浙江省杭州市下沙区杭四吴山2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（Word版附解析）

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命题人：高绍央 审核人：孙鹏飞
2025年1月
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、考场号、座位号，并填涂卡号．
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效．
4．考试结束，只上交答题卷．
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1. 集合，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义即可求解．
【详解】因为，
所以，
故选：B．
2. 设，则“”是“”的（ ）条件．
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断．
【详解】因为不能推出，所以“”不是“”的充分条件；
因为能推出，所以“”是“”的必要条件；
所以“”是“”的必要条件非充分条件，
故选：B．
3. 如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对每个选项中的函数一一判断其性质，结合特殊值，即可判断是否符合题意，即得答案.
【详解】对于A，，定义域为，当时，，不符合题意；
对于B，当时，，不符合题意；
对于C，，定义域为，函数为偶函数，
且在上单调递减，在上单调递增，符合题意；
对于D，，当时，，不符合题意，
故选：C
4. 已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由奇函数的性质结合单调性解抽象不等式可得.
【详解】将不等式变形可得，
因为函数是上单调递增的奇函数，所以不等式等价于，
所以，即的取值范围为.
故选：D
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由对数函数的单调性确定的取值范围，由指数函数的图像及单调性确定的取值范围即可比较大小.
【详解】由对数函数在上单调递增，所以，所以，
对数函数在上单调递增，所以，所以，
因为指数函数的图像在轴上方且在定义域上单调递减，
所以，所以，
所以：
故选：B
6. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象求出相关参数得到解析式，再将自变量代入求函数值即可.
【详解】由题设且，则，故，
又，则，
所以，
则.
故选：B
7. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数单调性得出不等式组即可得的取值范围.
【详解】由题意可得，函数在上单调递减，函数在单调递减，且，
即有，即，
解得.
故选：B
8. 若，则实数（ ）
A. B. 2C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用三角函数的二倍角公式以及两角差的正弦对原式进行变换即可求出的值.
【详解】解：，
即
.
故.
故选：C
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 下列运算正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据对数的运算性质判断ABC，利用换底公式判断D.
【详解】选项A，，说法错误；
选项B，，说法错误；
选项C，令，则，即，说法正确；
选项D，，说法正确；
故选：CD
10. 已知的部分图象如图所示，则（ ）

