人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线第2课时教学设计及反思

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线第2课时教学设计及反思，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教学目标
1.结合抛物线的标准方程和性质，能够通过方程计算证明直线与抛物线的综合问题，培养数学运算与逻辑推理的核心素养；
2.能够通过数形结合的方法解决与抛物线有关的轨迹问题，培养直观想象和逻辑推理的核心素养；
3.结合问题情境，能够使用抛物线的标准方程及性质解决数学综合问题，培养数学建模的核心素养.

二、教学重难点
重点：借助图形，与之前所学内容相结合，掌握直线与抛物线位置关系的证明以及解决与抛物线有关的轨迹问题.
难点：能够利用抛物线的标准方程及其简单几何性质解决实际问题，培养数学建模的能力，掌握数形结合的解题方法，面对问题能够举一反三，使知识融会贯通.

三、教学过程
（一）创设情境
如图，在我们生活中，经常会看到这样的拱桥结构，它与抛物线之间有着密切的关联，我们称其为“抛物拱”.除此之外，“抛物拱”在现实中还有着许多的原型，比如卫星接收天线，抛掷出去的铅球在空中划过的轨迹等，也是“抛物拱”的一部分.
抛物线的标准方程与简单几何性质都有哪些综合的应用呢？
这节课，就让我们学以致用，进一步学习抛物线的相关内容！
师生活动：教师将抛物线与生活实际相结合，同时给出了“抛物拱”概念，引导学生将数学知识与生活实际相结合，提升学生的应用能力，引出本节课内容，方便学生理解.
设计意图：通过给出生活中的现实案例，引出本节课的内容.使学生体会到生活处处有数学，加深学生对数学的学习兴趣，增强对抛物线的理解.提升学生的应用能力和数学建模的核心素养.
（二）探究新知
任务1：直线与抛物线的综合应用.
思考1：问题1.类比直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系，思考直线与抛物线有几种位置关系？怎样判断其位置关系？
提示：直线与抛物线的位置关系有相离、相交、相切三种.判断方法是联立直线与抛物线方程，转化为关于x(或y)的方程，利用方程的解来判断.
问题2.设直线l：y=kx+b与抛物线y2=2pxp>0，两方程联立消去y，会得到一个什么样的方程？怎样判断这个方程的解的个数？
提示：两方程联立消去y，得k2x2+2kb−px+b2=0.
当k=0时，方程有一解；
当k≠0时，∆>0，方程有两解；∆=0，方程有一解；∆0两方程联立消去y，得k2x2+2kb−px+b2=0.
当k=0时，直线与抛物线有一个公共点；
当k≠0时，∆>0，直线与抛物线有两个不同的公共点；∆=0，直线与抛物线有一个公共点；∆0，通过建立抛物线及直线的方程，运用方程思想进行计算证明，如图所示：
思考3：现在问题变成了要证明直线BD与x轴平行，请同学继续思考，我们有哪些方法可以证明直线BD平行于x轴呢？
提示：如果BD是平行于x轴的直线，那么BD两点的坐标有什么特点呢？
回答3：我们可以通过证明B、D两点的纵坐标相等来证明直线BD平行于x轴.
【师生活动】在面对一个复杂的新问题时，教师带领学生逐步分析题干，理清思路.在一问一答之间，解题思路跃然纸上.为接下来的解题和学习做好了准备.
设计意图：通过数形结合的方式，帮助学生更加直观的理解问题，培养学生直观想象的核心素养.在教师的引导之下，学生分析出解题方法，培养了学生逻辑推理的核心素养.
思考4：由于直线过定点A，我们可以考虑设出A的坐标，从而求出OA的方程.你知道该怎么求出A的坐标及OA的方程吗？
回答4：由于点A在抛物线y2=2pxp>0上，所以我们可以设出点A的坐标为y022p，y0
y0≠0，则根据直线的两点式方程，可以计算出直线OA的方程为y=2py0x.
思考5：现在我们要求出D的纵坐标，你有什么方法吗？
提示：仔细观察图象，通过直线方程进行计算得出.
回答5：由于点D是直线OA与准线 x=−p2 的交点，所以我们可以联立两个直线方程，得到y=2py0xx=−p2，解得点D的纵坐标为−p2y.
