n）+n2，
∴xP＝，
∴＝，
∵t≠n，
∴tn＝﹣2．
设直线EF的解析式为y＝kx+b，得x2﹣kx﹣b＝0，
∴xE•xF＝﹣b，即tn＝﹣b，
∴b＝2．
∴直线EF为y＝kx+2，过定点（0，2）．
24．解：（1）根据题意，得
w＝（x﹣20）•y
＝（x﹣20）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+700x﹣10000．
x的取值范围是20≤x≤32．
（2）∵w＝﹣10x2+700x﹣10000
＝﹣10（x﹣35）2+2250
∵﹣10＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当20≤x≤32时，w随x的增大而增大，
∴当x＝32时，w最大为2160
答：当销售单价定为每支32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润为2160元．
25．解：（1）将A（﹣1，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，，
解得：b＝1，c＝2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）①∵直线y＝x﹣1与y轴交于点C，与x轴交于点D，
∴点C的坐标为（0，﹣1），点D的坐标为（2，0），
∴0＜m＜2，
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为（m，﹣m2+m+2），点E的坐标为（m， m﹣1），
∴PE＝﹣m2+m+2﹣（m﹣1）＝﹣m2+m+3＝﹣（m﹣）2+；
∵﹣1＜0，0＜＜2，
∴当m＝时，PE最长；
②由①可知，点P的坐标为（，）．
以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况（如图所示）：
如图1，当四边形PQCD为平行四边形时，
∵点D向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点P，
∴将点C向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点Q，
∵C（0，﹣1），
∴Q1（﹣，）；
如图2，当四边形PCQD为平行四边形时，
∵点P向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点C，
∴将点D向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点Q，
∵D（2，0），
∴Q2（，﹣）；
如图3，当四边形PCDQ为平行四边形时，
∵点C向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点D，
∴将点P向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点Q，
∵P（，），
∴Q3（，）；
综上所述，存在以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（﹣，），（，﹣），（，）．
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