A. 的最小正周期为
B. 图像可由的图象向左平移个单位得到
C. 的对称轴为
D. 在区间上的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式．再根据的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】解：根据函数的部分图象，可得，.
再根据五点法作图可得，，因为，，
又最大值为，∴.
的最小正周期为，故A正确；
的图像可由的图象向左平移个单位得到，故B正确；
令，则，所以对称轴为，故C不正确；
时，，在区间上单调递增，故当时，，故D正确，
故选：ABD．
11. 已知函数是定义在上的以4为周期的函数，对任意整数，区间．当时，．集合在上有两个不相等的实根，则（ ）
A. B. 是函数的一个对称中心
C. D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：利用函数周期为4，把转化为，在这个区间有对应表达式，代入求出值为1；对于B：根据是否成立即可判断；对于C：运用周期性和奇偶性判断；对于D：时，，是由平移得到.找到直线过点时的值为，根据两图象有两个不同交点确定的范围.
【详解】已知函数的周期为，则.
当时，，所以，故，选项A正确.
当时，，，所以在上是偶函数，
结合周期性，易知函数图象关于轴对称，即在R上也是偶函数.
又函数的周期为，则，即不是对称中心，选项B错误.
因为函数的周期为，所以，由于是偶函数，所以，选项C正确.
当时，，则.
在上有两个不相等的实根，即与在上有两个不同交点.
当时，，的图象是由向右平移4k个单位得到的.
当直线过点时，，故要使与在上有两个不同交点，
则，即，选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若，则取值范围为______．
【答案】.
【解析】
【分析】根据指数函数单调性求解即可.
【详解】由题意，即，根据指数函数单调性可得.
故答案为：.
13. 已知，为锐角，则______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据两角差的余弦公式即可得解.
【详解】因为为锐角，所以，
因为，所以，
所以
.
故答案为：.
14. 已知正实数满足，则的最小值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】应用“1”的代换及基本不等式求的最小值，注意取值条件.
【详解】由题设，
当且仅当时取等号，即的最小值为6.
故答案为：6
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点在角的终边上.
（1）求值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解；
（2）分子、分母同时除以进行弦化切，代入即可求解.
【小问1详解】
由题知：角的终边经过点，
∴由三角函数的定义可知.
【小问2详解】
由（1）可知：，
.
16. 已知函数．
（1）求函数的最小值，及取最小值时的的值；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的最小正周期和单调递减区间．
【答案】（1）当，时，取得最小值：.
（2）最小正周期：；单调递减区间为：，
【解析】
【分析】（1）先根据三角函数的有关公式（诱导公式、和角公式、辅助角公式）把函数化成的形式，再求函数的最小值及对应的的值.
（2）先根据三角函数的图象变换确定的解析式，再分析其性质即可.
【小问1详解】
.
所以的最小值为，
此时：，，即，.
【小问2详解】
将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，再将的图象向右平移个单位，得到.
由，得函数的最小正周期为.
由，
得，，
所以，.
所以函数的单调递减区间为：，.
17. 已知函数．
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并给予证明；
（3）求关于的不等式的解集．
【答案】（1）
（2）奇函数，证明见解析
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数的解析式，列出不等式组，即可求得答案；
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断和证明；
（3）讨论a的取值范围，结合函数单调性，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意知函数满足，解得，
即函数的定义域为；
【小问2详解】
为奇函数，证明如下：
函数的定义域为，关于原点对称，
，故为奇函数；
【小问3详解】
即，
当时，在上单调递增，有，解得；
当时，在上单调递减，有，解得；
故当时，关于的不等式的解集为；
当时，关于的不等式的解集为.
18. 已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若函数在区间上有且仅存一个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）确定二次函数对称轴即可求解；
（2）由，，三种情况分类讨论即可；
（3）通过或，结合判别式及零点存在性定理求解；
【小问1详解】
由条件可得，对称轴为：，由开口向上，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；
【小问2详解】
，
当时，，显然在区间上单调递增，符合；
当时，对称轴为：，且开口向上，
若函数在区间上单调递增，需满足：，
解得：，
当时，对称轴为：，且开口向下，
若函数在区间上单调递增，需满足：，
解得：，
综上若函数在区间上单调递增，实数的取值范围；
【小问3详解】
若函数在区间上有且仅存一个零点，
当时，由，解得：，符合；
当，对于，若，即时，方程有一根，符合，
若，① ，因为对称轴为：，又，
若函数在区间上有且仅存一个零点，
需满足：，即，故：；
② ，对称轴为：，，
若函数在区间上有且仅存一个零点，
需满足：，且，即且，解得：；
综上实数的取值范围是
19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似的，我们可以定义双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似性质．
（1）判断并证明双曲余弦函数的奇偶性和单调性；
（2）（ⅰ）证明；
（ⅱ）类比正弦函数和余弦函数的和（差）角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似结论并给出证明；
（3）若函数在上最大值为0，求实数的值．
【答案】（1）偶函数，在上单调递减，在上单调递增
（2）（ⅰ）证明见解析；
（ⅱ）结论：（结论不唯一），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性的定义判断双曲余弦函数的奇偶性；利用单调性的定义求出单调区间；
（2）（ⅰ）根据给出条件，结合指数幂的运算化简即可求出结果；
（ⅱ）写出一个结论，结合指数幂的运算化简即可证明；
（3）先换元，再结合二次函数和复合函数单调性求出的取值范围.
【小问1详解】
设，其定义域为，关于原点对称.
计算：，
因为，所以双曲余弦函数是偶函数.
设，计算的值：

因为指数函数在上单调递增，当时，，即.
当时，，则，即，
此时，即，
所以在上单调递减.
当时，，则，即，
此时，即，
所以在上单调递增.
综上所得，双曲余弦函数是偶函数，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
（ⅰ）
，
所以.
（ⅱ）结论：.
证明：右边


.
所以成立.
【小问3详解】
令，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以.
因为，，
所以.
那么函数.
因为函数在上单调递减，
要使在上最大值为，则在上有最小值.
函数的对称轴为.
当，即时，在上单调递增，
则．
由，解得.
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则.
由，即，此方程无实数解.
综上，实数的值为.
【点睛】关键点睛：函数新定义问题，解题关键是读懂新定义，把新定义转化为已知函数的知识，再进行求解即可.