2021-2022学年广东省佛山市南海区南海中学高二下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省佛山市南海区南海中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．设，则（       ）

A． B． C．4 D．8

【答案】C

【分析】根据导数的定义，得到，然后计算即可求解.

【详解】

故选：C

2．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一楼到4楼共有走法种数为（       ）

A．6 B．23 C．42 D．43

【答案】B

【分析】根据分步计数法进行计算.

【详解】解：由题意得可知：

由一层走到二层有两种选择，由二层走到三层有两种选择，由三层走到四层有两种选择，根据分步计数法的原则可知共有种走法.

故选：B

3．已知双曲线的一条渐近线过圆的圆心，则C的离心率为（       ）

A． B． C． D．3

【答案】C

【分析】求出圆心坐标，代入渐近线方程求出，然后求解双曲线的离心率．

【详解】解：圆的圆心，

双曲线的渐近线为：，

双曲线的一条渐近线过圆的圆心，

可得，所以，，则，

则的离心率．

故选：C．

4．函数的图象如图所示，则函数的图象可能是

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．

【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．

5．设数列的前项和为，且，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由并项求和结合等比数列求和即可得解

【详解】由题

故选D

【点睛】本题考查数列求和，等比数列求和公式，准确计算是关键，是基础题

6．设是R上的可导函数，且满足，对任意的正实数，下列不等式恒成立的是

A．； B．；

C．； D．

【答案】B

【分析】根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．

【详解】解：设，

则，

∵，

，即函数在定义域上单调递增．

任意正实数，满足，

（a），

即，

∴

故选：B．

【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．

7．若函数在区间(0，1)上不单调，则实数的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】对求导并将问题转化为在(0,1)上存在变号零点，再应用导数研究的单调性，结合零点存在性定理列不等式求参数范围.

【详解】由题设，，又在(0,1)上不单调，

所以在(0,1)上存在变号零点，而，

则在(0,1)上递增，只需，即.

故选：B

8．对于一切实数x，令为不大于x的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数.若，，为数列的前n项和，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据高斯函数的性质以及数列求和公式进行计算.

【详解】解：由题意，当，，时，均有，

故可知：

.

故选：A

二、多选题

9．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（       ）

A．从中任选1个球，有15种不同的选法

B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法

C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法

D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法

【答案】ABD

【分析】利用排列知识计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以选项C错误.

【详解】解：A. 从中任选1个球，有15种不同的选法，所以该选项正确；

B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法，所以该选项正确；

C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误；

D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法，所以该选项正确.

故选：ABD

10．已知数列的通项公式为，若数列是递减数列，则实数k不能取的值是（       ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】AB

【分析】根据数列单调性的性质可知，然后可得，根据不等式恒成立的条件可知得取值范围.

【详解】解：由题意得：

数列是递减数列

对于一切的恒成立

即对于一切的恒成立

故对于一切的恒成立，当时，有最大值

故，所以

故选：AB

11．下列命题中正确的是（       ）

A．在等比数列中，，则

B．已知等差数列的前n项和为，且，，则

C．已知数列满足，，则的最小值为

D．已知数列满足，且，则数列前9项的和

【答案】BCD

【分析】对于A，根据，求得公比，即可判断；

对于B，利用等差数列前项和的性质即可判断；

对于C，利用累加法求出数列的通项公式，从而可判断；

对于D，根据递推公式求出，即可判断.

【详解】解：对于A，设公比为，

因为，所以，

所以，

故，所以，

所以，故A错误；

对于B，已知等差数列的前n项和为，

则成等差数列，

所以,

即，解得，故B正确；

对于C，由，

当时，得，

，

，

，

累加得，

所以，

则，

当时，，当时，，

根据双钩函数得性质可知，当时，取得最小值为，故C正确；

对于D，因为，且，

则，，，，，，，，

所以，故D正确.

故选：BCD.

12．已知函数，实数满足不等式，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】先判断函数的奇偶性及单调性结合不等式可得所满足的关系式，再利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性以及特殊值法逐项判断.

【详解】因为，

所以为奇函数，

因为，

所以上单调递增，

由，

得，

所以，

即，，

因为在R上是增函数，所以，故A正确；

因为在上是增函数，所以，故C正确；

因为在R上是增函数，所以，故D错误；

令，可验证B错误.

故选：AC

三、填空题

13．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么＝__________.