思考6：现在已经知道了点D的坐标，只要再求出点B的纵坐标，然后比较两个点的纵坐标是否相等，即可证明本题.参考上面求解点D坐标的思路，你有什么方法可以求出点B的坐标吗？
合作探究：
1. 先独立思考，然后小组内交流思路；
2. 小组合作完成探究；
3. 选派代表并汇报得出结论.
提示：我们发现点B是直线AF与抛物线的交点，现在已知抛物线的方程，只要再求出直线AF的方程，然后联立两个方程，就可以求出点B的纵坐标.
回答6：已知点F是抛物线的焦点，坐标为p2，0，当y02≠p2时，直线AF的方程为y=2py0y02−p2x−p2.联立直线AF的方程与抛物线的方程，得到y2=2pxy=2py0y02−p2x−p2，解得点B的纵坐标为−p2y0 .因为点D的纵坐标与点B的纵坐标是相等的，所以可以证明直线DB平行于x轴.
总结：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊猜想，一般验证”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点x0，y0，常利用直线的点斜式方程y−y0=kx−x0来计算.
【师生活动】教师逐步引导学生求出直线方程，然后利用方程思想求出焦点D与焦点B的纵坐标.使用问答的形式，帮助学生证明直线BD平行于x轴，即直线BD平行于抛物线的对称轴.最后，给出知识总结，帮助学生掌握求解直线过定点问题常用方法.
设计意图：利用方程思想，结合图象，帮助学生求出B、D两点的纵坐标，培养学生数学运算的核心素养.在教师的引导之下，学生根据B、D两点的纵坐标证明出本题，培养了学生逻辑推理的核心素养.
任务2：与抛物线有关的轨迹问题.
请看下图，定点B的坐标是（a，-h），BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC轴于点E，OE与MD相交于点P.
思考1：假设点P的坐标是（x，y），点M的坐标是（x，m），其中0≤x≤a，则点E的坐标是（a，m）.你能求出m的值吗？
提示：由于点M的坐标是（x，m），并且点M在线段OB上，所以求出OB的方程，即可求出m的值.
回答1：由于点B的坐标是（a，-h），所以直线OB的方程是 y=−ℎax .因为点M在OB上，所以将点M的坐标代入OB的方程，得m=−ℎax .
思考2：现在已经知道了m的值，你能求出直线OE的方程吗？
回答2：由于m=−ℎax，所以点M的坐标是x，−ℎax，点E的坐标是a，−ℎax，根据两点式方程可以计算出直线OE的方程为y=max .
思考3：你能求出点P的轨迹方程吗？
合作探究：
1. 先独立思考，然后小组内交流思路；
2. 小组合作完成探究；
3. 选派代表并汇报得出结论.
回答3：我们通过图象观察到，由于MD⊥x轴于点D，OE与MD相交于点P，所以点P的横坐标与点M的横坐标相同，又由于点M的横坐标满足m=−ℎax，所以点P的横坐标也满足m=−ℎax.由于点P在直线OE上，则点P的坐标也满足y=max.联立方程m=−ℎaxy=max，消去m，得x2=−a2ℎy0≤x≤a，这便是点P的轨迹方程.
总结：与抛物线有关的轨迹方程问题，通常涉及到根据给定的条件（如距离、角度、比例等）来求解动点的轨迹方程.这类问题要求我们熟练掌握抛物线的标准方程、性质以及坐标变换、距离公式、中点公式等基础知识.以下是一些常见的与抛物线有关的轨迹方程求解方法：
（1）定义法：
根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点和准线的距离相等.利用这一性质，可以直接求出满足条件的动点轨迹方程.
（2）相关点法（代入法）：
如果动点M(x，y)与另一个已知轨迹上的点Nx0，y0有某种关系（如中点、距离、比例等），且点N的坐标满足某个方程，则可以通过这种关系将N的坐标代入方程，得到动点M的轨迹方程.
（3）参数法：
当动点的坐标之间的关系不易直接找出时，可以引入一个或多个参数来表示动点的坐标，然后根据题目条件建立参数方程，最后消去参数得到普通方程.
（4）交点法：
如果动点是两条曲线的交点，则可以通过联立这两条曲线的方程来求解动点的坐标，进而得到动点的轨迹方程.