【答案】12

【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再结合抛物线定义计算作答.

【详解】抛物线的准线为：，设抛物线的焦点为F，

由抛物线定义得：，

所以.

故答案为：

14．函数过原点的切线方程是_______.

【答案】.

【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出函数切点为的切线方程，再根据切线过原点求出，即可得解.

【详解】解：设切点为，

，则，

故切点为的切线方程为，

又因此切线过原点，

所以，解得，

所以函数过原点的切线方程是，

即.

故答案为：.

15．设为等差数列的前项和，若，则的值为__________.

【答案】

【分析】根据 求出公差, 又 即可求解

【详解】设等差数列的公差为,

因为,

所以

所以，又

故答案为：

四、双空题

16．中国最早的化妆水是年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效.已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中），容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为.则当圆柱的底面半径___________时，该容器的容积最大，最大值为___________.

【答案】         

【分析】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，根据已知条件可得出，根据柱体的体积公式可得，利用导数可求得的最大值及其对应的的值，即为所求.

【详解】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为.

则由题意可得，所以.

由，得.

故容器的容积，

容易忽略上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中.

，令，解得（舍）或.

显然当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减.

所以当时，取得最大值，

此时，.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值.

(1)求函数的解析式；

(2)当时，求函数的最大值.

【答案】(1)；

(2)11.

【分析】（1）根据导数的几何意义，结合极值的性质进行求解即可；

（2）根据导数的性质进行求解即可.

【详解】(1)，由题意得即

解得，，.所以，

，令，得或.

符合题意；

(2)由（1）可知：，而，

所以.

18．已知数列中，，.

(1)求，并证明为等比数列；

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）由递推公式化简，根据等比数列的定义证明

（2）由分组求和法求解

【详解】(1)，

，

，故是首项为1，公比为2的等比数列．

(2)由（1）得，即，

19．已知函数f(x)＝ax－2lnx．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）根据实数a的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；

（2）利用常变量分离法，通过构造函数，利用导数的性质进行求解即可.

【详解】(1)

当a≤0时，在(0，＋∞)上恒成立；

当a＞0时，令得；令得；

综上：a≤0时f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

a＞0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增；

(2)由题意知 ax－2lnx≤x－2 在(0，＋∞)上有解

则ax≤x－2＋2lnx，．

令，

所以，因此有

所以a的取值范围为：

【点睛】关键点睛：运用常变量分离法利用导数的性质是解题的关键.

20．已知正项数列的首项，前n项和满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）化简数列的递推公式，得，进而可求解数列的通项公式；

（2）利用裂项法，求解，列出不等式，即求.

【详解】(1)当时，，

∴，即，又，

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故，

又由（），

当时，也适合，

所以.

(2)∵，

∴，

又∵对任意的，不等式恒成立，，

∴，解得或.

即所求实数的范围是或.

21．如图，已知四边形为菱形，对角线与相交于O，，平面平面直线，平面，

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）根据四边形为菱形，得到，利用线面平行的判定定理得到平面，然后利用线面平行的性质定理证明.

（2）以O为坐标原点、OA，OB，OF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，取CD中点M，连EM，OM，分别求得平面一个法向量为，平面一个法向量为，然后由求解.

【详解】（1）因为四边形为菱形，所以，

平面，平面

平面，

因为平面平面直线平面，

所以；

（2）因为四边形为菱形，所以，

因为平面，所以以O为坐标原点、OA，OB，OF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

取CD中点M，连EM，OM，

，，

为正三角形，，

，

，

从而，

设平面一个法向量为，

则，即，

令，

设平面一个法向量为，

则，即，

令，

，

因此二面角的余弦值为.

【点睛】方法点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

22．已知函数.

(1)求证：；

(2)若函数无零点，求a的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）求出，讨论其符号后可得函数的单调性，结合原函数的最值可得不等式成立.

（2）分三种情况讨论，当时求出，利用导数可得函数最大值，根据无零点建立不等式求解，当时，可得满足无零点.

【详解】(1)，

则当时，，当时，，

故在上为增函数，在上减函数，

故即.

(2)，故，

当时，在定义域上无零点;

当时，，故，

所以当时，，当时，，

故在上为增函数，在上减函数，

因为函数无零点，故，即；

当时，因为，所以，

即，

所以在定义域上无零点.

综上，的取值范围是.