【师生活动】教师先从图像出发，通过直观的感受带领学生求出m的值，从而得出点M和点E的坐标.再通过两点式方程求出直线OE的方程.然后，带领学生一起讨论，得出点P的轨迹方程，在讨论过程中，教师巡回解疑.最后，教师总结出解决与抛物线有关的轨迹方程的常用方法，帮助学生进一步增强应用抛物线解题的能力.
设计意图：结合图象，帮助学生求出m的值，进而求出点M与E的坐标，利用两点式方程求出OE的直线方程.培养了学生数学运算与直观想象的核心素养.最后通过讨论，逐步求出点P的轨迹方程，培养了学生逻辑推理的核心素养.
（三）应用举例
例1：已知抛物线C：y2=2px ( p>0 )的焦点为F，直线l的斜率为 3且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D，若|AF|=4，则下列说法正确的是( )
① p=2； ② F为AD的中点；③ |BD|=2|BF|； ④ |BF|=2．
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①②③
解析：设抛物线的准线与x轴交点为G，过点A作AC垂直x轴于点C，过点B作BH垂直抛物线准线于点H，
∵直线l的斜率为 3且经过点F，即直线l的倾斜角为60∘，
∴点A的横坐标xA=p2+|AF|·cs60∘=p2+2，
又|AF|=p2+xA=p+2=4，
即p=2，则|FG|=p=2，故①正确；
∴|FC|=|AF|·cs60∘=2=FG，
由三角形全等判定定理可知，△DFG≌△AFC，
∴DF=AF=4，故F为AD中点，故②正确；
由题意可知，在直角三角形DBH中，∠DBH=60∘，
则|BH||BD|=cs60∘=12⇒|BD|=2|BH|．
又∵BF=BH．
∴BD=2BF，故③正确，
又∵|DF|=4，
∴BF=13DF=43，故④错误．
总结：抛物线的焦点弦问题：
如图
若AB交准线于点P，则AFAP=csα ，BFBP=csα
例2：点P是抛物线y2=−16x上一动点，若点Q(0，−3)，记点P到直线x=4的距离为d，则|PQ|+d的值可以取( )
A. 7B. 42C. 5D. 25
解析：如图，由抛物线定义可知，|PQ|+d=|PQ|+|PF|≥|FQ|= 42+32=5．
故答案选ABC．
总结：抛物线定义的两种应用：
（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；
（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
设计意图：巩固知识，强化理解.
（四）课堂练习
1.动点到点(3，0)的距离比它到直线x=−2的距离大1，则动点的轨迹是( )
A. 椭圆B. 双曲线C. 双曲线的一支 D. 抛物线
解析：由题意可知，动点到点(3，0)的距离等于它到直线x=−3的距离，
由抛物线定义知，动点的轨迹是抛物线.故选：D．
2.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则抛物线C的焦点坐标为( )
A. (14，0)B. (12，0)C. (1，0)D. (2，0)
解析：根据题意，不妨设D(2，2 p)，E(2，−2 p)，因为OD⊥OE，可得OD·OE=0，所以4−4p=0，故p=1，所以抛物线C：y2=2x，所以抛物线的焦点坐标为(12，0).故选B．
3.若点P到点(0，2)的距离比它到直线y=−1的距离大1，则点P的轨迹方程为( )
A. y2=4xB. x2=4yC. y2=8xD. x2=8y
解析：∵动点P到点(0，2)的距离比它到直线y=−1的距离大1，∴动点P到点(0，2)的距离与它到直线y=−2的距离相等，根据抛物线的定义可得点P的轨迹为以F(0，2)为焦点，以直线y=−2为准线的抛物线，其标准方程为x2=8y.故选D．
4.设圆O:x2+y2=4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为( )
A. x2=8yB. x2=16yC. y2=8xD. y2=16x
解析：由题意可知，A(0，2)，B(0，−2)，则l：y=−2，动点P的轨迹为抛物线，且其焦点为(0，2)，准线为y=−2，故点P的轨迹方程为x2=8y．
5.抛物线y=3x2+4上到直线x+y+4=0距离最近的点的坐标是( )
A. −56，7312B. 0，4C. −16，4912D. 16，4912
解析：因为直线x+y+4=0的斜率k=−1，又因为y=3x2+4，则y′=6x，令y′=6x=−1，解得x=−16，此时y=3−162+4=4912，可知抛物线y=3x2+4上到直线x+y+4=0距离最近的点的坐标是−16，4912.故选：C.
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.